概率论与数理统计第一章习题解答Word文件下载.docx
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=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30求A∪B,AB,A∪B∪C,ABC,ABC,AB∪C的概率。
,
(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求P(AB),(ii)
若P(AB)=1/8,求P(AB)。
(1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。
故P(A∪B∪C)=P
(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。
(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P(AB)=1-P(A∪B)=4/15,
P(A∪B∪C)=P(A)
+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/1
0-1/15-1/20+1/30=51/60,
P(ABC)=1-P(A∪B∪C)=3/20,
P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=7/60,
P(AB∪C)=P(AB)+P(C)-
P(ABC)=4/15+1/5-7/60=7/20。
(3)(i)因为A,B互不相容,所以AB=Φ,P(AB)=0。
故P(AB)
=P(A)-P(AB)=1/2。
(ii)P(AB)=P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。
4、设A,B为两个事件。
(1)已知AB=AB,验证A=B。
(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P
(AB)。
证明:
(1)A=A(B∪B)=AB∪AB=AB∪AB=(A∪A)B=B。
(2)因为ABAB=Φ,所以P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)-P
(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-2P(AB)。
5、10片药片中有5片是安慰剂。
(1)从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率。
(2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率。
(1)p=1-C55/C105-C51C54/C105。
(2)p=A53/A103。
6、在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3
人记录其纪念章的。
(1)求最小为5的概率。
(2)求最大为5的概率。
(1)从10人中任选3人的选法有C103种。
要求最小为5,即有一个人
的是5,其他两人的都在6到10之间。
故共有C52种不同的选法。
故最小为5的概率p=C52/C103。
(2)同理最大为5的概率p=C42/C103。
7、某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3
桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个
订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订颜色如数得
到订货的概率是多少?
p=C104C43C32/C179。
8、在1500件产品中有400件次品、1100件正品。
任取200件。
(1)求恰有90件次品的概率。
(2)求至少有2件次品的概率。
(1)恰有90件次品的概率p=C40090C1100110/C1500200。
(2)至少有2件次品的概率p=1-C1100200/C1500200-C1400C1100199/C1500200。
9、从5双不同的鞋子中任取4只。
问这4只鞋子中至少有两只配成
一双的概率是多少?
设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”,则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是A。
从10只鞋子中任取4只有A104种取法,
事件A的取法可以有10(第一只的取法)×
8(第二只的取法,和第一
只一双的那一只也不能取了)×
6(第三只的取法)×
4(第一只的取法)。
故(
)
=16
A54
/A104
。
P(A)=1-P(A)=1-16A54/A104。
PA
10、在11
卡片上分别写上probability
这11
个字母,从中任意连
抽7,求其排列结果为ability
的概率。
从11个字母中选取7个字母有A117种选法。
由于b和i各有两个,故排列ability共有4种不同的选法。
因此排列结果为ability的概率
p=4/A117。
11、将3只球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别
为1,2,3的概率。
杯子中球的最大个数为1的概率p=A43/43。
杯子中球的最大个数为2的概率p=1--A41/43-A43/43。
杯子中球的最大个数为3的概率p=A14/43。
12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉强度
太弱。
每个部件用3只铆钉。
若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部
件上,则这个部件强度就太弱。
问发生一个部件强度太弱的概率是多
少?
