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解析几何与微积分的创立;
第七讲:
分析时代:
18世纪的数学;
第八讲:
19世纪的代数;
第九讲:
19世纪的几何;
第十讲:
19世纪的分析;
第十一讲:
20世纪数学概观I;
第十二讲:
20世纪数学概观II;
第十三讲:
20世纪数学概观III;
选 讲:
数学论文写作初步。
作业:
每一讲写600字左右的读书笔记,30%记入学期总成绩。
考查:
每位同学选取一名数学家,以这数学家为主题写一篇数学史讲稿(约2000字),并把讲稿内容制作成PowerPoint文档(约15分钟,5-8张文档),70%记入学期总成绩。
要求:
讲稿用A4纸单面打印,连同PowerPoint文档上交。
四、主要参考书
1、克莱因.古今数学思想.牛津大学出版社,1972(中译本:
北京大学数学系数学史翻译组译,上海科学技术出版社,1979-1981,4卷本);
2、张奠宙.20世纪数学经纬.上海:
华东师范大学出版社,2002;
3、吴文俊主编.世界著名数学家传记(上、下册).北京:
科学出版社,1995;
4、程民德主编.中国现代数学家传(5卷本).南京:
江苏教育出版社,1994-2002;
5、中国大百科全书编辑委员会.中国大百科全书(数学卷).北京:
中国大百科全书出版社,1988;
6、王元、严士健、石钟慈、谈德颜编译.数学百科全书(5卷本).北京:
科学出版社,1994-2000;
7、郭金彬、孔国平.中国传统数学思想史.北京:
科学出版社,2004;
8、徐品方、张红.数学符号史.北京:
科学出版社,2006。
第一讲数学的起源与早期发展
1、数与形概念的产生
从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成,是一个缓慢、渐进的过程。
人从生产活动中认识到了具体的数,导致了记数法。
“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。
早期几种记数系统,如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅等。
世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系,足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。
2、河谷文明与早期数学
2.1古代埃及的数学
背景:
古代埃及简况。
埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史,发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识,建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。
古埃及最重要的传世数学文献:
纸草书,如莱茵德纸草书、莫斯科纸草书。
数学贡献:
记数制,基本的算术运算,分数运算,一次方程,正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式,近似的圆面积,锥体体积等。
公元前4世纪希腊人征服埃及以后,这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。
2.2古代巴比伦的数学
古代巴比伦简况。
两河流域(美索不达米亚)文明上溯到距今6000年之前,几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。
了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版,迄今已有约50万块泥版出土。
现在泥版文书中大约有300多块是数学文献。
泥版楔形文、普林顿322。
2.3古代印度的数学
古印度简况。
古代和中世纪,富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下,所以古代印度文化不可避免地呈现出多元复杂的背景,最显著的特色是其宗教性。
吠陀时期(公元前10-前3世纪)。
《吠陀》成书于公元前15-前5世纪,印度婆罗门教的经典。
残留的《吠陀》中有《绳法经》(前8-前2世纪),这是印度最早的数学文献。
阿育王石柱记录了现在阿拉伯数字的最早形态。
公元前2-公元3世纪的印度数学,可参考的资料主要是“巴克沙利手稿”,出现了完整的十进制数码,其中有“•”(点)表示0,有公元876年的“瓜廖尔石碑”为证。
2.4西汉以前的中国数学
《史记·
夏本纪》大禹治水(公元前21世纪)中提到“左规矩,右准绳”,表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具,而且知道“勾三股四弦五”。
考古学的成就,充分说明了中国数学的起源与早期发展。
西安半坡村遗址、殷墟商代甲骨文、算筹、龙山里耶秦简。
公元3-4世纪成书的《孙子算经》记载说:
“凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。
”
中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上,是中国传统数学对人类文明的特殊贡献,这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。
我国是世界上首先发现和认识负数的国家。
第二讲 古代希腊数学
恩格斯(德,1820-1895年)指出:
“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础,就没有现代的欧洲。
古希腊的变迁。
1、古典时期的希腊数学
公元前600-前300年。
1.1爱奥尼亚学派(米利都学派)
泰勒斯(公元前625-前547年),被称为“希腊哲学、科学之父”。
哲学:
水生万物,万物复归于水。
数学:
创数学命题逻辑证明之先河,希腊几何学的鼻祖,最早留名于世的数学家,测量过金字塔的高度,预报了公元前585年的一次日食。
1.2毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯(约公元前560-前480年),在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派,致力于哲学和数学的研究,繁荣兴旺达一个世纪以上。
万物皆为数。
数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派,毕达哥拉斯定理,完全数、亲和数,正五角星作图与“黄金分割”,发现了“不可公度量”。
1.3伊利亚学派
芝诺(约公元前490-前430年)悖论:
运动不存在、阿基里斯、飞矢不动。
芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出,并进行了辩证的考察。
