离散数学试题及答案Word下载.docx
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D={a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是().
(A)∃x∀yP(x,y)(B)∀x∀yP(x,y)(C)∀xP(x,x)(D)∀x∃yP(x,y).
6。
若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是()。
(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6)。
7.设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=∃xP(x),H=∀xP(x),则一阶逻辑公式G→H是().
(A)恒真的(B)恒假的(C)可满足的(D)前束范式。
8设命题公式G=⌝(P→Q),H=P→(Q→⌝P),则G与H的关系是()。
(A)G⇒H(B)H⇒G(C)G=H(D)以上都不是.
9设A,B为集合,当()时A-B=B。
(A)A=B(B)A⊆B(C)B⊆A(D)A=B=∅.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有()。
(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为().
(A){a}∈{a,b,c}(B){a}⊆{a,b,c}(C)∅∈{a,b,c}(D){a,b}∈{a,b,c}
12命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是()。
(A)对任意x,G(x)都取真值1。
(B)有一个x0,使G(x0)取真值1。
(C)有某些x,使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不对。
13。
设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是().
(A)9条(B)5条(C)6条(D)11条.
14。
设G是5个顶点的完全图,则从G中删去()条边可以得到树。
(A)6(B)5(C)10(D)4。
15.设图G的相邻矩阵为,则G的顶点数与边数分别为().
(A)4,5(B)5,6(C)4,10(D)5,8。
三、计算证明题
1.设集合A={1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图;
(2)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界;
(3)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。
2.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(x,y)|x,y∈A且x≥y},求
(1)画出R的关系图;
(2)写出R的关系矩阵.
3.设R是实数集合,σ,τ,ϕ是R上的三个映射,σ(x)=x+3,τ(x)=2x,ϕ(x)=x/4,试求复合映射σ•τ,σ•σ,σ•ϕ,ϕ•τ,σ•ϕ•τ.
设I是如下一个解释:
D={2,3},
a
b
f
(2)
f(3)
P(2,2)
P(2,3)
P(3,2)
P(3,3)
3
2
1
试求
(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b));
(2)∀x∃yP(y,x).
5.设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图;
(2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元;
(3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界.
设命题公式G=⌝(P→Q)∨(Q∧(⌝P→R)),求G的主析取范式.
7。
(9分)设一阶逻辑公式:
G=(∀xP(x)∨∃yQ(y))→∀xR(x),把G化成前束范式。
9。
设R是集合A={a,b,c,d}。
R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},
(1)求出r(R),s(R),t(R);
(2)画出r(R),s(R),t(R)的关系图.
11。
通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价:
(1)G=(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R)
(2)H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R))
13.设R和S是集合A={a,b,c,d}上的关系,其中R={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)},S={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}。
(1)试写出R和S的关系矩阵;
(2)计算R•S,R∪S,R-1,S-1•R-1。
四、证明题
1。
利用形式演绎法证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
2。
设A,B为任意集合,证明:
(A—B)—C=A-(B∪C)。
3。
(本题10分)利用形式演绎法证明:
{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D。
4.(本题10分)A,B为两个任意集合,求证:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.
参考答案
1.{3};
{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
2.。
3.α1={(a,1),(b,1)},α2={(a,2),(b,2)},α3={(a,1),(b,2)},α4={(a,2),(b,1)};
α3,α4.
4.(P∧⌝Q∧R)。
5.12,3.
6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.
7.自反性;
对称性;
传递性。
8.(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0).
9.{(1,3),(2,2),(3,1)};
{(2,4),(3,3),(4,2)};
{(2,2),(3,3)}。
10.2m⨯n.
11.{x|—1≤x<
0,x∈R};
{x|1<
x〈2,x∈R};
{x|0≤x≤1,x∈R}。
12.12;
6.
13.{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}。
14.∃x(⌝P(x)∨Q(x)).
15.21.
16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17.{(1,3),(2,2)};
{(1,1),(1,2),(1,3)}。
1.C.2.D.3。
B。
4。
5.D。
6。
C。
7.C.
A。
9.D.10.B。
11.B。
13。
14。
A.15.D
(1)
(2)B无上界,也无最小上界。
下界1,3;
最大下界是3。
(3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,90+;
极小元是1。
R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3.
(1)σ•τ=σ(τ(x))=τ(x)+3=2x+3=2x+3.