一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只
铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。
故p=C101/C503。
或p=C101C4727/C303C5030。
13、一个俱乐部有5名一年级学生,2名二年级学生,3名三年级学
生,2名四年级学生。
(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。
(2)在其中任选5名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在的概率。
(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概
率=C15C21C31C12C81/C124。
(2)设事件A为“一年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件B
为“二年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件C为“三年级有2
名学生,其他年级各有一名”,事件D为“四年级有2
名学生,其他年
级各有一名”,。
则A,B,C,D两两不相容,且P(A)=C52C21C31C21
/C125
C12
C11
/
5
PC=
C21
PD=
C11
C22
P(B)=5C2
3C2
5C2
C12,
C12,()
所以在其中任选5
名学生,一、二、三、四年级的学生均包含在的概
率=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=240/C125。
14、
(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求条件概率P(B|A∪B)。
(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,
求P(A∪B)。
(1)因为P(B|A∪B)=P(B(A∪B))/P(A∪B),P(A∪B)
=P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)+1-P(B)-0.5=0.8,P
(B(A∪B))=P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2,所以P
(B|A∪B)=0.25。
(2)因为P(B|A)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12。
又因为P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6。
故P(A∪B)
=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3。
15、掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点
的概率(用两种方法)。
16、据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规
律:
P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子得病}=0.5,
P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4,
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
设事件A为“孩子得病”,事件B为“母亲得病”,事件C为“父
亲得病”,则要求的概率为P(ABC)。
由已知,P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所
以P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)[1-P(C|AB)]
=0.6×
0.5×
0.6=0.18。
17、已知在10件产品中有2件次品,在其中取两次,每次任取一件,
作不放回抽样。
求下列事件的概率。
(1)两件都是正品。
(2)两件都是次品。
(3)一件是正品,一件是次品。
(4)第二次取出的是次品。
设事件A为“第一件是正品”,事件B为“第二件是正品”,则
(1)两件都是正品的概率P(AB)=C82/C102(或=P(A)P(B|A)
=4/5×
7/9)。
(2)两件都是次品的概率P(AB)=C22/C102(或=P(A)P(B|A)
=1/5×
1/9)。
(3)一件是正品,一件是次品的概率P(AB∪AB)=P(A)P(B|A)
+P(A)P(B|A)=4/5×
2/9+1/5×
8/9。
(4)第二次取出的是次品的概率P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)
P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5×
1/9。
18、某人忘记了的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超
过三次而接通所需的概率。
若已知最后一个数字是奇数,则此概率是多
设A表示事件“第一次拨通所需”,B表示事件“第二次拨通所需”,
C表示事件“第三次拨通所需”,D表示事件“拨号不超过三次接通所
需”。
则D=A∪AB∪ABC,所以P(D)=P(A)+P(AB)+P(ABC)
=P(A)+P(A)P(B|A)+P(AB)P(C|AB)=P(A)+P
(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)P(C|AB)=1/10+9/10×
1/9+9/10
×
8/9×
1/8。
当已知最后一个数字是奇数时,则P(D)=1/5+4/5×
1/4+4/5×
3/4×
1/3。
19、
(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球;
乙袋中装有N只白球、
M只红球。
今从甲袋中任意取一只球放入袋中,再从乙袋中任意取一只球。
问取到白球的概率是多少?
(2)第一只盒子装有4只白球、5只红球;
第二只盒子装有5只白球、
4只红球。
先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中,然后从
第二个盒子中任取一只球。
求取到白球的概率。
(1)设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”,B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。
则P(B)=P(AB)+P(AB)=+P(ABC)=P
(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=m/(m+n)×
N/(M+N+1)+n/(m+n)
(N+1)/(M+N+1)。
(2)设A表示事件“从第一个盒子中取到0个红球”,B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”,C表示事件“从第一个盒子中取到2个
红球”,D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。
则P(D)=P(AD)
+P(BD)+P(CD)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)
P(D|C)=C42/C92×
C17/C111+C41C51/C92×
C61/C111+C52/C92×
C51/C111。
20、某种产品的商标是“MAXAM”,其中有2个字母脱落,有人捡
起随意放回,求放回后仍“MAXAM”的概率。
设A1,A2,A3,A4,A5分别为事件“脱落M、M”,“脱落A、A”,
“脱落M、A”,“脱落M、X”,“脱落A、X”,。
D为事件“放回后仍
为MAXAM”。
因为P(A1)=P(A2)=C22/C52,P(A3)=C21C21/C52,
P(A4)=C11C21/C52,P(A5)=C11C21/C52,P(D|A1)=P(D|A2)=1,
(
P(D|Ak)P(Ak)。
D|A
3)=P(D|A4)=P(D|A5)=1/2,所以P(D)=
P
k
1
21、已知男子有5%
是色盲患者,女子有0.25%
是色盲患者.今从男
女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性
的概率是多少?
