考研数学三真题及全面解析.docx
- 文档编号:17728876
- 上传时间:2023-04-24
- 格式:DOCX
- 页数:38
- 大小:83.89KB
考研数学三真题及全面解析.docx
《考研数学三真题及全面解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数学三真题及全面解析.docx(38页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
考研数学三真题及全面解析
一、填空题
(5)设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而
A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为
(6)某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年的
工资总额(单位:
百万元),则Wt满足的差分方程是___
k111
1k11
(7)设矩阵A,且秩(A)=3,则k=
11k1
111k
(8)设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不
等式PX-Y6.
(9)设总体X服从正态分布N(0,0.22),而X1,X2,X15是来自总体X的简单随机样本,则随
X2X2
机变量YX12X102服从___分布,参数为
2X121X125
二、选择题
f'(x)
(5)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又lim(x)1,则()
xaxa
(A)x=a是f(x)的极小值点.
(B)x=a是f(x)的极大值点.
(C)(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
12
x(x1),0x1
(6)设函数g(x)f(u)du,其中f(x)2,则g(x)在区间(0,2)内()
01
(x1),1x2
3
(A)无界
(B)递减(C)不连续
(D)连续
a11a12a13a14
a14a13a12a11
0001
a21a22a23a24
a24a23a22a21
0100
(3)设A
B
P1
a31a32a33a34
a34a33a32a31
0010
a41a42a43a44
a44a43a42a41
1000
1000
P20010其中A可逆,则B1等于()
20100
0001
(A)A1P1P2(B)P1A1P2(C)P1P2A1(D)P2A1P1.
A
(4)设A是n阶矩阵,α是n维列向量.若秩T秩(A),则线性方程组()
T0
(A)AX=α必有无穷多解(B)AX=α必有惟一解.
AXAX
(C)T0仅有零解(D)T0必有非零解.
0y0y
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关
系数等于()
(A)-1(B)0(C)1(D)1
2
、(本题满分5分)
设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定
xyxxzsintdu
exy2和edt,求
0tdx
四、(本题满分6分)
xcx
已知f(x)在(-∞,+∞)内可导,且lximf'(x)e,lim()xlim[f(x)f(x1)],求c的值.
五、(本题满分6分)
1(x2y2)
求二重积分y[1xe2]dxdy的值,其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面
D
区域
六、(本题满分7分)
已知抛物线ypx2qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切,且此抛物线与x
轴所围成的平面图形的面积为S.
(1)问p和q为何值时,S达到最大?
(2)求出此最大值.
七、(本题满分6分)
1
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f
(1)k3xe1xf(x)dx,(k1).
证明:
存在ξ∈(0,1),使得f'()2(11)f().
八、(本题满分7分)
已知fn(x)满足fn'(x)fn(x)xn1ex(n为正整数)且fn
(1)e,求函数项级数
n
fn(x)之和.
i1
九、(本题满分9分)
11a1
设矩阵A1a1,1.已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:
a112
(1)a的值;
(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是Aaij中元素aij的代数余子式(i,j
nn
nnAij
=1,2,⋯,n),二次型f(x1,x2,xn)xixj.
i1j1A
nnAj
(1)记A(x1,x2,xn),把f(x1,x2,xn)xixj.写成矩阵形式,并证明二次
i1j1A
型f(X)的矩阵为A1;
(2)二次型g(X)XTAX与f(X)的规范形是否相同?
说明理由.
十一、(本题满分8分)
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5
千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱
才能保障不超载的概率大于0.977.(Φ
(2)=0.977其中,Φ(x)是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8分)
设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1y≤≤3}上的均匀分布,试
求随机变量U={X-Y}的概率密度p(u).