(2)σ•σ=σ(σ(x))=σ(x)+3=(x+3)+3=x+6,
(3)σ•ϕ=σ(ϕ(x))=ϕ(x)+3=x/4+3,
(4)ϕ•τ=ϕ(τ(x))=τ(x)/4=2x/4=x/2,
(5)σ•ϕ•τ=σ•(ϕ•τ)=ϕ•τ+3=2x/4+3=x/2+3.
(1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f
(2))
=P(3,2)∧P(2,3)
=1∧0
=0。
(2)∀x∃yP(y,x)=∀x(P(2,x)∨P(3,x))
=(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3))
=(0∨1)∧(0∨1)
=1∧1
=1。
5.
(1)
(2)无最大元,最小元1,极大元8,12;
(3)B无上界,无最小上界.下界1,2;
最大下界2.
G=⌝(P→Q)∨(Q∧(⌝P→R))
=⌝(⌝P∨Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧⌝Q)∨(Q∧(P∨R))
=(P∧⌝Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
=(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
=(P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑(3,4,5,6,7).
G=(∀xP(x)∨∃yQ(y))→∀xR(x)
=⌝(∀xP(x)∨∃yQ(y))∨∀xR(x)
=(⌝∀xP(x)∧⌝∃yQ(y))∨∀xR(x)
=(∃x⌝P(x)∧∀y⌝Q(y))∨∀zR(z)
=∃x∀y∀z((⌝P(x)∧⌝Q(y))∨R(z))
(1)r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)},
s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)},
t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)};
(2)关系图:
G=(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R)
=(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
=m6∨m7∨m3
=∑(3,6,7)
H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R))
=(P∧Q)∨(Q∧R))∨(⌝P∧Q∧R)
=(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
=(P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
=m6∨m3∨m7
=∑(3,6,7)
G,H的主析取范式相同,所以G=H。
13.
(1)
(2)R•S={(a,b),(c,d)},
R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)},
R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)},
S-1•R-1={(b,a),(d,c)}。
四证明题
1.证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
(1)P∨RP
(2)⌝R→PQ
(1)
(3)P→QP
(4)⌝R→QQ
(2)(3)
(5)⌝Q→RQ(4)
(6)R→SP
(7)⌝Q→SQ(5)(6)
(8)Q∨SQ(7)
证明:
(A-B)-C=(A∩~B)∩~C
=A∩(~B∩~C)
=A∩~(B∪C)
=A-(B∪C)
{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D
(1)AD(附加)
(2)⌝A∨BP
(3)BQ
(1)
(2)
(4)⌝C→⌝BP
(5)B→CQ(4)
(6)CQ(3)(5)
(7)C→DP
(8)DQ(6)(7)
(9)A→DD
(1)(8)
所以{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D.
4.证明:
A-(A∩B)
=A∩~(A∩B)
=A∩(~A∪~B)
=(A∩~A)∪(A∩~B)
=∅∪(A∩~B)
=(A∩~B)
=A-B
而(A∪B)-B
=(A∪B)∩~B
=(A∩~B)∪(B∩~B)
=(A∩~B)∪∅
=A-B
所以:
A-(A∩B)=(A∪B)-B.
离散数学试题(A卷及答案)
一、(10分)某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成,按下面3个条件,有几种派法?
如何派?
(1)若A去,则C和D中要去1个人;
(2)B和C不能都去;
(3)若C去,则D留下.
解设A:
A去工作;
B:
B去工作;
C:
C去工作;
D:
D去工作。
则根据题意应有:
A→C⊕D,⌝(B∧C),C→⌝D必须同时成立。
因此
(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)
⇔(⌝A∨(C∧⌝D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)
⇔(⌝A∨(C∧⌝D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))
⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)
∨(C∧⌝D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝D∧⌝C)∨(C∧⌝D∧⌝C∧⌝D)
∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)
⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F
⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)
⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝D)∨(⌝C∧D)
⇔T
故有三种派法:
B∧D,A∧C,A∧D。
二、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明:
某学术会议的每个成员都是专家并且是工人,有些成员是青年人,所以,有些成员是青年专家.
