二次函数矩形的存在性问题含答案Word格式.docx

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2

P分别作PMLx轴于点MPNLy轴于点N,在四边形PMONb分别截取11

-ON,NF-NP.

33

点P是抛物线上的一动点，过点

11

-MP,MD-OM,OE

求此二次函数的解析式；

求证：

以C,D,E,F为顶点的四边形CDE是平行四边形；

在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形？

若存在，请求出所有符合条件的P点坐标;

PC

（1）

（2）

（3）

若不存在，请说明理由

6.如图所示，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C.

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE±

BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点卩，求厶PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、MN、Q为顶点且以PM为边的正方形？

若存在，直接写出点

P的横坐标；

若不存在，说明理由.

N,分/MFD=90、/MDF=90和/FMD=90三种情况，

再利用中点坐标公式可求得N点坐标.

x-6x+8=0的两个根，且OC>

BC,

参考答案

1.（2015黑龙江省龙东地区）如图，四边形OABC是矩形，点AC在坐标轴上，△ODE^AOCB绕点O顺时针旋转90°

得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F,交OE于点H线段BCOC的长是方程x2

-6x+8=0的两个根，且OC>

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N,使以点DF、MN为顶点的四边形是矩形？

若存在，

请直接写出点N的坐标；

1.分析：

（1）解方程可求得OCBC的长，可求得B、D的坐标,利用待定系数法可求得直线BD的解析式；

（2）可求得E点坐标，求岀直线OE的解析式，联立直线BDOE解析式可求得H点的横坐标，可求得厶OFH的

面积;

（3）当厶MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，

解答：

解：

（1）解方程x-6x+8=0可得x=2或x=4,vBCOC的长是方程

•BC=2,OC=4•B（-2,4）,•/△ODE>

AOCB绕点O顺时针旋转90°

得到的,

•OD=OC=4DE=BC=2•D（4,0）,设直线BD解析式为y=kx+b,

由

（2）可知OF—，OD=4,则有△MOGAFOD

3

②当/MDF=90时，贝UM只能在y轴上，连接DN交MF于点G,如图2,

2.（2015重庆市綦江县）如图，抛物线y

•••==「，即二=丄，解得OM=6

oqOK4DM

•M（o,-6）,且F（0,卫），

MG』MF丄，贝UOG=OMMG=去,\2333

•G（0,-丄）,

设N点坐标为（x,y）,则=0,'

'

=-

22|3

解得x=-4,y=-」，此时N（-4,-」）;

33

③当/FMD=90时，则可知M点为O点，如图3,

•••四边形MFND为矩形，

•NF=OD=4ND=OF=，可求得N（4,卫）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（二!

，-上）或（-4,

93

x2x3与x轴交与A,B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C•点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

C=FM

cFM“

2（1

故最大周长为9+92

⑶①若AP为对角线

911

如图，由△PMS^MAF可得P（0,）由点的平移可知Q（2,）故Q点关于直线AM的对称点T为（0,）

222

②若AQ为对角线

179

如图，同理可知P（0,）由点的平移可知Q（2,）故Q点关于直线AM的对称点T为（0,）

（0，4）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°

，得到平行四边形AB'

（1）若抛物线经过点CAA'

，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：

当点M在何处时，

△AMA的面积最大？

并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为

（1，0），当P、N、BQ构成平行四边形时，求点P的坐标，

当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标.

分析

（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°

，得到平行四边形A'

B'

OC，且点A的坐标是（0,4），可求得点A'

的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、AA'

的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA'

设直线AA的解析式为：

y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点

2

M的坐标为：

（x，-x+3x+4），继而可得△AMA的面积，继而求得答案；

（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.

解答解：

（1）v平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°

，得到平行四边形A'

OC，且点A的坐标是（0，

4），

•••点A'

的坐标为:

（4，0），

•••点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0）「，抛物线经过点C、A、A'

，

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c，

。

-界己二0fa=-1

y=-x+3x+4；

•亡=4，解得：

｛23，•此抛物线的解析式为:

L16af4b+c=0［匚二4

（2）连接AA'

，设直线AA'

的解析式为：

y=kx+b，

•••当x=2时，△AMA'

的面积最大，最大值Saama=8,

4.

（2016贵州省毕节地区）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a,8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC,PE为边构造矩形PCDE

设点D的坐标为（mn）,请求出mn之间的关系式.

