河南省商丘名校学年高一上学期期末联考数学试题Word文件下载.docx

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ABC的（）

f（加）=（

21

A.—

8811・数学家欧拉在1765年提出泄理：

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉

线.已知△ABC的顶点A（2,0）,B（0,4）,且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程

其而枳为9JT，则三棱锥D-ABC体积的最大值为

二.填空题

13.函数/（a）=10g2（x+2）-1的零点是.

14.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有而的中心为顶点的多面体的体枳为

ABCD、PA=PByCD=2AB=4.CDIIAB

ZBPA=ZBAD=90°

・

参考答案

1.D

【解析】

【分析】

直接利用直线的点斜式方程得到答案.

【详解】

过点（2,1）,斜率k=-2的直线方程为：

y—1=—2（x—2）.•.2v+y—5=0

故选：

D

【点睛】

本题考査了直线的点斜式方程，属于简单题.

2.B

利用集合的补集的立义求出集合3的补集，再利用集合的交集的左义求出Ac（q.B）.

由题意U={1,2,3,4,5},A={2,3},B={1,4},则（^^={2,3,5},所以

4c（qB）={2,3}.

故选B.

本题考査交、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、补集的计算规则.

3.C

试题分析：

因为函数y=£

是奇函数，所以选项A不正确：

因为函为函数y=既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；

函数y=-x2+l的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间（0,+8）上单调递减，所以，选项C正确；

函数y=lg|x|虽然是偶函数，但是此函数在区间（0,+8）上是增函数，所以选项D不正确：

故选C.

考点：

1、函数的单调性与奇偶性；

2、指数函数与对数函数；

3函数的图象.

4.D

直接利用平行直线距离公式得到答案.

本题考査了平行直线的距离公式，意在考查学生的讣算能力.

5.C

x2+y2-6x=0^（x-3）2+y2=9,最短的弦长为2奸乔1?

二？

=2,选C.

直线与圆位置关系

6.A

由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表而积令其等于16+龙，即可得解.

由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为尸,所以该几何体的表而积S=2x2r-2r+4x2r-r—^-r2+2^-r2=16+^>

得r=1»

故选A.

以三视图为载体考查几何体的表而积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位宜关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可.

7.C

判断函数单调递增，根据函数单调性得到答案.

函数f（x）=2Hx-1单调递增,/（xo）=O则/（xjvo,/（x2）>

C

本题考查了函数的零点，函数单调性，意在考査学生对于函数知识的综合应用.

8.C

可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对苴进行分析，找出符合函数性质的图象.

X,X$1

V=]1:

则函数的左义域为：

（0,+8）,即函数图象只岀现在y轴右侧：

—,0vxv1

-X

值域为：

[1,+8）即函数图象只出现在y=l上方；

在区间（0,1）上递减的曲线，在区间（1,+8）上递增的直线.

分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求.

故选C.

本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题.

9.C

先画岀图形，过S作SO丄平而ABC,垂足为O,连接AO并延长交BC于H,连接CO,

可推出SO丄BC,结合S4丄BC,根据线而垂直泄理，得证BC丄AO,同理可证

丄CO,从而可得出结论.

过S作SO丄平而ABC，垂足为0,连接AO并延长交BC于H,连接CO.

:

.SO丄BC

又S4丄BC,SOC\SA=S

.BC丄平而$40

又AOu平而$40

.•.BC丄AO,同理A3丄CO

.•.O是三角形ABC的垂心.

本题考査了三角形垂心的性质，考査了直线和平而垂直的判左定理和性质泄理，以及宜线和直线垂直的判左，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线而垂直，在证明线线垂直，同时熟记线而位置关系的判定定理和性质左理是解答的关键.

10.A

根据奇函数得到/（0）=0,解得加=3,再计算/（/«

）=/（3）=-/（-3）得到答案.

/（a）是定义在R上的奇函数,当庖0时,/（x）=3・2i（加为常数）

、.、,<

3>

则/（0）=3_加=0・・・加=3故/（〃7）=/（3）=_/（_3）=---3=—

I"

/$

A

本题考査了函数的奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

11.C

由于AC=BC,可得：

aABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出AABC的欧拉线的方程.

解：

线段AB的中点为M（1,2）,kAB=-2,

・••线段AB的垂直平分线为：

y-2=i（x-1）,即x-2y+3=O.

