2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷2.doc
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题。
每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
(1)已知集合,则
(A) (B) (C) (D)
(2)设复数z满足,则=
(A)(B)(C)(D)
(3)函数的部分图像如图所示,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
(A)(B)(C)(D)
(5)设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
(A)(B)1(C)(D)2
(6)圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1,则a=
(A)−(B)−(C)(D)2
(7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
(A)(B)(C)(D)
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s=
(A)7
(B)12
(C)17
(D)34
(10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)
(11)函数的最大值为
(A)4(B)5 (C)6 (D)7
(12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则
(A)0(B)m(C)2m(D)4m
二.填空题:
共4小题,每小题5分.
(13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.
(14)若x,y满足约束条件,则z=x-2y的最小值为__________
(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,a=1,则b=____________.
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
等差数列{}中,
(I)求{}的通项公式;
(II)设=[],求数列{}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(I)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P(A)的估计值;
(II)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将沿EF折到的位置.
(I)证明:
;
(II)若,求五棱锥体积.
(20)(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当时,求曲线在处的切线方程;
(II)若当时,,求的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知A是椭圆E:
的左顶点,斜率为的直线交E于A,M两点,点N在E上,.
(I)当时,求的面积
(II)当2时,证明:
.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,,求l的斜率.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数,M为不等式的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:
当a,b时,.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题
(1)【答案】D
(2)【答案】C (3)【答案】A (4)【答案】A
(5)【答案】D (6)【答案】A (7)【答案】C (8)【答案】B
(9)【答案】C (10)【答案】D (11)【答案】B (12)【答案】B
二.填空题
(13)【答案】 (14)【答案】 (15)【答案】 (16)【答案】1和3
三、解答题
(17)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)24.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)根据等差数列的性质求,,从而求得;(Ⅱ)根据已知条件求,再求数列的前10项和.
试题解析:
(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有,解得,
所以的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当n=1,2,3时,;
当n=4,5时,;
当n=6,7,8时,;
当n=9,10时,,
所以数列的前10项和为.
考点:
等茶数列的性质,数列的求和.
【结束】
(18)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)由求P(A)的估计值;(Ⅱ)由求P(B)的估计值;(III)根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析:
试题解析:
(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为,
故P(A)的估计值为0.55.
(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为,
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为:
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点:
样本的频率、平均值的计算.
【结束】
(19)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)证再证(Ⅱ)证明再证平面最后呢五棱锥体积.
试题解析:
(I)由已知得,
又由得,故
由此得,所以.
(II)由得
由得
所以
于是故
由(I)知,又,
所以平面于是
又由,所以,平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积
考点:
空间中的线面关系判断,几何体的体积.
【结束】
(20)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求定义域,再求,,,由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.
试题解析:
(I)的定义域为.当时,
,曲线在处的切线方程为
(II)当时,等价于
令,则
,
(i)当,时,,故在上单调递增,因此;
(ii)当时,令得
,
由和得,故当时,,在单调递减,因此.
综上,的取值范围是
考点:
导数的几何意义,函数的单调性.
【结束】
(21)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)先求直线的方程,再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ)设,,将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去,用表示,从而表示,同理用表示,再由求.
试题解析:
(Ⅰ)设,则由题意知.
由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为,
又,因此直线的方程为.
将代入得,
解得或,所以.
因此的面积.
(2)将直线的方程代入得
.
由得,故.
由题设,直线的方程为,故同理可得.
由得,即.
设,则是的零点,,
所以在单调递增,又,
因此在有唯一的零点,且零点在内,所以.
考点:
椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)证再证四点共圆;(Ⅱ)证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析:
(I)因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
(II)由四点共圆,知,连结,
由为斜边的中点,知,故
因此四边形的面积是面积的2倍,即
考点:
三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(I)利用,可得C的极坐标方程;(II)先将直线的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得的斜率.
试题解析:
(I)由可得的极坐标方程
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得,
所以的斜率为或.
考点:
圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:
(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.
试题解析:
(I)
当时,由得解得;
当时,;
当时,由得解得.
所以的解集.
(II)由(I)知,当时,,从而
,
因此
考点:
绝对值不等式,不等式的证明.
【结束】
13
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