理工本科下册练习册答案Word格式文档下载.docx
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解:
平面“的发现向量分别为在(3,1,-2),花(5,2,-2)取平面的法线向量i为
jk
1-2
2-2
=(2,f1)
练习6.5空间直线方程
3-1-2
2=3z
1、将曲线4绕Oz轴旋转一周,所生成的旋转曲面方程为X+v2=3zO
J=0
222丨3x2—2v2=6
lz=0
2、曲面3x2-2y2+3z2=6可以认作是平面曲线{'
绕Oy轴旋转所生成的旋转曲面。
3、指出下面方程所表示的曲面名称
22
(1)X2+2y2=4是母线平行干oz轴椭圆柱面
(2)v-3z=1是母线平行干ox轴的双曲柱面O
为fex2—*=8
z=0
6、求下列曲线在Oxy上的投影曲线方程
练习6.7常见的二次曲面
1、说明下列方程表示什么曲面
X2
2
+红+
9
—=1是椭球面o
-y
-1是单叶双曲面。
—z
=1是双叶双曲面。
+y2
-z
=1是单叶双曲面
第七章多元函数微分学
练习7.1多元函数、极限与连续性
1、用集合记号表示下列平面区域
(1)由抛物线y=x2与直线y=x所围成的闭区域D表示为{(x,y)0<
x<
1
x2<
y<
x}。
(2)以点0(0,0),A(1,0),B(1,2),C(0,1)为顶点的梯形闭区域D表示为
{(X,y)0<
x<
1,0<
x+1}。
2、
f(x,y)=X^,求f(1,—2)=4,f^y,x)=X^。
2xy42xy
3、函数
z=Jx—仃的定义域为{(X,y)|0<
y且
4、函数
zJ4x-y2
Z—22
In(1-x2-y2)
的定义域为{(X,y)4x>
y2且0vx2+y2c1}。
z=—+1的定义域为{(x,y)
Jx+yJx-y
6、极限
lim[—xy=1。
于2+y2
7、极限s于记。
xy
8极限limsW7
(2)z=esiny
X—
的OZ23
一=3xy-yex
皀=yeXysinyex
cz3-2
—=x-3xy
—=xexysiny+exycosy
2、求下列函数的一阶偏导数
u=(xy)z
(1)u=xyz
—=yz^xyz^
dx
—=yz(xyjZ」
理"
Inx
cu.
——=ylnX
—=xz(xy)以
—=In(xy)'
(xy)zcz
3、计算
辭&
1
——
cx
C2z
=cosxy-xysinxycxoy
c2z
»
2.CCz
(3)z=xsin2y,求
cxcy
(4)Z=
x4
+y4
-4x,
求
少
—=2xsin2y
2=4x--4
■-■2
cz
=4xcos2ycxcy
l2
=0cxoy
4、设z=1n(x2+xy+y2),则x竺+y竺=__2
excy
5、设u=1n(1+x2+y2+z2),则(竺+竺+竺)excycz
6设xy(x〉O,xHl),
yxy」
竺=lnx・xyo
1、求下列各函数的全微分
(1)
z=x3+y
-3xy
—=2xy3,
ex
竺=3x2y
练习
7.3全微分
cz
&
--22
dz=—dx+——dy=(3x-3y)dx+(3y-3x)dyexcy
23
z=xy
dz2
匸=3x-3y
y
z=yx
2x
exx2+y2
z=1n(x+y)
cz2y』
.=yx
a
一=X
2、求下列各函数的全微分
(1)u=Jx2+y2+z2
"
u
Jx2+y2+z2
dz=——
cz322
dx+——dy=2xydx+3xydy
2y
x2+y2
+ylnx
cu
ducu
du=——dx+——dy+——dz
exdycz
/c、X4vz
(2)u=ey
cz__2―
dz=——dx+——dy=yXdx+(xexcy
、x
2yJ.
