国家一等奖论文B题文档格式.docx

国家一等奖论文B题文档格式.docx

《国家一等奖论文B题文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《国家一等奖论文B题文档格式.docx（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

，病人手术前的准备时间

。

然后计算出在原来先来先服务的原则下各指标值为：

，

对于问题二：

我们采用优先级原则动态地对病床进行安排。

首先，统计初始数据，通过6SQ软件进行分布的卡方拟合检验得：

每类病人的到来均服从泊松分布、术后观察时间服从均匀分布。

然后，我们发现合理的调度方案必须使得病人的术前准备时间尽量短。

因此，重新制定入院规则：

外伤优先级始终最高；

其它病的优先级随时间的变化而变化。

接着，再以三个指标为目标函数，病人入院规则为约束建立了多目标的最优化模型，最后，根据入队与服务时间服从的分布，用计算机随机模拟，得到在队列稳定时，此规则下三个指标值为：

=9.633，

；

这样手术前的平均逗留时间减少21.6%，平均每天出院人数增加了22.55%，平均术前准备时间减少了32.31%。

对于问题三：

在问题二的计算机随机模拟的基础上，已经可以求得对应的等待队列中病人的入院时间的模拟结果，因为存在一定随机性，我们模拟10次，取出每次所得结果中的模拟入院时间，作为病人的一个大致入院时间。

对于问题四：

由于星期六与星期日不安排除了外伤手术的其它手术，故安排在周四，五住院的视网膜和青光眼病人的手术要推迟到下周二、四，以此我们同样建立了多目标的最优化模型，得出在队列稳定时，三个指标值分别为：

对于问题五：

为便于医院的管理，可根据各类病人服从的分布按照比例给各类病人安排固定的病床数，但要先单独分配外伤类的病床，因为医院要保证有足够的床铺满足外伤类病人，据统计结果知外伤病人到达和外伤病人被服务的时间都是服从泊松分布，则先建立排队论中的M/M/C模型求出分配给外伤病人的病床数，余下的病床按照一定的比例分配给其它类的病人。

为得到平均逗留时间最短，我们建立了单目标最优化模型。

关键词：

优先级调度排队论计算机模拟最优化

1.问题重述

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

在本文中，我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：

白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录一中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

各类眼病手术的安排情况：

白内障手术：

较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤手术：

通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

视网膜、青光眼手术：

比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

本文需解决的问题有：

问题一：

试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：

试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：

作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。

能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：

若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：

有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

2.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设1：

题目所给数据是合理、正确的

假设2：

视网膜与青光眼两类病不考虑急症

假设3：

白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天

假设4：

该医院眼科手术条件比较充分，在安排病床时不考虑手术条件的限制

假设5：

对于问题四，假定周六和周日可安排外伤手术，但不能安排其他手术

2.2符号说明

符号

符号说明

患第

类病的第

个病人的等待入院时间

个病人的术前的准备时间

个病人的住院时间

平均每天出院人数

手术前的平均逗留时间，即从门诊到第一次手术的平均时间

病人的平均术前的准备时间

病人的平均住院时间

个病人的入院时间（

表示2008年7月13日，

表示2008年7月14日，依此类推……）

个病人的手术时间（

的计数方式与

相同，即

一段时间内到门诊看病的第

类病人的人数

第

天第

类病人的在院人数（不包括当天新入院的人数）

类病人的新入院人数

类病人的出院人数

类病人平均每天到门诊看病的人数

分配给第

类病人的病床数，单位为张

求余符号，等价于mod

=1类病表示白内障（单眼）疾病，第

=2类病表示白内障（双眼）疾病，

=3类病表示视网膜疾病，第

=4类病表示青光眼疾病，第

=5类病表示外伤疾病

3.问题分析

此题研究的是某医院眼科病床合理安排的数学建模问题。

要对病床进行合理的安排，就要有合理的安排规则，尤其是在医院病床不够的时候。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性，例如根据FCFS原则，白内障双眼的病人可能会在星期二入院，但医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为6天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1、2天；

