2016年高考四川文科数学试题及答案(word解析版).docx
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文科)
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)【2016年四川,文1,5分】设为虚数单位,则复数()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】试题分析:
由题意,,故选C.
【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(2)【2016年四川,文2,5分】设集合,为整数集,则集合中元素的个数是()
(A)6(B)5(C)4(D)3
【答案】B
【解析】由题意,,故其中的元素个数为5,故选B.
【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(3)【2016年四川,文3,5分】抛物线的焦点坐标是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】由题意,的焦点坐标为,故选D.
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题.
(4)【2016年四川,文4,5分】为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()
(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动个单位长度
(C)向上平行移动个单位长度(D)向下平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】由题意,为得到函数,只需把函数的图像上所有点向左移个单位,故选A.
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键.
(5)【2016年四川,文5,5分】设实数,满足且,实数,满足,则是的
()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意,且,则,而当时不能得出,且.故是的充分不必要条件,故选A.
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
(6)【2016年四川卷,文6,5分】已知函数的极小值点,则()
(A)(B)(C)4(D)2
【答案】D
【解析】,令得或,易得在上单调递减,在上单调递增,故极小值为,由已知得,故选D.
【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象.
(7)【2016年四川,文7,5分】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是()(参考数据:
,,)
(A)2018年 (B)2019年(C)2020年(D)2021年
【答案】B
【解析】设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得,,两边取常用对数得,故选B.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
(8)【2016年四川,文8,5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他
在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所
示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。
若输入n,x的值分别为3,2.则
输出v的值为()
(A)35(B)20(C)18(D)9
【答案】C
【解析】初始值,,程序运行过程如下表所示,,,,
,,,,跳出循环,输出,故选C.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行
解答.
(9)【2016年四川,文9,5分】已知正三角形的边长为,平面内的动点,满足
,,则的最大值是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】如图所示,建立直角坐标系.,,.∵满足,
∴点的轨迹方程为:
,令,,
.又,则,∴.
∴的最大值是,故选B.
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
(10)【2016年四川,文10,5分】设直线,分别是函数图象上点,处的切线,与垂直相交于点,且,分别与轴相交于点,,则的面积的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】解法1:
设,易知,,,,则直线:
,,与轴的交点为,设,则交点横坐标为,与轴的交点为,则,故
解法2:
特殊值法,若,可算出,,故,排除BC;令,算
出,故选A,故选A.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.
第II卷(共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分
(11)【2016年四川,文11,5分】.
【答案】
【解析】由三角函数诱导公式.
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题.
(12)【2016年四川,文12,5分】已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.
【答案】
【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为,高为1,
三棱锥的体积为.
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题.
(13)【2016年四川,文13,5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值,分别记为、,则为整数的概
率=________.
【答案】
【解析】从2,3,8,9中任取两个数记为,作为作为对数的底数与真数,共有个不同的基本事件,
其中为整数的只有两个基本事件,所以其概率.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
(14)【2016年四川,文14,5分】若函数是定义上的周期为2的奇函数,当时,,则_______.
【答案】
【解析】∵函数是定义上的周期为2的奇函数,当时,,∴,
,则.
【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.
(15)【2016年四川,文15,5分】在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义的“伴随点”为,当是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:
①若点的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点;②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上;③若两点关于轴对称,则他们的“伴随点”关于轴对称;④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是_______(写出所有真命题的序号).
【答案】②③
【解析】对于①,若令,则其伴随点为,而的伴随点为,而不是,故错误;
对于②,设曲线关于轴对称,则对于曲线表示同一曲线,其伴随曲
线分别为与也表示同一曲线,又因为其伴随曲线分别为
与的图像关于轴对称,所以正确;对于③,令单位圆
上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上,故正确;对于④,直线
上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆,故错误.所以正确的序号为②③.
【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.
三、解答题:
本大题共6题,共75分.
(16)【2016年四川,文16,12分】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制
定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年
100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照,
,……分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.
说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
解:
(1)∵,整理得:
,解得:
.
(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万,理由如下:
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为,又样本容量=30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为万.
(3)根据频率分布直方图,得;,
,∴中位数应在组内,设出未知数,
令,解得;∴中位数是.
【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积
,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.
(17)【2016年四川,文17,12分】如图,在四棱锥中,,,,.
(1)在平面内找一点,使得直线平面,并说明理由;
(2)证明:
平面平面.
解:
(1)解法1:
为的中点,直线平面.取的中点,连接,,,
则,∵平面,平面,∴平面.∵,
,∴是平行四边形,∴.∵平面,平面,
∴平面.∵,∴平面平面,∵平面,∴平面.
解法2:
取棱的中点(平面),点即为所求的一个点.理由如下:
因为,,
所以.所以四边形是平行四边形,从而.又平面,平面.
(说明:
取棱的中点,则所找的点可以是直线上任意一点).
(2)∵,,与相交,∴平面,∵平面,∴,
由
(1)及,可得,∴,∴,∵,
∴平面,∵平面,∴平面平面.
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.
(18)【2016年四川,文18,12分】在中,角所对的边分别是,且.
(1)证明:
;
(2)若,求.
解:
(1)由正弦定理,可知原式可以化解为,∵和为三角形内
角,∴,则两边同时乘以,可得,
由和角公式可知,,原式得证.
(2)由题,根据余弦定理可知,,∵为为三角形内角,,
,则,即,由
(1)可知,∴,
∴.
【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.
(19)【2016年四川,文19,12分】已知数列的首项为1,为数列的前项和,,其中
,.
(1)若,,成等差数列,求数列的通项公式;
(2)设双曲线的离心率为,且,求.
解:
(1)由已知,,两式相减得到.又由得到,
故对所有都成立.所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.从而.
由成等差数列,可得,所以,故.所以.
(2)由
(1)可知,.所以双曲线的离心率.
由解得.所以,
.
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中这一条件.
(20)【2016年四川,文20,13分】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形
的三个顶点,点在椭圆上.
(1)球椭圆的方程;
(2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,,线段的中点为,直线与椭圆交于,,证明:
.
解:
(1)由已知,.又椭圆过点,故,解得.
所以椭圆的方程.
(2)设直线的方程为,,,由方程组,
得①方程①的判别式为,由,即,
解得.由①得,.所以点坐标为,
直线方程为,由方程组,得,.
所以.
所以.
【点评】本题考查椭圆
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