.r.r
czcz
dz=——dx+——dy
点yJx2+y2+z2
xdx+ydy+zdz
Jx2+y2+z2
yy
+ylnX*x)dy
2xdx+2ydy
x2+y2
点zJx2+y2+z2
duX书zcuX书zcuX书z
—=e,—=ze,—=ye
次cydz
du
也dx+空dy+—d^=ex^z(dx+zdy+ydz)cx点y■
3、
+y
则dz
(1,1)n^dx-fdy。
55
4、
=一,则
J"
341
(3,4,5)=—25dx—25dy+5dz。
1、
设z=u21nV,
cZ
辽cu一
=+
cuexeV
dv
dzczcz
=T十
cucyeVcy
cV
dz
练习7.4多元复合函数的微分法
V=3x-2y,求
1u2
=2uInV—+—yV
y=sinx,
o
筠门(3x—2y)+r2、
yy(3x—2y)
-2ulnV二一2匕=yv
求竺.
/+竺乞之2y-2cosdxexcydx
x_2y
xe
2x2
2xln(3x-2y)-2
y2(3x-2y)
求下列复合函数的偏导数,其中f具有一阶连续偏导数。
(1)z=f(X+y,X—y)
(2)z=f(X2-y
2,exy)
设u=x+y,v=x—y
设u-x2-y2Vexy
cz
(z
czCV
■PT^―
■~1re
exCVex
+—
CV
czczcu,czCV
则y—=—T—+—T—
cy-.J-.J-.J-.
excuexCVex
2czxycz
=2x——+ye'
—
ducv
czcu
czQV
eVcy
cuczCV
I
列CVcy
<
z
cucv
=一2
浮+xexy氐cu
cv
z=f(xcosy,xsiny)
(4)z=
f(x+y」)
x
设u=xcosy,V=xsiny
设u
则亘=
rrre
czcu佗CV
\
re
cuexGVex
cz丄.
=cosy•—+siny
则£
z=皀旦+2:
CS--J--J--
excuexcvI
czygz
-2cux
dzCV
=F+r
raaf
cucyCVcy
CZ愆
cycu
r-,c
CUcz
r+
cy
cz,_
=—xsiny”—+xcosy”—cucv
-£
点u
点V
练习7.5隐函数的微分法
1、设函数y=f(X)由方程xy+x+y=1确定,求—「dx
2、设函数y=f(X)由方程xy+lny-Inx=0确定,求旦「dx
设
因为
F(x,y,z)=x3+y3+z3-3axyz
・2■2*2
Fx(x,y,z)=3x-3ayz,Fy(x,y,z)=3y-3axz,Fz(x,y,z^3z-3axy
练习7.8多元函数的极值与最值
1、求下列函数的极值。
(1)z=4(x-y)-x2
令
竺=4-2x=0
—=4_2y=0
解得驻点为(2,—2)。
z;
;
=—2,z;
y=o,zyy=—2,
在驻点(2,—2)处,A=zx;
(2,—2)=—2,B=z;
y(2,—2)=0,C=zyy(2,—2)=—2,
B2—AC=7vO,A=-2cO
所以在驻点(2,—2)处函数取得了极大值z(2,—2)=8
(2)z=x2+xy+y2-2x-y
丁=2x+y-2=0
令<g解得驻点为(1,0)。
空=x+2y-1=0
zxx=2,zxy=i,zy;
=2,
在驻点(1,0)处,A=zXX(i,o)=2,B=z;
y(i,o)=i,c=zyy(i,o)=2,
B2—AC=—3<
0,A=2aO
2、应用题
求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体。
设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则有X2+y2+z2=4a2,长方体的体积为V=xyz
构造辅助函数
F(x,y,z)=xyz+A(x2+y2+z2-4a2)
由于体积最大的内接长方体一定存在,而方程组的解又是唯一的,故(更a,2^
33