一、填空题
(1)【答案】
【使用概念】设yfx在x处可导,且fx0,则函数y关于x的弹性在x处的值为
Eyxy
Exy
x
fx
fx
QALK,当Q1时,即ALK1,有KAL,于是K关于L的弹
性为:
(2)【答案】1.2Wt12
Wt表示第t年的工资总额,则
Wt1表示第t1年的工资总额,再根据每年的工资总
额比上一年增加20%的基础上再追加2百万,所以由差分的定义可得Wt满足的差分方程是:
Wt(120)Wt121.2Wt12
(3)【答案】-3
方法1:
由初等变换(既可作初等行变换,也可作初等列变换).不改变矩阵的秩,故对A进行
初等变换
k
1A
1
11
k1
1k
11
k1
1行
(1)分别加到2,3,4行
1k
1k
k1
0
1k0
1
0
k1
0
1
0
0
k1
2,3,4列分别加到1列
k3
0
k1
k1
k1
可见只有当k=-3时,r(A)=3.故k=-3.
方法2:
由题设r(A)=3,故应有四阶矩阵行列式
A0.由
1行
(1)分别加到2,3,4行
1k
k1
1k
k1
1k
k1
k3
2,3,4列分别加到1列
k1
k1
(k3)(k1)30,
k1
解得k=1或k=-3.当k=1时,
1行
(1)分别加到2,3,4行
可知,此时r(A)=1
0
不符合题意,因此一定有k=-3.
1
(4)【答案】
12
PXE(X)
D(X)
2
期望和方差的性质:
E(XY)EXEY;D(XY)DX2cov(X,Y)DY
把XY看成是一个新的随机变量,则需要求出其期望和方差
E(XY)EXEY220
又相关系数的定义:
(X,Y)
cov(X,Y)
DXDY
则cov(X,Y)(X,Y)DXDY(0.5)141
D(XY)DX2cov(X,Y)DY12
(1)43
所以由切比雪夫不等式:
PXY6PXYE(XY)6
D(XY)31
62
3612
(5)【答案】F;(10,5)
X
Y~2(n2)
1.F分布的定义:
FYn其中X~2(n1)
n2
2.2分布的定义:
若Z1,,Zn相互独立,且都服从标准正态分布
n
N(0,1),则Zi2~2(n)
i1
N(0,1)
2Zu
3.正态分布标准化的定义:
若Z~N(u,2),则u
XiN(0,22)i1,2,,15,将其标准化有
X0X
据卡方分布的定义
X12
102
2(10),X211
152
2(5),
X212
X112
22
X15
15
2
2
相互独立.
故,根据F分布的定义
Y
X122X1202F(10,5).
2X121X125
故Y服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的F分布.
二、选择题
(1)【答案】[B]
【详解】
f'(x)
方法1:
由lim1,知
xaxa
limf'(x)limf(x)xalimf(x)limxa100
xaxaxaxaxaxa
又函数f(x)的导数在xa处连续,根据函数在某点连续的定义,左极限等于右
极限等于函数在这一点的值,所以f(a)0,于是有
f"(a)limf'(x)f'(a)limf'(x)1,
xaxaxaxa
即f(a)0,f(a)10,根据判定极值的第二充分条件:
设函数f(x)在x0处
具有二阶导数且f(x0)0,f(x0)0,当f(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极
大值.知xa是f(x)的极大值点,因此,正确选项为(B).
方法2:
由limf'(x)1,及极限保号性定理:
如果limfxA,且A0(或A0),
xaxaxx0
那么存在常数0,使得当0xx0时,有fx0(或fx0),知存在
f'(x)
xa的去心邻域,在此去心邻域内(x)0.于是推知,在此去心邻域内当xa时
xa
f(x)0;当xa时f(x)0.又由条件知f(x)在xa处连续,由判定极值的第
一充分条件:
设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心领域内可导,若
xx0,x0时,f(x)0,而xx0,x0时,f(x)0,则f(x)在x0处取
(B).
得极大值,知f(a)为f(x)的极大值.因此,选
(2)【答案】(D)
【详解】应先写出g(x)的表达式.
0x1时,
2
f(x)(x1),有
2
x
g(x)0
x1
fudu02(
u21)du
13
u
6
12u
13x
6
1x
2,
1x2时,
1
f(x)(x1),有
3
1
g(x)0f(u)du0f(u)du1f(u)du
112x1
0(u1)du1(u1)du
23
13
u
6
12u
101u2
06
x2
13
1x1
6
131xx,
62
g(x)
212
21x1,
36
0x1
1x2
131limg(x)limxxx1x162
2212
,limg(x)limx1
3x1x136
2122
g
(1)11,
363
g(x)在区间[0,2]内连续,选(D).