乙

VAC=BC,

.•.△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂宜平分线上，

因此aABC的欧拉线的方程为：

x-2y+3=O.

待立系数法求直线方程.

12.B

分析：

作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当DM丄平而ABC时，三棱锥D-ABC体积最大，然后进行计算可得.

详解：

如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当DM丄平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大

此时，OD=OB=R=4

S“bc=£

八肝=9羽

.AB=6,

•.•点M为三角形ABC的中心

BM=-BE=2>

/3

3

/.Rt^OMB中，有OM=>

JOB2-BM2=2・・DM=OD+OM=4+2=6

•■-^D-ABC）^=|x9^x6=1873

点睛：

本题主要考查三棱锥的外接球，考査了勾股泄理，三角形的而积公式和三棱锥的体积公式，判断岀当DM丄平而ABC时，三棱锥D-ABC体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到BM=|BE=2>

/3,再由勾股左理得到OM,进而得到结果，属于较难题型.

13.0

直接解方程/W=log2（x+2）-1=0得到答案.

/（x）=log2（x+2）-l=0/.x=0

故答案为：

本题考查了函数的零点问题，属于简单题.

14.-

先分析组合体的构成，再确左锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

由图可知，该多而体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底而正方形的边长等于血，所以该多而体的体积为2xlxlx（>

/2）2=l

解决本类题目的关键是准确理解几何体的左义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断：

求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体枳公式的几何体进行解决.

9

15.—

5

工+y2的值可以看作直线/：

x+2y-3=0上点到原点的距离的平方，利用点到直线的距离公式得到答案.

疋+y2的值可以看作直线/：

x+2y-3=0上点到原点的距离的平方

它的最小值是原点到直线的距离的平方即/=匚3_=-

二

本题考査了点到直线的距离公式，将题目转化为几何意义是解题的关键.

5‘

16.—<

m<

2.

根据函数的奇偶性得到函数图像，根据图像得到答案.

如图所示：

根据函数的奇偶性得到函数图像.

/（a）=用恰好有4个实数根，则-<

m<

二<

ifi<

2

本题考査了函数的零点问题，画岀函数图像是解题的关键.

17.

（1）么=2・

（2）{xl-l<

x<

0）・

（1）将点（4,2）代入函数讣算得到答案.

（2）解不等式10g2（A+l）<

10g2l得到答案.

（1）因为logfl4=2,所以*=4,因为"

>

0,所以a=2.

（2）因为f（x+1）VO,也就是10g2（.v+1）<

0,所以10g2（x+1）<

10g2h

fx+l>

所以<

，一，即所以实数X的取值范围是{xl-l<

0}・

x+l<

l

本题考査了对数函数解析式，解不等式，忽略立义域是容易发生的错误.

18.

（1）{xl3<

4（,{x\x<

4}:

（2）（-00,4].

（1）先根据指数函数与对数函数的性质，求得A={x\\<

4},B={x\x）3}t即可求解TPIECC显）LM：

（2）分当和q>

1两种情况，分别运算CcA,即可求解实数d的取值范朗.

试题解析：

（1）由已知得A={x\\<

4},B={x卜〉3}

AB={x13<

x<

4}

（CrB2A={xIx53}u{x11H}={xIx<

1当"

51时，C=0，此时CyA：

2当Q>

1时，由C^A得1vq<

4：

综上，a的取值范围为（-8,4].

指数函数与对数函数的性质：

集合的运算.

19.

（1）证明见解析：

（2）证明见解析.

（1）在Z1CDE中，由已知结合余弦左理得CE,连接力C,可得M=2,在4P4E中，^PA2+

AE2=PE2,得肿丄力E,同理4P丄力C,然后利用线而垂直的判左可得肿丄平而A8CE：

（2）由AB//CE,且CEu平而PCE,>

13Q平而PCE,可得眉8//平而PCE,又平而C平

而PCE=l,结合面而平行的性质可得ABUL

（DliACDE^t

VCD=ED=>

/7»

cosZEDC=I，由余弦定理，CE?

=（的）2+（02_2x®

*兮=4,

•••CE=2•连接AC,

VAE=2>

ZAEC=60°

AAC=2.

又・.・AP=书，

•••在Z\PAE中，PA2+AE2=PE2,即AP丄AE,同理AP丄AC,而AC,AEu平而

ABCE,ACCIAE=A.

