完整版电磁场与电磁波答案第四版谢处方Word格式.docx
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(ey4ez)exey6ez4
53
AgB(ex
ey2ez3)g(
ey4ez)-11
(4)由cos
AB
AgB
11
,得ABcos1(
11)135.5o
17
238
(5)A在B上的分量
cosAB
(6)AC
12
ex4ey13ez10
5
(7)由于B
C
4
ex8ey5
ez20
AB
ex10ey1ez4
所以
Ag(BC)
(ex
ey2
ez3)g(ex8ey5ez20)
42
(AB)gC
(ex10ey1ez4)g(ex5ez2)
(8)(AB)C
1014ex2ey40ez5
A(BC)
ex55ey44ez11
8
20
-1-
1.2三角形的三个顶点为P1(0,1,
2)、P2(4,1,
3)和P3(6,2,5)。
(1)判断PP12P3是否为一直角三角形;
(2)求三角形的面积。
解
(1)三个顶点
P1(0,1,
2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)
的位置矢量分别为
r1
ez2,r2
ex4ey
ez3,r3
ex6ey2ez5
则
R12
r2
ex4ez,
R23
r3
r2ex2ey
ez8,
R31
ex6ey
ez7
由此可见
R12gR23(ex4
ez)g(ex2ey
ez8)
故PP1
2P3为一直角三角形。
(2)三角形的面积
S
1R12
117
6917.13
1.3
求P(
3,1,4)点到P(2,2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解
rPex3
ez4,rP
ex2
ey2ez3,
RPP
rP
ex5
ey3
且RPP
与x、y、z轴的夹角分别为
xcos
ycos
zcos
1.4给定两矢量
B上的分量。
(exgRPP
1(eygRPP
1(ezgRPP
Aex2
)
cos1(
5)
32.31o
35
cos1(
3)
120.47o
1)
99.73o
ey3ez4
和B
ex4ey5ez6,求它们之间的夹角和
A在
A与B之间的夹角为
cos1(AgB
31
)131o
2977
A在B上的分量为
Ag
3.532
77
1.5
给定两矢量Aex2ey3
ez4和B
ex6
ez,求A
B在Cexeyez
上的分量。
解AB23
ex13ey22ez10
6
所以A
B在C上的分量为
(A
B)gC
25
14.43
B)C
1.6
证明:
如果AgB
AgC和AB
AC,则B
-2-
由A
C,则有A
(AC),即
(AgB)A
(AgA)B
(AgC)A
(AgA)C
由于AgB
AgC,于是得到
故
1.7
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。
设A为一已知矢量,
p
AgX而P
X,p和P已知,试求X。
由P
X,有
P
X)
(AgX)A
(AgA)X
pA
故得
X
AgA
1.8
在圆柱坐标中,一点的位置由
(4,2
3)定出,求该点在:
(
1)直角坐标中的坐标;
(2)球坐标中的坐标。
解
(1)在直角坐标系中
x
4cos(2
3)
2、y
4sin(2
23、z
故该点的直角坐标为
(2,2
3,3)。
(2)在球坐标系中
r
、
tan
(43)
o
23
120
53.1
故该点的球坐标为(5,53.1o,120o)
1.9
用球坐标表示的场
E
er
25,
r2
(1)求在直角坐标中点
(
3,4,
5)处的E和Ex;
(2)求在直角坐标中点
5)处E与矢量B
构成的夹角。
解
(1)在直角坐标中点
(3,4,
5)处,r2
3)2
(5)2
50,故
Ex
exgE
Ecosrx
(2)在直角坐标中点
5)处,r
ex3
ez5,所以
25r
ez5
r3
10
故E与B构成的夹角为
EB
EgB)
19(10
2))
153.6o
EgB
32
1.10
球坐标中两个点(r1,1,
1)和(r2,
2,2)定出两个位置矢量
R1和R2。
证明R1和R2
间夹角的余弦为
cos
1cos2
sin
1sin
2cos(
2)
由
R1
exr1sin
1cos
eyr1sin
ezr1cos
R2
exr2sin
2cos
eyr2sin2sin
ezr2cos2
-3-
得到
R1gR2
1cos1sin
1sin2sin
cos1cos2
2(cos
2cos(1
1.11
一球面S的半径为
5,球心在原点上,计算:
?
(er
3sin
)gdS的值。
(e3sin
)gdS
)gedS
d
sind
75
蜒r
1.12
在由r5、z
0和z
4围成的圆柱形区域,对矢量
err2
ez2z验证散度定
理。
在圆柱坐标系中
gA
(rr2)
(2z)
3r
z
gAd
dz
(3r
2)rdr
1200
又
AgdS
(er2
e2z)g(edS
edS
edS)
蜒
42
52
52
5d
4rdrd
故有
AgdS
1.13
求
(1)矢量A
e
x2
ex2y2
e24x2y2z3的散度;
(2)求
对中心在原点的
y
一个单位立方体的积分;
(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。
解
(1)gA
(x2)
(x2y2)
(24x2y2z3)
2x2x2y
72x2y2z2
(2)gA对中心在原点的一个单位立方体的积分为
(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz
24
(3)A对此立方体表面的积分
()dydz
)dydz
2x2
(1)2dxdz
2x2
(1)2dxdz
24x2y2(
)3dxdy
24x2y2(
)3dxdy
-4-
1.14
计算矢量r
对一个球心在原点、半径为
a的球表面的积分,并求
gr对球体积的积
分。
rgerdS
aasin
a
rgdS
又在球坐标系中,
gr
(r2r)
3,所以
grd
3r2sin
drd
a3
00
1.15
求矢量A
ex
ey2z沿xy平面上的一个边长为
的正方形回路的线积分,
此正方形的两边分别与
x轴和y轴相重合。
再求
A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托
克斯定理。
Agdl
xdx
2dy
0dy8
ex2yz
ez2x
y2z
22
(ex2yz
ez2x)gezdxdy8
Agdl8
1.16
exx
eyxy2沿圆周x2
y2
a2的线积分,再计算
A对此圆面积的积
蜒Agdl
xdx
xy2dy
a2cossin
a4
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