这样的情况会延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。

在病床不够的情况下，从医院的角度讲，医院自然希望在多做手术的同时，减小病人占用病床的时间。

为了得到合理的安排规则，首先要确定合理的评价指标体系，用此评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。

针对问题一：

从病人的角度看，病人到医院看病分为以下几个阶段:

挂号看病时间即门诊时间，入院，手术前的准备，手术，手术后的观察，出院。

合理的安排就是让病人从挂号看病到出院的时间尽量的短。

但根据实际情况知病人的术后观察时间是由病情决定的，故所建立的模型只能缩短门诊看病到接受手术的时间间隔即病人手术前的逗留时间，所以模型的评价指标可以是病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间。

从医院的角度看，我们可以将病床的周转次数作为评价指标。

由于病床的周转次数与医院每天出院人数是密切相关的——在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越多，医院的效益就越好。

所以，综合考虑病人和医院的利益，我们把病人手术前的平均逗留时间，平均术前准备时间，平均每天出院人数作为评价指标，当前两个指标值越小，最后一个指标值越大的时候，病床安排模型越好。

针对问题二：

在确定病人入院规则时，要考虑以下几点:

白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术，还有不同的病人的术前准备时间不一样；

使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短，这就可以缩短病人在医院的时间，亦可缩短病人从门诊到入院的时间。

再对题给数据进行分析，得出各类病人到门诊看病的统计规律，然后就可以以问题一的评价指标作目标函数，以安排病人入院规则为约束建立一个病床安排的多目标最优化模型。

针对问题三：

根据各类病人的统计结果，可得出每天有多少人患病以及患什么病，找出其分布规律，然后根据病人的入院规则，可以得出各类病人大致在星期几入院，再根据术后观察时间的统计规律，便可以得到病人的出院时间，从而可安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。

针对问题四：

同问题二一样，以问题一的评价标准作为目标函数，建立一个病床安排的多目标最优化模型。

但由于周六、日不安排手术，会使得约束条件发生改变。

针对问题五：

从便于管理的角度医院可以根据各类病人的到达规律安排病床，故先统计出各类病人的到达服从什么样的分布，再建立模型求出平均逗留时间最短时的病床分配方案，但在分配时要把外伤类除外，因外伤类病人不允许等待，故分派给外伤病人的病床必须保证每天都能满足需入院的外伤病人，因此先分配外伤类的病床，再统一分配余下各类病的病床。

4.数据分析

定义1术后观察时间指病人出院与第一次手术的时间间隔

定义2手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间

根据对题给数据的统计结果知：

4.1各类病的术前准备时间时间为1-7天（包括1天和7天）

4.2等待住院病人队列越来越长的原因

因为08年7月13日-08年9月11日平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人，所以近似认为平均每天到门诊看病的人数为8.6885人，平均每天出院人数为8.1163人。

正因为每天到门诊看病的人数大于每天出院的人数，所以才导致了等待住院病人队列越来越长。

4.3各类病人的到达（病人到达时间指病人的门诊时间）服从泊松分布

由于医院就医排队是典型的排队论问题，而一般的排队论模型都是泊松输入，所以我们先假定病人的到达服从泊松分布，然后根据附录一给出的数据求出每天到门诊看病的各类病人的人数（统计结果见附录二）,再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果（结果见表4.1）：

