高考通用人A文数学一轮复习讲义第2章 第5节 指数函数Word文档格式.docx

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R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0,1）

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1

在R上是增函数

在R上是减函数

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）＝－4.（　　）

（2）（－1）＝（－1）＝.（　　）

（3）函数y＝2x－1是指数函数．（　　）

（4）函数y＝ax2＋1（a＞1）的值域是（0，＋∞）．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．化简[（－2）6]－（－1）0的结果为（　　）

A．－9　　B．7

C．－10D．9

B　[原式＝（26）－1＝8－1＝7.]　

3．函数y＝ax－a（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　）

【导学号：

31222044】

A　　　　B　　　　C　　　　　　D

C　[法一：

令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点（1,0），符合条件的只有选项C.

法二：

当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过（1,0），A，B，D都不合适；

当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]

4．（教材改编）已知0.2m＜0.2n，则m________n（填“＞”或“＜”）．

＞　[设f（x）＝0.2x，f（x）为减函数，

由已知f（m）＜f（n），∴m＞n.]

5．指数函数y＝（2－a）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

（1,2）　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]

指数幂的运算

　化简求值：

（1）0＋2－2·

－

－（0.01）0.5；

[解]　

（1）原式＝1＋×

＝1＋×

－＝1＋－＝.6分

（2）原式＝

＝.12分

[规律方法]　1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：

（1）必须同底数幂相乘，指数才能相加；

（2）运算的先后顺序．

2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

[变式训练1]　化简求值：

（1）（0.027）

－－2＋

－（－1）0；

（2）a

·

b－2·

（－3a－

b－1）÷

（4a

b－3）

.

[解]　

（1）原式＝

－72＋

－1

＝－49＋－1＝－45.6分

＝－·

＝－.12分

指数函数的图象及应用

（1）函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（　　）

A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D

（2）若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．

（1）A　[将函数解析式与图象对比分析，因为函数f（x）＝1－e|x|是偶函数，且值域是（－∞，0]，只有A满足上述两个性质．]

（2）曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分

则b的取值范围是（0,1）.12分

[规律方法]　指数函数图象的画法（判断）及应用

（1）画（判断）指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象，应抓住三个关键点：

（1，a），（0,1），.

（2）与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

（3）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.

[变式训练2]　

（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图251，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）

31222045】

图251

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

（2）方程2x＝2－x的解的个数是________．

（1）D　

（2）1　[

（1）由f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f（x）＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.

（2）方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如图）．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]

指数函数的性质及应用

角度1　比较指数式的大小

（1）（2016·

全国卷Ⅲ）已知a＝2

，b＝3

，c＝25

，则（　　）

A．b＜a＜c　　　　　　B．a＜b＜c

C．b＜c＜aD．c＜a＜b

（2）（2016·

浙江高考）已知函数f（x）满足：

f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R.（　　）

A．若f（a）≤|b|，则a≤b

B．若f（a）≤2b，则a≤b

C．若f（a）≥|b|，则a≥b

D．若f（a）≥2b，则a≥b

（1）A　

（2）B　[

（1）a＝2

＝4

＝5

∵y＝x

在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.

（2）∵f（x）≥|x|，∴f（a）≥|a|.若f（a）≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f（a）≥|b|且f（a）≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f（x）≥2x，∴f（a）≥2a.若f（a）≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f（a）≥2b且f（a）≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.]

角度2　解简单的指数方程或不等式

　（2015·

江苏高考）不等式2x2－x＜4的解集为______．

{x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，

∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]

角度3　探究指数型函数的性质

　已知函数f（x）＝ax2－4x＋3.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值；

（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），求a的值．

[解]　

（1）当a＝－1时，f（x）＝－x2－4x＋3，

令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，

则g（x）在区间（－∞，－2）上单调递增，2分

在区间[－2，＋∞）上单调递减，又函数y＝x在R上是减函数，

因此f（x）的单调递增区间是[－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.4分

（2）由f（x）有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，则有解得a＝1.8分

（3）由f（x）的值域是（0，＋∞）知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.12分

[规律方法]　1.比较指数式的大小的方法是：

（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．

2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．

3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致．

易错警示：

在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．

[思想与方法]

1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．

2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

[易错与防范]

1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．

2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．

3．对可化为a2x＋b·

ax＋c＝0或a2x＋b·

ax＋c≥0（≤0）形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．

课时分层训练（八）　指数函数

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．函数f（x）＝2|x－1|的大致图象是（　　）

31222046】

A　　　　B　　　　C　　　D

B　[f（x）＝

所以f（x）的图象在[1，＋∞）上为增函数，在（－∞，1）上为减函数．]

2．（2016·

山东德州一模）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a＜b＜c　　　　　　B．c＜b＜a

C．c＜a＜bD．b＜c＜a

D　[∵y＝x为减函数，＞，∴b＜c.