1.4诡辩学派(智人学派)
活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城,代表人物均以雄辩著称,故亦称智人学派。
安蒂丰(约公元前480-前411年)的“穷竭法”。
古典几何三大作图问题:
三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5柏拉图学派
柏拉图(约公元前427-前347年)对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展,有着深远的影响。
柏拉图说:
“不懂几何者免进”,认为打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形,
发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。
柏拉图不是数学家,却赢得了“数学家的缔造者”的美称,创办雅典学院(前387-公元529),讲授哲学与数学。
1.6亚里士多德学派(吕园学派)
亚里士多德(公元前384-前322年)是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成,把古希腊哲学推向最高峰,堪称“逻辑学之父”,为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础,被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期
希腊化时期的数学(公元前300-公元600年)。
公元前300-前30年。
托勒密(托勒密·
索特尔,约公元前367-前283年)定都于亚历山大城。
希腊数学黄金时代,先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家,他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1欧几里得(公元前325-前265年)
公元前300年成为亚历山大学派的奠基人,用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦,成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷:
由5条公理,5条公设,119条定义和465条命题组成,构成了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德(公元前287-前212年)
数学之神,与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》,把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。
墓碑:
球及其外切圆柱。
2.3阿波罗尼奥斯(约公元前262-前190年)
贡献涉及几何学和天文学,最重要的数学成就是《圆锥曲线》,希腊演绎几何的最高成就。
《圆锥曲线》全书共8卷,含487个命题。
克莱因(美,1908-1992年):
它是这样一座巍然屹立的丰碑,以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。
这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。
3、希腊数学的衰落
罗马帝国简史。
罗马帝国的建立,唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。
同气势恢弘的罗马建筑相比,罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。
从公元前30-公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。
3.1托勒密(埃及,90-165年)
最重要的著作是《天文学大成》13卷,总结了在他之前的古代三角学知识,其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表。
三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。
3.2丢番图(公元200-284年)
希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》,这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作,创用了一套缩写符号,一种“简写代数”。
丢番图的墓志铭。
古希腊数学的落幕。
亚历山大女数学家希帕蒂娅(公元370-415年)被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。
柏拉图学园被封闭。
亚历山大图书馆三劫,希腊古代数学至此落下帷幕。
埃及阳历、儒略历、格里历、公历。
中世纪的东西方数学I
从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。
中国传统数学的形成与兴盛:
公元前1世纪至公元14世纪。
1、中算发展的第一次高峰:
数学体系的形成
秦汉时期形成中国传统数学体系。
《算数书》:
中国现存最早的数学专著。
《周髀算经》:
编纂于西汉末年,天文学著作。
两项重要数学成就:
勾股定理的普遍形式,数学在
天文测量中的应用。
《九章算术》:
中国传统数学最重要的著作,全书246个问题,分成九章。
它完整地叙述了当时已有的数学成就,在长达一千多年间,一直作为中国的数学教科书,并被公认为世界数学古典名著之一。
《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。
2、中算发展的第二次高峰:
数学稳步发展
从公元220年东汉分裂,到公元581年隋朝建立,史称魏晋南北朝。
数学上以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现。
这是中国数学史上一个独特而丰产的时期,是中国传统数学稳步发展的时期。
《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。
2.1刘徽(公元3世纪)
公元263年撰《九章算术注》,系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理,奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位,成为中国传统数学最具代表性的人物。
刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”,求出圆周率为3927/1250(=3.1416),主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50(=3.14)作为圆周率,后人常把这个值称为“徽率”。
