完整word沪科版九年级数学上222相似三角形的判定典型例题及练习无答案docWord下载.docx
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A/B/
A/C/,且A
A
(3)判定定理3:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
(4)判定定理4:
ABACBC
A/B/A/C/B/C/
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个三角形相似。
2/24
4.相似三角形的基本类型
A字型
8字型
双垂直型
相似三角形
的基本类型
一线三等角型
一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景,三个等角的顶点在同一直线
上,其中12
3,可根据1180
45,218046,得图
中两个阴影部分三角形相似。
一线三垂直型
3/24
5.相似三角形判定思路
有平行截线①平行线截三角形相似的定理
②用平行线的性质,找等角
有一组等角①找另一对等角
②找该角的两边对应成比例
直角三角形①找一组锐角相等
判定思路②两组边对应成比例
等腰三角形①找顶角相等
②一组底角相等
③底和腰对应成比例
有两组边对应成比例①夹角相等
②第三组边也对应成比例
③有一组直角
4/24
二.考点讲解
考点1:
利用相似三角形的定义判定两三角形相似
1.如图所示,在
ABC中,DE//BC.
(1)求AD,AE,
DE的值;
(2)
ADE与
ABC相似吗?
为什么?
ABAC
BC
考点2:
利用相似三角形的定义确定相似比
2.如图,已知OAC∽OBD,且OA4,AC2,OB2.求:
(1)OAC与OBD的相似比;
(2)BD的长。
变式练习:
如图所示,ABC∽ACD,下列式子不成立的是()
A.AB
B.
C.
AC2
ADAB
D.
CD
AD
5/
24
考点3:
利用平行线识别相似三角形
3.如图所示,在?
ABCD中,BE交AC,CD于G,F,交AD的延长线于E,则图中的相似三角形有()
A.3对B.4对C.5对D.6对
如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是()
A.1对B.2对C.3对D.4对
考点4:
利用证相似三角形求线段的长
4.如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于G,AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,
则AC的长为()
A.9cmB.14cmC.15cmD.18cm
如图,在平行四边形ABCD中,AEEB,AF2,则FC.
考点5:
利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例
5.如图所示,P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点,AP分别交BD和CD于点M和N.求证:
AM2MNMP.
6/24
如图,在梯形ABCD中,AB
//CD,且AB2CD
点E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相
交于点M.
(1)求证:
EDM∽FBM;
(2)若DB
9,求BM的长。
考点6:
利用两角分别相等证明两三角形相似
6.如图所示,在ABC中,AD是BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F。
求证:
ABF∽CAF.
变式练习:
如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AB上,且∠ADE=60°
.
△ADC∽△DEB.
考点7:
利用相似三角形证明等积式
7.如图所示,在ABC中,BAC90,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于E,交CA的延长线于F.
DA2DEDF.
7/24
已知:
如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OEOB,
连接DE。
DEBE;
(2)如果OECD,求证:
BDCECDDE.
考点8:
利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似
8.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上,且AB2=BD?
CE,求证:
△ABD∽△ECA.
如图所示,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP3PC,Q是CD的中点。
ADQ∽QCP
8/24
考点9:
利用三边对应成比例判定三角形相似
9.如图,已知O是△ABC内一点,D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.求证:
△ABC∽△DEF.
如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()
A.B.C.D.
考点10:
利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似
10.已知在RtABC与RtA/B/C/中,C
C/
90,AB6cm,AC
4.8cm,A/B/
5cm,B/C/
3cm。
求
证ABC∽A/B/C/.
在RtABC和RtFED中,C90,AB10,AC8,D90,EF5,当DF
时,RtABC∽RtFED.
三.基础题型讲解
9/24
基础题型1:
添加条件来说明三角形相似
1.如图,点P在△ABC的边AC上,如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB,那么以下添加的条件中,
不正确的是()
A.∠ABP=∠CB
.∠APB=∠ABCC
.AB2=AP?
ACD.AB
BP
CB
如图,
12,添加一个条件
,使得
ADE∽ACB
基础题型2:
寻找图形中相似三角形的对数
2.如图,在平行四边形ABCD中,过点B的直线与对角线AC,边AD分别交于点E,F。
过点E作EG//BC,
交AB于点G,则图中相似三角形有()
A.4对B.5对C.6对D.7对
交于E,
CPD
交PD于F,AD交
PC
如图所示,P为线段AB上一点,AD与
于G,则图中相似三角形有(
A.1对B.2对C.3对D.4对
基础题型3:
相似三角形判定定理的应用
3.如图所示,在ABC中,BD,CE是高,
(1)求证:
ADE∽ABC。
(2)若EC与BD交于点O,则OED
∽OBC.
10/24
如图所示,Rt△ABC
中,已知∠BAC=90°
,
AB=AC=2,点
D在BC上运动(不能到达点
B,C),
过点
D作∠ADE=45°
DE交
AC于点
E.
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求
AE的长.