所以由函数连续的定义,知g(x)在点x1处连续,所以
(A)、(B)不正确,0x1时,
g(x)1x31x
62
121
x0,单
22
调增,所以(B)递减错;同理可以验证当1x2时,
212
g(x)x1
36
1
3x10,
5
单调增,所以g0gxg2,即0gx与选项(A)无界矛盾.
6
(3)【答案】(C)
【详解】由所给矩阵A,B观察,将A的2,3列互换,再将A的1,4列互换,可得B.根据初
等矩阵变换的性质,知将A的2,3列互换相当于在矩阵
A的右侧乘以E23,将A的1,4列互
换相当于在矩阵A的右侧乘以E14,即
AE23E14B,其中E23
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
E14
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
P1E14,P2E23,因此BAP2P1.
Eij有,Eij1Eij,故P11P1,P21P2.
BAP2P1,及逆矩阵的运算规律,有
B1AP2P11P11P21A1P1P2A1.
(4)【答案】(D)
可知
由题设,A是n阶矩阵,是n维列向量,即T是一维行向量,
A
n1阶矩阵.显然有秩T
T
A
秩(A)nn1,即系数矩阵T非列满秩,由
0T0
齐次线性方程组有非零解的充要条件:
系数矩阵非列或行满秩,可知齐次线性方程组
0y
0必有非零解.
(5)【答案】A
【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以XYn,从而YnX,
故DYD(nX)DX
由方差的定义:
DXEX2(EX)2,所以
2
DYD(nX)E(nX)2E(nX)E(n22nXX2)(nEX)2
222222
n22nEXEX2n22nEX(EX)2EX2(EX)2DX)
由协方差的性质:
cov(X,c)0(c为常数);cov(aX,bY)abcov(X,Y)
cov(X1X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Y))
所以cov(X,Y)cov(X,nX)cov(X,n)cov(X,X)0DXDX
由相关系数的定义,得(X,Y)cov(X,Y)DX1
DXDYDXDX
f(x)
[g(t)dt]xg[f(x)]f(x)a
根据复合函数求导公式,有
(*)
duffdyfdzdxxydxzdx
在exyxy2两边分别对x求导,得
exy(yxdy)(yxdy)0,dxdx
即dyy.
dxx
xzsint
在exsintdt两边分别对x求导,得
0t
exsin(xz)(1dz),即dz1ex(xz)
xzdxdxsin(xz)
将其代入(*)式,得
x
duffdyfdzfyf1e(xz)f
dxxydxzdxxxysin(xz)z.
【详解】因为lim(11)x
xcxlxim(xc)
x
xc2cx
lim()(把xc写成xc2c)
xxc
xc2cx
lxim(xc2c)2cxc(把x写成x2ccx2cxc)
可导,那么又由拉格朗日中值定理,有
左右两边同时求极限,于是
lim(1
x
2c)x2ccxc
2cx
xc
(利用幂函数的性质
mnmn
a(a))
limex
2cx
ln(1x2cc)2cxc
xc(利用对数性质elnf(x)
f(x))
2cx
xclimex
ln(12c)xc
x2cc
(利用对数性质lnf(x)g(x)g(x)lnf(x))
lim2cxln(12c)
2cx
xxce
2cxlim
xxcxe
xc
2c
xf(x)limf(x)
(利用ye函数的连续性,limeex)
x
xc
2c
limln
(1)2c
xc
lximf(x)g(x)lximf(x)lximg(x))
xc
2cx2c2
limlnlim
(1)2c
xxcxxc
e
(利用ylnx函数的连续性,lxim[lnf(x)]ln[lximf(x)])
2clne1x
e(利用lim
(1)e)
e2c(lne1)
又因为f(x)在,内可导,故在闭区间[x1,x]上连续,在开区间(x1,x)内
f(x)f(x1)f()[x(x1)]f(),x1x
lim[f(x)f(x1)]limf'()e,xx
x1x,x趋于无穷大时,
也趋向于无穷大
xc
lim(xc)xlim[f(x)f(x1)],从而e2c
xxcx
e,故c1
2
五【详解】积分区域如图所示,可以写成
1y1,yx1
122122
(x2y2)(x2y2)
y[1xe2]dxdyydxdyxye2dxdy,
DDD
1112
其中,ydxdydyydxy(1y)dy;
D1y13
六【详解】
1(x2y2)111(x2y2)
xye2dxdy1ydyxe2dx
Dy
111(x2y2)12
1ydyye2d(2x)
12212
112(xy)12212(1y)y2
1ydyye2d[2(xy)]1(e2e)dy
1
11(1y2)
(e2
1
ey2)dy2
1
11(1y2)
e2
dy2
12
1eydy
1
1(1y2)121122
1e2d[21(1y2)]211eydy2
1(x2y2)2
y[1xe2]dxdy
D3
方法1:
依题意知,抛物线如图所示,
1
2(1y2)e2
1ey2
12
2q
令ypxqxx(pxq)0,求得它与x轴交点的横坐标为:
x10,x2.