这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家,享有国际声誉。
2.2祖冲之(429-500年)
著作《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。
祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,并以355/113(=3.1415929…)为密率,22/7(=3.1428…)为约率。
《缀术》的另一贡献是祖氏原理:
幂势既同则积不容异,在西方文献中称为卡瓦列里原理,或不可分量原理。
唐代主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。
唐初李淳风(604-672年)等人注释并校订了《算经十书》(约656年),十部算经对继承古代数学经典有积极的意义,显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平,是当时科举考试的必读书。
3、中算发展的第三次高峰:
数学全盛时期
宋元时期(960—1368年)重新统一了的中国社会发生了一系列有利于数学发展的变化,以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。
这一时期涌现许多杰出的数学家和先进的数学计算技术,其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书,是世界文化的重要遗产。
3.1贾宪三角
贾宪(约公元11世纪)约1050年完成《黄帝九章算术细草》,发明了“增乘开方法”,创造了“开方作法本源图”。
3.2隙积术
沈括(1030-1094年)《梦溪笔谈》(1093年)影响极大,被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。
他对数学的主要成就有“会圆术”与“隙积术”。
3.3天元术
李冶(1192-1279年)1248年撰成代数名著《测圆海镜》,该书是首部系统论述“天元术”的著作,是符号代数的尝试,在数学史上具有里程碑意义。
3.4大衍术
秦九韶(约1202-1261年)1247年完成数学名著《数书九章》,其中两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
一是创立了“大衍求一术”(中国剩余定理),二是提出了“正负开方术”(秦九韶法)。
3.5垛积术
杨辉(公元13世纪)1261年完成《详解九章算法》,其中主要的数学贡献是“垛积术”,另一贡献是所谓的“杨辉三角”,其实是记载了贾宪的工作。
3.6四元术
朱世杰(约1260-1320年)1303年在扬州刊刻了他的代表作《四元玉鉴》,它是中国宋元数学高峰的又一个标志,主要贡献有四元术。
美国著名科学史家萨顿(1884-1956年)说:
朱世杰是汉民族,他所生存时代的,同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。
3.7内插法
郭守敬(1231-1316年)1280年完成了中国古代最精密的历法《授时历》。
郭守敬建造的河南登封观星台(1276)留存至今。
古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式,与中国传统
数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映,交替影响世界数学的发展。
4、中算的衰落
朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物,是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰,而《四元玉鉴》可以说是宋元(960-1368年)数学的绝唱。
明清两朝(1368-1911年)共543年,不仅未能产生出与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作,而且在18世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前,像“四元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。
中世纪的东西方数学II
1、印度数学(公元5-12世纪)
公元前10-前3世纪称为印度的吠陀时期。
印度数学的繁荣鼎盛时期称为“悉檀多”时期(公元5-12世纪),是以计算为中心的实用数学的时代,数学贡献主要是算术与代数,出现了一些著名的数学家。
1.1阿耶波多(公元476-约550年)
在印度科学史上有重要影响的人物,最早的印度数学家,499年天文学著作《阿耶波多历数书》传世,最突出之处在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
1.2婆罗摩笈多(598-约665年)
628年发表21章的天文学著作《婆罗摩修正体系》,其中第12、18章讲的是数学,分数成就十分可贵,比较完整地叙述了零的运算法则,丢番图方程nx^2+1=y^2求解的“瓦格布拉蒂”法。
1.3婆什迦罗Ⅱ(1114-1188年)
印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家,1150年古印度数学最高成就《天文系统之冠》,其中有两部重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。
由于印度屡被其他民族征服,使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深,但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。
2、阿拉伯数学(公元8-15世纪)
阿拉伯简况。
9-15世纪阿拉伯科学繁荣了600年,创立了文化中心巴格达。
在世界文明史上,阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化,最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。
2.1早期阿拉伯数学(8世纪中叶-9世纪)
阿尔·
花拉子米(783-850年)智慧宫的领头学者,820年出版《还原与对消概要》,被奉为“代数教科书的鼻祖”,使得花拉子米成为中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。
花拉子米的另一本书《印度计算法》。
巴塔尼(858-929年)最重要的著作《历数书》,发现地球轨道是一个经常变动的椭圆,创立了系统的三角学术语,对中世纪欧洲影响最大的天文学家。
2.2中期阿拉伯数学(10-12世纪)
奥马·