基础题型4:
与相似三角形有关的分类讨论题
4.如图所示,点P是锐角三角形ABC中AB边上的一点,过点
截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有
P作直线(不与直线
条。
重合)截
ABC,使
如图所示
M是RtABC的斜边
BC上异于
B,C
的一定点,过点
M作直线截
ABC,
使截得的三
角形与
ABC相似,这样的直线共有(
11/
A.1条B.2条C.3条D.4条
基础题型5:
相似三角形与函数的综合题
5.如图所示,在正方形ABCD中,AB2,P是BC边上与点B,C不重合的任意一点,DQAP于点Q,
(1)试说明DAQ∽APB;
(2)当点P在BC上运动时,线段DQ也随之变化。
设PAx,DQy,求y与x之间的函数表达式。
如图所示,ABC为正三角形,D,E分别是AC,BC上的点(不在顶点),BDE60.
DEC∽BDA;
(2)若正三角形的边长为4,并设DCx,BEy,试求y与x之间的函数表达式。
四.拔高题型讲解
拔高题型1:
利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题
1.已知:
如图所示,CD是RtABC斜边AB上的高,E为CB的中点,ED的延长线交CA的延长线于点F。
ACCFCBDF.
12/24
拔高题型2:
利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题
2.如图所示,
AOB是直角三角形,AOB
90,OB
2OA,点A在反比例函数y
1的图像上。
若点B
x
在反比例函数
y
k的图像上,则k的值为(
A.-4B.4C.-2D.2
3.如图,一条直线与反比例函数y=k的图象交于A(1,4)、B(4,n)两点,与x轴交于D点,AC⊥x
轴,垂足为
C.
(1)如图甲,①求反比例函数的解析式;
②求
n的值及D点坐标;
(2)如图乙,若点E在线段AD上运动,连接CE,作∠CEF=45°
,EF交AC于F点.①试说明△CDE∽△EAF;
②当△ECF为等腰三角形时,直接写出F点坐标.
拔高题型3:
利用相似三角形的判定和定义建立函数关系
4.如图所示,在矩形
过点E作EFDE
ABCD中,ABm,BC8,E
EF与线段BA交于点F,设CE
为线段x,BF
BC上的动点(不与点
y。
B,C重合),连接
DE
(1)写出y关于x的函数表达式;
13/24
(2)若m8,当x为何值时,y的值最大?
最大值是多少?
拔高题型4:
利用相似三角形的定义进行规律探究
5.如图,在△ABC中,∠C=90°
,BC=16cm,AC=12cm,点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动,点Q
从C出发,以1cm/s的速度向A移动,若P、Q分别从B、C同时出发,设运动时间为ts,当t为何值时,
△CPQ与△CBA相似?
6.如图所示,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=k,点P在BD上移动,保持∠APC=90,但不与点B和点
D重合。
(1)当k=14时,请问在BD上存在多少个P点,使以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似?
并求BP的长.
(2)已知在BD上至少存在一个P点,使以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似,求k的取值范围.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)
时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2)
(1)当t=1秒时,S的值是多少?
(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
14/24
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点
的三角形相似?
请说明理由.
拔尖题型5:
和相似有关的存在型问题
8.如图所示,在ABC中,已知ABAC5,BC6,且ABC≌DEF,将DEF与ABC重合在一起,ABC
不动,DEF运动,并满足:
点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于点
M.
ABE∽ECM;
(2)在DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?
若能,求出BE的长;
若不能,请说明理由。
拔尖题型6:
相似三角形与折叠问题
9.如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使
D点叠在直线AD上,得折痕PQ.
△PBE∽△QAB;
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?
如果相似,给出证明;
若不相似,请说明理由。
15/24
五.课后作业
一.选择题。
1.如图,直线AB与?
MNPQ的四边所在直线分别交于A、B、C、D,则图中的相似三角形有()
A.4对B.5对C.6对D.7对
2.与图中ABC相似的是()
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF//AB,DE:
EA2:
3,EF4,则CD的长为()
A.16
B.8C.10D.16
3
4.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为(
A.100°
B.120°
C.115°
D.135°
5.如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于G,AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,
A.9cmB.14cmC.15cmD.18cm
6.如图,在ABC中,AD是中线,BC8,BDAC,则线段AC的长为()
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A.4B.42C.6D.43
7.如图,∠A=∠B=90°
,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相似,则这样的P点共
有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.如图,在RtABC(C90)内有边长分别为a,b,c的三个正方形,则a,b,c满足的关系式是()
A.bacB.bacC.b2a2c2D.b2a2c
9.下列各组三角形中,两个三角形能够相似的是()
10.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是下列哪一
组时,这两个三角形相似()
A.2cm,3cmB.4cm,5cmC.5cm,6cmD.6cm,7cm
11.如图所示,在ABC中,C90,BC6,D,E分别在AB,AC上,将ABC沿DE折叠,使点A
落在点A/处,若A/为CE的中点,则折痕DE的长为()
A.1
B.2
C.3
D.4
2
17/24
12.如图所示,在ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC交AC于点D,若AC2,则AD的长是
()
A.
5
1
51D.
51
13.如图所示,正方形ABCD的对角线
AC与BD相交于点O,ACB的平分线分别交
AB,BD于M,N两点。
若AM
2,则线段ON的长为(
C.1D.
6
14.如图所示,
ABC中,AB
6,AC
4,P是AC的中点,过
P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为
顶点的三角形和以
A,B,C为顶点的三角形相似,则
AQ的长为(
A.3B.3
或4
或3
4
二.填空题。
15.在ABC中,D为AB边上一点,且BCDA,已知BC22,AB3,则BD。
16.如图,在△ABC中,AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添
加一个条件:
,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
18/24
17.如图,已
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