分析

（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，

可求得抛物线解析式；

（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ!

x轴，交x轴于点Q

可知OC」-AQ=4,可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式

可求得P点坐标，从而可求得PC的长；

（3）根据矩形的性质可分别用mn表示岀CP的坐标，根据DE=CP可得到mn的关系式.

解：

（1）vA（a,8、是抛物线和直线的交点，二A点在直线上，

•8=2a+4，解得a=2,•A点坐标为（2,8）,又A点在抛物线上，

•8=22+2b,解得b=2，•抛物线解析式为y=x2+2x；

（2）联立抛物线和直线解析式可得

y=2x+4

竄2二一2

•••B点坐标为（-2,0）,

如图，过A作AQ±

x轴，交x轴于点Q,

则AQ=80Q=0B=2即0为BQ的中点，

当C为AB中点时，贝UOC%AABQ的中位线，即C点在y轴上,

•0C丄AQ=4,

•C点坐标为（0，4），

又PC//x轴，•P点纵坐标为4，

•••P点在抛物线线上，

•4=x2+2x，解得x=—1-7或1,

•••P点在A、B之间的抛物线上，

•x=-1-一二不合题意，舍去，

•P点坐标为（Q，4），

•PC=1—0=1；

（3）vD（m,n），且四边形PCDE为矩形,

•C点横坐标为m,E点纵坐标为n,

•/C、E都在直线y=2x+4上,

门-4

•C（m,2m+4）,E（—-—,n）,

Z

•/PC/x轴，

•P点纵坐标为2m+4,

•••P点在抛物线上，

•2m+4=x+2x，整理可得2m+5=（x+1）；

解得x={2nr+5—1或x=-”2欣百

•P点坐标为（寸五曲—1,2m+4）,

n-4>

•DE_-—-m,CP吋2时5-1-m，

•••四边形PCDE为矩形，

H-4>

•DE=CP即m*2时5—1—m,

2

整理可得n-4n—8m-16=0,

即mn之间的关系式为n-4n-8m-16=0.

—1（舍去），

5.（2013湖南省常德市）如图，已知二次函数的图象过点A（0，-3）,b（J3,J3）,对称轴为直线x—,点p是抛物线上的一动点，

过点P分别作PMLx轴于点MPN1y轴于点N,

111

在四边形PMO上分别截取PCMP,MDOM,OEON,NF

333

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：

（3）在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形？

若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；

若不存在，请说明理由•

（1）设二次函数的解析式为

yax2bxc,将点a（0，-3）、B（J3,J3）、对称轴方程分别代入可得:

3c,

a1,

33a

.3bc,解得

a1,•此二次函数的解析式为

b

1

b3.

2a

2.

（2）证明：

如图连接CDDEEF,FC.•/PMLx轴，PNLy轴，

•••四边形OMP是矩形.•••MP=ONOMPN.

f1111

又PC-MP,MD-OM,OE-ON,NF-NP,

3333

•

DMFN,MCNE•△CMD△ENF,同理△ODE△FPC（SAS）,

•CF=EDCD=EF.,•四边形CDEF是平行四边形.

E

DQ

当CDLDE时,

X

2X

DM

4一9

1-9

x2

CE

DE2

CD2

42

x3

21

4

x

—

9

52

5

当x2

x时

■_-

此时，

*

.3,y2

2x

3,

y1

3,y2

x.

f,为.3雀.3,

3；

时,x,3，他1,

1.

综上可知符合条件的P点有四个，

分别是.3,3，.3，-3，-3，3,1，-1.

本题用相似更简单!

二次函数中矩形的存在性问题

6•如图所示，抛物线

y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C.

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PELBC于点E,作PF平行于x轴交直线BC

于点卩，求厶PEF周长的最大值；

已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点,

得到严

I9a+3b-3-0

•/PF//OB

•••/PFE=ZOBC=5,

•/PELBC,

•••/PEF=90,

•△PEF是等腰直角三角形,

•m=二时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大,

-15

:

）,

•••直线BC的解析式为y=x-3,

•••EF=EP=,

8

44

（3）①如图2中,

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQ是正方形，易知P（2,-3）.点P横坐标

②如图3中，当四边形PMQN1正方形时，作PF丄y轴于N,MEx轴，PE//y轴.

易知△PFN^APEM

•PF=PE设P（m,吊-2m—3）,

•••M（1,-4）,

•m=m—2m-3-（-4）,

•m=［「或；

「（舍弃），

•P点横坐标为

2或；

.

所以满足条件的点P的横坐标为