就是所求的最大值点,所求长方体的最大体积为
本章附加题
、选择题
则丝=
yex
C-2
k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表
6
二、应用题
1、要造一个容积等于定数面积最小。
设水池的长、宽、高分别为X,y,z,则有xyz=k,水池的表面积为S=xy+2xz+2yz
构造辅助函数F(x,y,z)=xy+2xz+2yz+A(xyz-k)
Fx=y+2z+Ayz=0
令{Fy'
=x+2z+泳z=0解得x=Y=阪,zJ烁。
Fz'
=2x+2y+Axy=02
[xyz=k
由于容积一定,表面积最小的水池一定存在,而方程组的解又是唯一的,故(阪,阪,丄阪)就是所求的最小值点。
2、在平面3x+4y-z=26上求一点,它与坐标原点的距离最短。
设平面上的点为(x,y,z),则有3x+4y-z=26,点到坐标原点的距离为
d=Jx2+y2+z2即要求满足3x+4y-z=26的条件下d2=x2+y2+z2的最小值
构造辅助函数F(x,y,z)=x2+y2+z2+Z(3x+4y-z-26)
Fx=2x+3a=0
令jFy=2y+4X=0解得x=3,y=4,z=—1。
F;
=2z-a=0
Qx+4y-z=26
由实际知,平面上到坐标原点距离最短的点一定存在,而方程组的解又是唯一的,故
(3,4,-1)就是所求的最小值点,此时点到原点的距离为426。
3、从斜边长为L的一切直角三角中,求有最大周长的直角三角形。
设三角形的两直角边长为x,y,斜边长为L,则有X2+y2=L2,三角形的周长为
C=X+y+L即要求满足X2+y2=L2的条件下c=x+y+L的最大值
222
Fx=1+2x1=0
构造辅助函数F(x,y)=x+y+L+几(X+y-L)
-42
令《Fy=1+2y几=0解得X=y=—L。
X2+y2=L22
由实际知,斜边为定长的直角三角形,最大周长存在,而方程组的解又是唯一的,故
就是所求的最大值点,此时最大周长为(i+J2)l。
练习8.1二重积分
1、填空:
在直角坐标系下化二重积分为二次定积分:
若D由y=0,x=1及y=jx围成,贝y
1寸X
JJf(x,y)db=0dx0f(x,y)dy。
D
,中D为x轴,y=x,及y=-x+2围成区域。
2、改变积分顺序:
1x11
(1)[dx0f(x,y)dy=10dyJyf(x,y)dx。
1;
(2)[dy[2f(x,y)dx=,0dxJx2f(X,y)dy。
3、计算下列二重积分:
y=1,与oy轴围成的平面图形。
(1)JJxydxdy,其中积分区域D由y=x,
D
'
11'
11
JJxydxdy=JdxJxydy=J(-x--xDx22
(2)jjydydx,其中积分区域D由y=x,y=x—1,y=0及y=1围成的平面图形。
D
1y-H11-
JJydydx珥dyjyydx=J。
ydy匕门
JJydydx,其中积分区域D由y2=x+1,x=0围成的平面图形。
JJ(x+2y)dxdy,其中积分区域D由抛物线y=2x2,y=1+x2围成的平面图形。
.11
怡%b=fexd^eydy=2e-2
第九章无穷级数
练习9.1数项级数
判定下列级数的敛散性
n#n(n+1)
nin(n+1)
11111
=lim(1--+---+ll|—)=1,级数收敛。
F223
nn+1
练习9.2正项级数敛散性的判别法
□C
JI
Zsin
n
n:
2n
sin
lim
2'
3C
n+1
Zln(
—)
n4
2nK1
=兀,而等比级数送4
n^2n
□c
收敛,所以级数无sin
ln(1中—)处1
lim一严=1,而级数21发散,所以级数
nAn
比1
z—(jn+1-7n)
n土n
-(Jn+1-亦)
n(Jn+1+7n)
lim5"
n—
□G
nrn
5、
处n+1
Zln(D)发散。
n4n
收敛。
nVn
1.1
sin-
n+1n
1.1Sinlim^!
