上海高考文科数学试题及参考答案.doc
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2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题(文科)及参考答案
满分150分;考试时间120分钟.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.函数的最小正周期是.
2.若复数,其中是虚数单位,则.
3.设常数,函数.若,则.
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.
5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为.
6.若实数满足,则的最小值为.
7.若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与轴所成的角的大小为(结果用反三角函数值表示).
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.
9.设若是的最小值,则的取值范围为.
10.设无穷等比数列的公比为,若,则.
11.若,则满足的的取值范围是.
12.方程在区间上的所有的解的和等于.
13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是(结果用最简分数表示).
14.已知曲线,直线.若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.设,则“”是“且”的()
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
16.已知互异的复数满足,集合,则()
(A) (B)(C) (D)
17.如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形,是
大正方形的一条边,是小正方形的其余顶点,
则的不同值的个数为()
(A) (B)(C) (D)
18.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,
则关于和的方程组的解的情况是()
(A)无论如何,总是无解 (B)无论如何,总有唯一解
(C)存在,使之恰有两解 (D)存在,使之有无穷多解
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求的各边长及此三棱锥的体积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设常数,函数.
(1)若,求函数的反函数;
(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为.
(1)设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,求的长(结果精确到0.01米).
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在平面直角坐标系中,对于直线和点,记
.若,则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点,
且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.
(1)求证;点被直线分隔;
(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1,设点的轨迹为曲线.求的方程,并证明轴为曲线的分隔线.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
已知数列满足,,.
(1)若,求的取值范围;
(2)设是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;
(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.
参考答案
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.16.17.18.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.(本题满分12分)
解:
在中,,,所以是中位线,故.
同理,,.所以是等边三角形,各边长均为.
设是的中心,则平面,所以,.
从而,.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:
(1)因为,所以,得或,且.
因此,所求反函数为,.
(2)当时,,定义域为,故函数是偶函数;
当时,,定义域为,
,故函数为奇函数;
当且时,定义域为关于原点不对称,
故函数既不是奇函数,也不是偶函数.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
解:
(1)记.根据已知得,,,
所以,解得.因此,的长至多约为28.28米.
(2)在中,由已知,,,
由正弦定理得,解得.
在中,有余弦定理得,解得.所以,的长约为26.93米.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
(1)证:
因为,所以点被直线分隔.
(2)解:
直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解,即.
因为直线是曲线的分隔线,故它们没有公共点,即.
当时,对于直线,曲线上的点和满足,
即点和被分隔.故实数的取值范围是.
(3)证:
设的坐标为,则曲线的方程为,即.
对任意的,不是上述方程的解,即轴与曲线没有公共点.
又曲线上的点和对于轴满足,即点和被轴分隔.
所以轴为曲线的分隔线.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
解:
(1)由条件得且,解得.所以的取值范围是.
(2)设的公比为.由,且,得.
因为,所以.从而,,解得.
时,.所以,的最小值为,时,的公比为.
(3)设数列的公差为.由,,.
①当时,,所以,即.
②当时,,符合条件.
③当时,,
所以,,
又,所以.
综上,的公差的取值范围为.
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