表4.1：

各类病人的到达服从泊松分布的卡方拟合优度检验

白内障单眼患者到达时间：

白内障双眼患者到达时间：

视网膜患者到达时间：

假设检验

零假设

服从泊松分布

自由度

3

4

卡方统计量

1.8

1.9

3.7

p值

0.6

0.8

0.5

显著性水平

0.1

结果

接受零假设

青光眼患者到达时间：

外伤患者到达时间：

假设检验　

2

1

根据以上假设检验的结果知：

各类病人的到达时间均符合泊松分布。

根据指数分布与泊松分布的关系

：

如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为

的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为

的泊松分布，即单位时间内该事件出现

次的概率为

⑴

将各类病人平均每天到达的人数，即

值代入式⑴，可得相应的概率密度函数，计算结果见表4.2。

表4.2：

各类病人达到时间的概率密度函数和相应的

值

类别

白内障单眼

白内障双眼

视网膜

青光眼

外伤

1.6

2.2

2.8

4.4各类患者的术后观察时间服从均匀分布

首先统计出各类病人的术后观察时间（统计结果见附录三），根据统计结果，我们假定各类病人的术后观察时间服从均匀分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.3。

表4.3：

各类患者的术后观察时间服从均匀分布的卡方拟合优度检验

白内障单眼术后观察时间

白双术后观察时间

视网膜术后观察时间

服从均匀分布

34

39

99

7.7

2.0

55.04926108

0.7

0.05

青光眼术后观察时间

外伤术后观察时间

37

53

11.

29.

各类病人的术后观察时间均服从均匀分布。

4.5外伤病人住院时间服从泊松分布

首先统计出外伤病人的住院时间，根据统计结果，我们假定其服从泊松分布，然后通过6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验，检验结果见表4.4.

表4.4:

外伤病人住院时间服从泊松分布的卡方拟合优度检验结果

6

11.01007449

0.0

5．问题一的解答

本文研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题，对于病床安排模型的优劣，不能凭人们的主观感受进行判断，而要确定合理的评价指标体系进行判断，为此我们确定了如下的评价指标体系：

指标1：

手术前的平均逗留时间指门诊到第一次手术的平均时间，其数学表达式为

该指标值越小，表示病床安排模型越好。

指标二：

平均每天出院人数的数学表达式为：

该指标值越大，表示病床安排模型越优。

指标三：

病人平均术前的准备时间

病人平均术前准备时间的数学表达式为

该指标值越小，表示病床分配模型越优。

对于题目中给出的以FCFS为原则（急症除外）的病床安排模型，我们通过求解得到其三个评价指标分别为：

天

人（从题给数据知，在7月30日之前，只有外伤病人出院，但在7月30日之后，各类病人均出院达到稳定，所以用7月30日之后的统计数据求解平均每天出院人数）

6.问题二的解答

针对问题二我们建立了模型一。

6.1模型一的建立

该模型是为了解决医院的病床安排问题，为了使病床的安排更加合理，我们只需使三个评价指标——手术前的平均逗留时间

最小，平均每天出院人数

最大，病人平均术前的准备时间

最小即可，所以我们建立了如下的目标函数：

ⅰ由于白内障手术比较简单，此类病人的术前准备时间只需1、2天，而且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以白内障单眼和双眼病人术前准备时间为1-7天，即

ⅱ由于视网膜和青光眼疾病比较复杂，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，而且根据附表一知，各类病人的术前准备时间均在1-7天之内（包括1天和7天），所以这两类疾病的术前准备时间为2-7天，即

ⅲ外伤疾病有空床时立即安排住院，且住院后第二天便会安排手术，所以此类病的术前准备时间为1天，即

ⅳ根据数据分析结果，为了缩短等待入院病人的队列长度，我们制定了如下的病床安排原则：

原则1

白内障单眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院

原则2

白内障双眼患者一般安排在周六、周日入院

原则3

视网膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院

原则4

外伤病人当天入院，第二天手术

原则5

当病人等待时间达到25天时，只要有空病床立即安排入院

说明：

外伤病人在任意一天优先级是最高的，在某一天病人可安排住院此时此类病（除外伤）人的优先级第二高，且若有两类或两类以上的病（除外伤）人都可在同一天入院，则这些病人优先级第二高且相等，在这天不安排住院的病人的优先级最低。