nn^^1
nVn2+n
lim&
^
=-,而级数无
2nAn/n
=1,而级数iTA收敛,原级数收敛。
nrnn
=1,而级数5:
-发散,原级数发散。
n#n
收敛,原级数收敛。
6、
£
^sin-^
n4n寸n
—sin—^=-lim
nvn
=1,而级数
□C1
2一—收敛,原级数收敛。
n4nVn
7、
^2n
乙~n
n4-2
一22
比值判别法
2(n+1)
lim—nf2n
22
=-^<
1,级数收敛。
V2
8、
limT
n_^
n!
=0cl,级数收敛。
lim2n
F(n+1)23n
n=3>
1,级数发散。
(n+1)2
/n十
n2
=-<
判定下列级数的敛散性,
练习9.3交错级数
若级数收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛
1、Z(-{丄是
n=2Inn
.收敛的。
2、S(T)2*是
n#斗n
收敛的。
4、送(-1严7是
n3
处“4
5、送^1)n-(-)n是
n43
6、送(_1)n“2丨是n丄13丿
1、条件2、发散3、绝对4、
绝对5、发散6、绝对
练习9.4
幕级数的收敛域
求下列幕级数的收敛域
Znnx
n=0
an卅
an
=1,收敛区间
当X=±
,级数发散,原级数收敛域为
(-1)
nd
n^ac
an+
xn
a.丄
lim—^=2,收敛区间
(—1,1),
11
(22),当x
,级数收敛,原级数收敛域为
[—1,1]。
=±
-,级数收敛,原级数收敛域为
[-扛]。
■7X
lim
an十
=丄,收敛区间
3
(-3,3),当x=—3,级数收敛,当x=—3,级数发散
原级数收敛域为[-3,3)。
练习9.5函数展开为幕级数
1、把下列函数展开为
X的幕级数
(1)f(X)FOS2X
沁=式7
nd(2n)!
1111处(_4”
x2n,f(x)二+2cOs2T+遵计x2nw严)
(2)f(x)=xarctanx
(arctanx)'
=
1+x
-Z(-x21)n=:
S(—1)nx2n,
n=0
1X处X(_1)n
arctanx“dx=f无(-x2)ndx=Wx2n*
01+X^0n-0r
nzO
n42n+1
f(X)=xarctanx=Z
n卫2n+1
x—t"
]
(3)f(X)=(1+x)ln(1+x)
处(一1)n解:
f(x)=ln(1+x)+1=1+送
f(x)珥[In(1+x)+1]dx「0[1
nmn+1
x"
]dx=x+h^1n
心(n+1)(n+2)
cos<
=:
^^x2n
n』(2n)!
2、把下列函数在指定点
1-cos4x
f(x)=8
十苕竺(4X)2n
n出(2n)!
xo处展开为(X-Xo)的泰勒级数
(—1)2422
=L
心2(2n)!
=1处
f(x)=
1+(X—1)nrn
W(—1)n(x—1)n
^(0,2)
f(x)
=—,在X0=3处
X
f(x)一=
1_=2(T)n
X3+(x-3)nT3n+(x_3)
^(0,6)
(3)f(X)H_nX〉Xo"
2淳
赛fdH
X2+(x—2)
f(X)H『-dx+-n2H-n2+
.2X
(」)gn(n+」)x匚
8mn
nN芈(x—2二xe(04)
n-O2
J2
(—」)(x—2)ndxH_n2+gT)(x—2)工xe(04一n姑2(n+」)
8X8XwX赛代s{x)hmn(ni)xn「s1(x)H-0s(x)dxHM(n十1)xn~一0s,(x)dxHMXiH
-n4-n=e」—X
hs;
(x)h^^^-x4(—」二)
(1—XJ
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