p
根据定积分的定义,面积S为
q
Sppx2qxdx
p3q2
xx
32
q3
q
p2(注:
x
6p
0
n1n1
dxxC)n1
因直线xy5与抛物线ypx2qx相切,故它们有唯一公共点.由方程组
xy5ypx2qx
求其公共解,消去y,得px2(q1)x50,因为其公共解唯一,则该一元二次方
程只有唯一解,故其判别式必为零,即
22
(q1)24p(5)(q1)220p0,
12
解得p(q1).
20
将p代入S中,得
333
qq200q
6p26[1(q1)2]23(q1)4
20
根据函数除法的求导公式,
S(q)
2
200q2(3q)
3(q1)5
(200q3)[3(q1)4][3(q1)4](200q3)
[3(q1)4]2
根据驻点的定义,令S(q)0,已知有q0,得唯一驻点q3.
1q3时,S(q)0;q3时,S(q)0.故根据极值判定的第一充分条
件知,q3时,S(q)取唯一极大值,即最大值.
225
从而最大值为SS(3)225.
32
2
方法2:
设抛物线ypx2qx与直线xy5相切的切点坐标为(x0,y0),切点既在抛物
线上,也在直线上,于是满足方程有y0px02qx0和x0y05.
抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的,即一阶导数值相等.在ypx2qx
左右两边关于x求导,得y2pxq,在xy5左右两边关于x求导,得y1,
把切点坐标(x0,y0)代入,得
整理得
yxx02px0q1x0
q1
2p
x0y05y05x0,将两结果代入y0px02qx0得
q12
y05x05()px0qx0
002p00
q12q1
p(q1)2q(q1)
2p2p
将p代入S中,得
S(q)
根据函数除法的求导公式,
S(q)
1
20
2(q1)2.
200q3
3(q1)4
(200q3)[3(q1)4][3(q1)4](200q3)
[3(q1)4]2
200q2(3q)
3(q1)5
根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义,令S(q)0,已知有q0,得唯一
驻点q3.当1q3时,S(q)0;q3时,S(q)0;故根据极值判定的第一充分
条件知,q3时,S(q)取唯一极大值,即最大值
从而最大值为SS(3)
225
32
七【详解】将要证的等式中的换成x,移项,并命
x1
(x)f(x)f(x)x
(0,1)内(x)存在零点.将
x1
f(x)xf(x)0
x
看成一个微分方程,用分离变量法求解.由
df(x)x1
dxf(x)x
df(x)x11
两边积分得dx(1d)x
f(x)xx
11
利用dxlnxC及xdxxC,得
xn1
Cex
f(x),
x
Cex
lnf(x)xlnxC1lnf(x)ln
x
即xexf(x)C,命F(x)xexf(x).由
1
f
(1)k0kxe1xf(x)dx,(k1)
及积分中值定理(如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个
b1
点,使得f(x)dxf()(ba)(ab)),知至少存在一点(0,)[0,1],使
ak
1
f
(1)kkxe1xf(x)dxe1f()
且F
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数学 三真题 全面 解析