故AP丄平而ABCE.

（2）TAB〃CE,且CEu平面PCE,ABG平面PCE,

•••AB〃平面PCE.

又平而PABH平面PCE=1.•••AB〃1・

20.

（1）20：

（2”=4或3x-4y+4=0.

（1）计算圆心到直线的距离为"

估九再利用勾雌理得到答案.

（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案.

（1）化圆GA2+y2-4.r=0为：

（—2）2+/=4,知圆心（2,0）为半径为2,

（2）当斜率不存在时，过P（4,4）的直线是x=4,显然是圆的切线;

当斜率存在时，设直线方程为y-4=R（x-4）.由耳二竺1=2,解得kQ.

此时切线方程为3a-4v+4=0.

综上所述：

切线方程为尤=4或3x-4y+4=0.

本题考査了弦长和切线问题，忽略斜率不存在的情况是容易发生的错误.

21.⑴见解析：

（2）比咖=半°

（1）直接利用线面垂直和面而垂直的性质求出结果.

（2）利用等体积转化法求出结果.

（1）•.•平而P4B丄平而ABCD,平而PAEc平而ABCD=AB,

ADu平而ABCD,且AD丄A3,

.AD丄平mPAB.

又•：

PBu平而PAB、：

.PB丄AT>

.

又•:

PB丄P4,

PAr>

AD=A,平而PAD,

・••PB丄平［SiPAD.

（2）取AB中点E,连接PE.

•:

PA=PB，：

•PE丄AB.

PEu平而P4B，平而Q4B丄平而ABCD,

平而PABr\平而ABCD=AB,

・••PE丄平l^ABCD.

：

・PE为三棱锥P-BCD的髙，且PE=」AB=1.2

XVCD||AB,AD丄CD,・・・S別s=丄CDAD=2AD.

i2

Vjpbd=^p-bcd=亍■S昶cq•PE=§

AD=2,得AD=3.

PA=A3cos45°

=血.

又AD丄平^PAB且P4u平而PAB，:

•PA丄AQ.

22.

（1）奇函数，见解析

（2）单调递增，证明见解析（3）[-1,3].

（1）函数g（x）为奇函数，计算得到&

（一兀）=—g（x）得到证明.

（2）函数g（x）在（1,+00）上单调递增，设1VmVq，计算g（Ai）-g（X2）VO得到证明.

（3）根据函数的单调性得到不等式加2_2用+7王2加2_4加+4,计算得到答案.

（1）根据题总，g（x）为奇函数，

、”cx-2x-1x111

g（x）=/（x）-3=+——+3=-（——+—+——），

x-1Xx+1x-1Xx+\

其立义域为{•"

详-1且30且時1},关于原点对称，

则有g（-X）=-（-!

—+-+—!

—）=_g（X）,则函数g（A）为奇函数：

X-1XX+l

（2）根据题意，函数g（A-）在（1,+00）上的单调递增，设1VX|V*2，

111111

g（X】）-g（X2）=-[+—+—]+[+—+]

X]—1XjX]+1£

—]七AS+1

_]1]

"

（XIA2）〔（西-1）（兀2-1）+轧+（西+1）（尤2+1）"

又由lVxi<

X2,则g（XI）-g（X2）<

0,则函数g（A）在（1,+co）上的单调递增，

（3）根据题意，g（x）在（1,+00）上的单调递增，

f（a）=g（x）+3在（1,+oo）上的单调递增；

又由m2-2w?

+7=（”i-1）2+6>

1,2/n2-4加+4=2（加-1）2+2>

1

f（/n2-2m+7）>

f（2/n2-4m+4）.■-m2-2m+7>

2m2-4/?

z+4,解可得：

-19?

三3：

即加的取值范围为[・1,3].

本题考査了函数的单调性，奇偶性，根据函数的单调性解不等式，意在考査学生对于函数性质的综合应用.

（1）求证：

PB丄平而PAD：

（2）若三棱锥C-PBD的体积为2,求△朋D的面积.

Y—?

V—1y

22.已知函数f（x）=-一+—+—>

g（x）=f（x）-3・

x-1Xx+1

（1）判断并证明函数g（A）的奇偶性：

（2）判断并证明函数g（A）在（1,+O0）上的单调性：

（3）若f（m12-2m+7）>

f（2m2-4/n+4）成立，求实数加的取值范围・