例如白内障单眼患者在周一、周二、周六、周日的优先级第二高，在其它的时间优先级最低。

故患者的优先级随时间动态的发生改变。

因为

表示患第

表示2008年7月14日，依此类推……），又由于2008年7月13日是星期日，所以

（2）

根据式

（2）和病床安排原则，我们确定了如下的约束条件：

，得到问题二的多目标最优化模型

6.2模型一的求解

首先我们由数据分析可知，对于每一类病人，从第一次接受手术到出院之间经历的时间服从均匀分布，每天到来的各类病人的数目分别服从各自参数的possion分布，我们首先可以模拟得79个已住院的人的出院时间（肯定在9.11号之后），就可以将排队队列的一定数量的病人送入服务队列。

并且可以按照每天到来的各类病人的possion流来补充每天的排队队列人数。

接着，由于本题涉及到大量的随机现象，故用一般的规划方法难以求得最优解，所以我们采用一种计算机随机模拟（相关程序见附录五）的算法求得本题的最优解。

算法思想：

从9月12日开始，根据服务队列中正在接受服务的对象的服务时间分布，模拟得到正在接受服务的对象的出队时间（即病人的出院时间），然后按照约束条件中给定的的原则，将等待队列中的对象分配进入服务队列，然后改变等待队列与服务队列的状态，进行下一步的模拟，直到我们得到一定数量满足我们需要的对象（即：

满足退出条件），得出此时的天数即可。

模拟的流程如下所示:

（注：

退出条件即为我们需要用模拟分配病人的天数如20或60）

图6-1：

计算机模拟的简化流程图

模拟后的数据的存储格式为：

表6-1：

模拟后数据的示例存储格式

编号

生病类别

诊断时间

入院时间

手术

（一）时间

手术

（二）时间

出院时间

白内障（双眼）

49

63

65

'

/'

71

视网膜疾病

62

64

72

77

5

79

…

…………

……

102

61

74

76

90

103

白内障

[]

104

83

105

85

106

84

107

78

108

80

注：

第六列在102号以前是’/’表示第二次手术时间，模拟时，我们没有考虑第二次手术的时间。

102号以后是[]，表明该行数据是我们自己通过possion流对队列追加顾客后的效果，是新加入排队系统的，方便进行连续模拟。

统计从2008年的9月12日开始后60天的队列的长度，我们即可认为在这段时间内的接受服务的对象达到了稳定状态。

然后作出队列长度的随时间的变化图示：

如下所示：

图6-2：

队长随时间变化趋势

此时，在我们的分配原则下，可以发现队列的长度不断减小，并且有趋于稳定的趋势，我们可以认为此时的稳态是50，因此我们认为这种方案是比较合理的。

现在，我们取得从9月12日后的20天的一个模拟的入院安排情况，因为20天已经足够确定我们需要填满的102个排队对象的的数据。

然后计算得我们定义的三个目标函数的最优解为：

病人手术前的平均逗留时间：

12.1天（越小越好）

病人平均术前准备时间：

1.6722天；

（越小越好）

平均每天出院人数：

9人（越大越好）

6.3模型一结果分析

在这种分配方案下，我们发现与原模型的手术前的平均逗留时间：

13.1519，平均术前准备时间：

2.4413，平均每天出院人数：

7.8605相比，并没有太大的差别，我们认为这是在队列没有进入稳定状态时的统计数据造成的，我们用以下的方法处理：

我们可以认为当系统服务了100个顾客后，它已经进入了稳定状态，又由于我们要去足够的数据才能具有说服力，因此我们定义一个评价区间：

从第100个排队等待手术的病人到第30天结束时最后一个出院的病人。

在此区间上，我们再用同样的方法进行评价，会发现我们的三个评价指标值为：

10.311天

1.6526天；

9.633人

此时我们就可以发现，当这个排队系统在尽量趋于稳定状态时，它的手术前的平均逗留时间、术前准备时间、平均每天出院人数均比前边的结果有了一定的优化，这是由于9月1