又∵y＝x在（0，＋∞）上为增函数，＞，

∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D.]

3．（2016·

河南安阳模拟）已知函数f（x）＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）·

f（x2）等于（　　）

A．1　　　　B．a

C．2　　　　D．a2

A　[∵以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，

∴x1＋x2＝0.

又∵f（x）＝ax，

∴f（x1）·

f（x2）＝ax1·

ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.]　

4．函数y＝2x－x2的值域为（　　）【导学号：

31222047】

A.B.

C.D．（0,2]

A　[∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，

又y＝t在R上为减函数，

∴y＝2x－x2≥1＝，

即值域为.]　

5．设函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3）B．（1，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

C　[当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜

－3，

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，

所以0≤a＜1.

故a的取值范围是（－3,1）．]

二、填空题

6．计算：

________.

【导学号：

31222048】

2　[原式＝

＝2.]

7．已知函数f（x）＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

（1,5）　[由f

（1）＝4＋a0＝5知，点P的坐标为（1,5）．]

8．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f（x）＝ax，若实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为________．

m＞n　[∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1（舍）．

函数f（x）＝3x在R上递增，由f（m）＞f（n），得m＞n.]

三、解答题

9．求不等式a2x－7＞a4x－1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围．

[解]　设y＝ax（a＞0且a≠1），

若0＜a＜1，则y＝ax为减函数，

∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＜4x－1，

解得x＞－3；

5分

若a＞1，则y＝ax为增函数，

∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＞4x－1，解得x＜－3.9分

综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是（－3，＋∞）；

当a＞1时，x的取值范围是（－∞，－3）.12分

10．已知函数f（x）＝＋a是奇函数．

（1）求a的值和函数f（x）的定义域；

（2）解不等式f（－m2＋2m－1）＋f（m2＋3）＜0.

[解]　

（1）因为函数f（x）＝＋a是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），即＋a＝－a，即＝，从而有1－a＝a，解得a＝.3分

又2x－1≠0，所以x≠0，故函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.5分

（2）由f（－m2＋2m－1）＋f（m2＋3）＜0，得f（－m2＋2m－1）＜－f（m2＋3），因为函数f（x）为奇函数，所以f（－m2＋2m－1）＜f（－m2－3）.8分

由

（1）可知函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，从而在（－∞，0）上是减函数，又－m2＋2m－1＜0，－m2－3＜0，所以－m2＋2m－1＞－m2－3，解得m＞－1，所以不等式的解集为（－1，＋∞）.12分

B组　能力提升

15分钟）

1．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；

②a＜b＜0；

③0＜a＜b；

④b＜a＜0；

⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系式有（　　）

31222049】

A．1个B．2个

C．3个D．4个

B　[函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．由a＝b得a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]

2．（2017·

安徽江淮十校第一次联考）已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f（x）＝max{e|x|，e|x－2|}，则f（x）的最小值为________．

e　[由于f（x）＝max{e|x|，e|x－2|}＝

当x≥1时，f（x）≥e，且当x＝1时，取得最小值e；

当x＜1时，f（x）＞e.

故f（x）的最小值为f

（1）＝e.]

3．已知f（x）＝x3（a＞0，且a≠1）．

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．

[解]　

（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}.2分

对于定义域内任意x，有

f（－x）＝（－x）3

＝（－x）3

＝x3＝f（x）．

∴f（x）是偶函数.5分

（2）由

（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．

当x＞0时，要使f（x）＞0，即x3＞0，

即＋＞0，即＞0，9分

即ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0.又∵x＞0，∴a＞1.

因此a＞1时，f（x）＞0.12分