设A表示事件“选出的是男性”,H表示事件“选出的人是色盲患者”。
则已知条件P(A)=1/2,P(A)=1/2,P(H|A)=0.05,P
(H|A)=0.0025。
由贝叶期公式可得P(A|H)=P(H|A)P(A)
/[P(H|A)P(A)+P(H|A)P(A)]。
22、一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p,
若第一次及格则第二次及格的概率也为p;
若第一次不及格则第二次及
格的概率为p/2。
(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。
(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。
设事件A表示“第1次考试及格”,事件B表示“第2次考试及
格”,事件C表示“他能取得某种资格”。
由已知条件可知,P(A)=p,
P(B|A)=p,P(B|A)=p/2。
(1)因为C=A∪AB,所以P(C)=P(A)+P(AB)=P(A)+P
(A)P(B|A)=p+(1-p)p/2。
(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/[P(B|A)P(A)+
P(B|A)P(A)]=p2/[p2+(1-p)p/2]=2p/(p+1)。
23、将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A被误收
作B的概率是0.02,而B被误收作A的概率是0.01。
信息A与信息B传送的频繁程度为2:
1。
若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
设A表示事件“将信息A传送出去产”,B表示事件“接收站收到的信息是A”。
则由已知,P(A)=2/3,P(B|A)=0.02,P(B|A)
=0.01。
则P(A|B)
=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/[P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)]=2/3×
0.98/[2/3×
0.98+1/3×
0.01]。
24、有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品;
第二
箱装30只,其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱
中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。
求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率。
(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等
品的概率。
26、病树的主人外出。
委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的
概率是0.8。
若浇水则树死去的概率是0.15。
有0.9的把握确定邻居
会记得浇水。
(1)求主人回来树还活着的概率。
(2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率。
27、设本题涉及的事件均有意义。
没A,B都是事件。
(1)已知P(A)>
0,证明P(AB|A)≧P(AB|A∪B)。
(2)若P(A|B)=1,证明P(B|A)=1。
(3)若设C也是事件,且有P(A|C)≧P(B|C),P(A|C)≧P(B|C),
证明P(A)≧P(B)。
28、有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽
是否发芽相互独立。
(1)这两颗花籽都能发芽的概率。
(2)至少有一颗能发芽的概率。
(3)恰有一颗能发芽的概率。
29、根据报道美国人血型的分布近似地为:
A型为37%,O型为44%,
B型为13%,AB型06%。
夫妻拥有的血型是相互独立的。
(1)B型的人只有输入B、O两种血型才安全。
若妻为B型,夫为何种血型未知,求夫是妻的安全输血者的概率。
(2)随机地取一对夫妇,求妻为B型夫为A型的概率。
(3)随机地取一对夫妇,求其中一人为A型,另一人为B型的概率。
(4)随机地取一对夫妇,求其中至少有一人是O型的概率。
30、
(1)给出事件A、B的例子,使得(i)P(A|B)<
P(A)。
(ii)
P(A|B)=P(A)。
(iii)P(A|B)>
(2)设事件A,B,C相互独立,证明(i)C与AB相互独立。
(ii)C
与A∪B相互独立。
(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A,
B相互独立。
(4)证明事件A,B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A|B)。
31、设事件A,B的概率均大于零,说明以下的叙述
(1)必然对。
(2)
必然错。
(3)可能对。
并说明理由。
(1)若A与B互不相容,则它们相互独立。
(2)若A与B相互独立,则它们互不相容。
(3)P(A)=P(B)=0.6,且它们互不相容。
(4)P(A)=P(B)=0.6,且它们相互独立。
32、有一种检验艾滋病毒的方法,其结果有概率0.005报导为假阳性
(即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒)。
今有140名不带艾滋病毒
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- 概率论 数理统计 第一章 习题 解答