海雅姆(1048-1131年)编制了中世纪最精密的历法“哲拉里历”,在代数学方面的成就集中反映于《还原与对消问题的论证》(1070),最杰出的贡献是研究三次方程根的几何作图法,提出的用圆锥曲线图求根的理论。
比鲁尼(973-1048年)三角学理论的贡献是制定了正弦、正切函数表,证明了一些三角公式,提出太阳是宇宙中心的思想等。
2.3后期阿拉伯数学(13-15世纪)
纳西尔丁·
图西(1201-1274年)最重要的数学著作《论完全四边形》,使得三角学成为数学的一个独立分支,对15世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。
卡西(1380-1429年)百科全书《算术之鈅》(1427),在数学上取得了两项世界领先的成就,一是1424年给出π的17位精确值,二是给出sin1°
的精确值。
3、中世纪的欧洲数学(5-14世纪)
公元5-11世纪,是欧洲历史上的黑暗时期,教会成为欧洲社会的绝对势力,宣扬天启真理,追求来世,淡漠世俗生活,对自然不感兴趣。
3.1教会统治
犹太教、基督教、天主教。
中世纪整个社会以宗教和神学为核心,数学领域毫无成就,《圣经》是最根本的知识。
因宗教教育的需要,也出现一些水平低下的初级算术与几何教材。
罗马人博埃齐(约480-524年)选编了《几何学》、《算术入门》等教科书,成为中世纪早期欧洲人了解希腊科学的唯一来源。
法国人热尔拜尔(938-1003年)999年当选为罗马教皇,提倡学习数学,翻译了一些阿拉伯科学著作,把印度-阿拉伯数码带入欧洲。
3.2科学复苏
贸易的发展,欧洲人开始与阿拉伯人、拜占庭人发生接触,了解阿拉伯、希腊的文化,创立了大学。
十字军东征促进了东西方文化的交流。
科学开始复苏。
12世纪是欧洲数学的大翻译时期。
希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁文后,欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学,构成后来欧洲数学发展的基础。
欧洲黑暗时期过后第一位有影响的数学家是斐波那契(意,约1170-1250年),编著了代表作《算盘书》(1202,1228),是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角。
13-14世纪,整个拉丁世界数学无大进展。
文艺复兴时期的数学
1、文明背景
1.1文艺复兴
文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起,15世纪后期起扩展到西欧各国,16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。
在这历时约200年的历史中,揭开了现代欧洲历史的序幕,被认为是中古时代和近代的分界,数学活动也以空前的规模和深度蓬勃兴起,。
1.2技术进步
欧洲文艺复兴时期的主要成就之一,是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。
四大发明相继传入欧洲。
1450年,德意志人古腾堡发明了金属活字印刷术,欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。
1.3航海探险
1488年,迪亚士(葡,1450-1500年)进入印度洋,发现好望角。
1498年,达•伽马(葡,1469-1524年)到达印度海岸,找到了通向东方的新航路。
1492年,哥伦布(西,1451-1506年)到达美洲。
1519-1522年,麦哲伦(葡,1480-1521年)船队完成了首次环球航行。
1.4天文学的革命
哥白尼(波,1473-1543年)提出“日心说”,1543年出版《天体运行论》。
布鲁诺(意,1548-1600年)1584年在《论无限、宇宙及世界》提出了宇宙无限的思想。
2、文艺复兴时期的欧洲数学
近代始于对古典时代的复兴,但人们很快看到,它远不是一场复兴,而是一个崭新的时代。
2.1代数学
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的,它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域,拉开了近代数学的序幕。
帕西奥里(意,1445-1517年),1494年出版《算术集成》是一部数学百科全书,其中采用了优越的记号及大量的数学符号,推进了代数学的发展。
塔塔利亚(意,1499-1557年)发表了《论数字与度量》(1556-1560),16世纪最好的数学著作之一,发现了三次方程的代数解法。
卡尔丹(意,1501-1576年)最重要的数学著作是1545年出版的《大术》,内有三次、四次方程的解法。
邦贝利(意,1526-1573),意大利文艺复兴时期最后一位代数学家,1572年出版《代数》,引进了虚数,正式给出了负数的明确定义。
施蒂费尔(德,1487-1567年),16世纪德国最大的数学家,1544年《综合数学》中指出:
符号使用是代数学的一大进步。
韦达(法,1540-1603年),16世纪法国最大、最有影响的数学家,被西方称为“代数学之父”,1591年出版《分析引论》是最早的符号代数专著。
2.2三角学
在16世纪,三角学已从天文学中分离出来,成为一个独立的数学分支。
雷格蒙塔努斯(德,1436-1476年),1464年完成《论各种三角形》(1533年出版),是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。
韦达(法,1540-1603年),1579年《应用于三角形的数学定律》系统讲述了各钟三角函数,1615年《截角术》系统化了球面三角和平面三角学。
2.3射影几何
文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。
正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科,诞生了射影几何学。
阿尔贝蒂(意,1404-1472年),1435年发表《论绘画》,阐述了最早的数学透视法思想,是射影几何发展的起点。
德沙格(法,1591-1661年)主要著作是1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》,射影几何早期发展的代表作。
帕斯卡(法,1623-1662年)1640年《圆锥曲线论》(1779年发现),内有帕斯卡定理:
圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。
射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分,他们的工作也渐被遗忘,迟至19世纪才又被人们重新发现。
2.4对数
1585年史蒂文(荷,1548-1620年)著作《十进算术》
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