解:
论域:
所有人的集合。
():
是专家;
():
是工人;
是青年人;
则推理化形式为:
(()∧()),()(()∧())
下面给出证明:
(1)()P
(2)(c)T
(1),ES
(3)(()∧())P
(4)(c)∧(c)T(3),US
(5)(c)T(4),I
(6)(c)∧(c)T
(2)(5),I
(7)(()∧())T(6),EG
三、(10分)设A、B和C是三个集合,则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
证明:
A⊂B⇔∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∈B∧x∉A)⇔∀x(x∉A∨x∈B)∧∃x(x∈B∧x∉A)
⇔⌝∃x(x∈A∧x∉B)∧⌝∀x(x∉B∨x∈A)⇒⌝∃x(x∈A∧x∉B)∨⌝∀x(x∈A∨x∉B)
⇔⌝(∃x(x∈A∧x∉B)∧∀x(x∈A∨x∉B))⇔⌝(∃x(x∈A∧x∉B)∧∀x(x∈B→x∈A))
⇔⌝(B⊂A)。
四、(15分)设A={1,2,3,4,5},R是A上的二元关系,且R={<
2,1>
<
2,5>
,<
2,4>
3,4〉,<
4,4〉,〈5,2〉},求r(R)、s(R)和t(R)。
解r(R)=R∪IA={<
2,1>
,〈2,5〉,<
2,4〉,<
3,4>
4,4>
5,2>
,〈1,1>
2,2>
3,3〉,<
4,4〉,<
5,5〉}
s(R)=R∪R-1={<
,〈2,5〉,〈2,4>
3,4>
,〈4,4〉,〈5,2>
1,2〉,<
4,2〉,〈4,3>
}
R2={<
2,2〉,〈2,4>
3,4〉,<
4,4〉,〈5,1>
5,5>
,〈5,4>
}
R3={〈2,1〉,〈2,5>
2,4>
,〈3,4>
4,4>
5,2>
5,4>
R4={〈2,2>
2,4〉,〈3,4>
〈4,4>
5,1〉,〈5,5>
}=R2
t(R)=Ri={<
2,5〉,<
2,4〉,〈3,4>
,〈4,4>
2,2〉,<
5,1>
5,5〉}.
五、(10分)R是非空集合A上的二元关系,若R是对称的,则r(R)和t(R)是对称的。
证明对任意的x、y∈A,若xr(R)y,则由r(R)=R∪IA得,xRy或xIAy。
因R与IA对称,所以有yRx或yIAx,于是yr(R)x。
所以r(R)是对称的.
下证对任意正整数n,Rn对称。
因R对称,则有xR2y⇔∃z(xRz∧zRy)⇔∃z(zRx∧yRz)⇔yR2x,所以R2对称。
若对称,则xy⇔∃z(xz∧zRy)⇔∃z(zx∧yRz)⇔yx,所以对称。
因此,对任意正整数n,对称.
对任意的x、y∈A,若xt(R)y,则存在m使得xRmy,于是有yRmx,即有yt(R)x。
因此,t(R)是对称的。
六、(10分)若f:
A→B是双射,则f-1:
B→A是双射。
证明因为f:
A→B是双射,则f-1是B到A的函数。
下证f-1是双射。
对任意x∈A,必存在y∈B使f(x)=y,从而f-1(y)=x,所以f-1是满射.
对任意的y1、y2∈B,若f-1(y1)=f-1(y2)=x,则f(x)=y1,f(x)=y2。
因为f:
A→B是函数,则y1=y2。
所以f-1是单射。
综上可得,f-1:
B→A是双射.
七、(10分)设<
S,*>
是一个半群,如果S是有限集,则必存在a∈S,使得a*a=a。
证明因为〈S,*>
是一个半群,对任意的b∈S,由*的封闭性可知,b2=b*b∈S,b3=b2*b∈S,…,bn∈S,…。
因为S是有限集,所以必存在j>i,使得=。
令p=j-i,则=*。
所以对q≥i,有=*。
因为p≥1,所以总可找到k≥1,使得kp≥i。
对于∈S,有=*=*(*)=…=*。
令a=,则a∈S且a*a=a.
八、(20分)
(1)若G是连通的平面图,且G的每个面的次数至少为l(l≥3),则G的边数m与结点数n有如下关系:
m≤(n-2).
证明设G有r个面,则2m=≥lr.由欧拉公式得,n-m+r=2。
于是,m≤(n-2)。
(2)设平面图G=<
V,E,F>
是自对偶图,则|E|=2(|V|-1)。
证明设G*=〈V*,E*〉是连通平面图G=<
的对偶图,则G*≅G,于是|F|=|V*|=|V|,将其代入欧拉公式|V|-|E|+|F|=2得,|E|=2(|V|-1)。
离散数学试题(B卷及答案)
一、(10分)证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)S∨R
证明因为S∨R⇔⌝R→S,所以,即要证(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⌝R→S。
(1)⌝R附加前提
(2)P→RP
(3)⌝PT
(1)
(2),I
(4)P∨QP
(5)QT(3)(4),I
(6)Q→SP
(7)ST(5)(6),I
(8)⌝
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