届高中数学苏教版 数列求和及综合应用 单元测试 Word版 含答案.docx
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届高中数学苏教版数列求和及综合应用单元测试Word版含答案
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考点23数列求和及综合应用
1、选择题
1.(2017·全国乙卷理科·T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( )
A.440B.330C.220D.110
【命题意图】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项,进行求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.
【解题指南】将已知的数列列举成下列形式,
20 第一行,1个数,求和为21-1
2021 第二行,2个数,求和为22-1
202122 第三行,3个数,求和为23-1
20212223 第四行,4个数,求和为24-1
2021222324 第五行,5个数,求和为25-1
故而可得,第n行,n个数,求和为2n-1,因此前n行,一共有个数,求和为2n+1-n-2.
【解析】选A.由题意得,数列如下:
1,
1,2,
1,2,4,
…
1,2,4,…,2k-1
…
则该数列的前1+2+…+k=项和为S=1+(1+2)+…+(1+2+…+2k)=2k+1-k-2,
要使>100,有k≥14,此时k+2<2k+1,所以k+2是之后的等比数列1,2,…,2k+1的部分和,即k+2=1+2+…+2t-1=2t-1,
所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k=25-3=29,
对应满足的最小条件为N=+5=440,故选A.
【光速解题】选A.前14行,有105个数,求和为215-16,当N=110时,求和为215-16+25-1=215+17≠2n,
前20行,有210个数,求和为221-22,当N=220时,求和为221-22+210-1=221+210-23≠2n,
前25行,有325个数,求和为226-27,当N=330时,求和为226-27+25-1=226+25-28≠2n,
前29行,有435个数,求和为230-31,当N=440时,求和为230-31+25-1=230,故选A.
2、解答题
2.(2017·全国乙卷文科·T17)记Sn为等比数列的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求的通项公式.
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的基本性质及证明数列为等差数列的方法.
【解析】
(1)设公比为q,因为S2=2,S3=-6,
所以S3-S2=a3=-6-2=-8,
又S2=a1+a2=2,可得q2+4q+4=0,所以q=-2.
又a3=a1q2=-8,所以a1=-2,
所以an=a1·qn-1=(-2)n.
(2)由
(1)得Sn===[(-2)n-1],
则Sn+1=[(-2)n+1-1],Sn+2=[(-2)n+2-1],
所以Sn+1+Sn+2=[(-2)n+1-1]+[(-2)n+2-1]
=[2(-2)n-2],
又2Sn=[(-2)n-1],即Sn+1+Sn+2=2Sn,
所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
3.(2017·全国丙卷·文科·T17)设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
【解析】
(1)由已知可得:
a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,
所以当n>1时有a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),
所以两式作差可得:
(2n-1)an=2,
即an=(n>1,且n∈N*),
又因为n=1时,a1=2符合,
所以an=(n∈N*).
(2)设bn=,则bn==-,
所以数列的前n项和为
Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-
=1-
=.
4.(2017·全国甲卷文·T17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式.
(2)若T3=21,求S3.
【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质以及数列求和,通项公式,意在考查学生的方程思想的运用和求解运算能力.
【解析】
(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得,d+q=3,①
(1)由a3+b3=5得,2d+q2=6 ②
联立①和②解得(舍去),
因此{bn}的通项公式bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.
解得q=-5或q=4,
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
5.(2017·北京高考文科·T15)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求和:
b1+b3+b5+…+b2n-1.
【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.
【解析】
(1)设等差数列{an}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所以an=2n-1.
(2)设{bn}的公比为q,b2·b4=a5⇒qq3=9,所以q2=3,
所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q'=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.
【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.
6.(2017·北京高考理科·T20)设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.
(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列.
(2)证明:
或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.
【命题意图】本题主要考查数列的综合.意在培养学生的计算能力及分类意识.
【解析】
(1)当n≥1时,c1=max{b1-a1}=max{0}=0,
c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{-1,-1}=-1,
c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,
所以,对于∀n∈N*且n≥2,都有cn=b1-a1n,只需比较b1-a1n与其他项的大小,当k∈N*且1 (bk-akn)-(b1-a1n) =[(2k-1)-nk]-1+n=(1-k)n+2(k-1) =(k-1)(2-n), 因为k-1>0,且2-n≤0,所以bk-akn≤b1-a1n, 所以对于∀n∈N*且n≥2,cn=b1-a1n=1-n, 所以cn-cn-1=-1,n≥2, 又c2-c1=-1, 所以{cn}是以c1=0为首项,d=-1为公差的等差数列. (2)设{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则bi-ain=b1+(i-1)d2-[a1+(i-1)d1]n=(d2-nd1)i+b1-d2-a1n+nd1(i=1,2,…,n). 当d1>0时,则存在正整数m,当n≥m时,d2-d1n<0,此时bi-ain随i的增大而减小,所以cn=b1-a1n(n≥m),即cm,cm+1,cm+2,…是等差数列. 当d1=0时,bi-ain=b1-d2-na1+d2i,①若d2≤0,则bi-ain随i的增大而不增,所以cn=b1-a1n是等差数列,②若d2>0,则bi-ain随i的增大而增大,所以cn=bn-ann=b1-d2+(d2-a1)n是等差数列. 所以当d1=0时,存在m=1,c1,c2,c3…是等差数列. 当d1<0时,则存在正整数m,当n≥m时,d2-d1n>0,此时bi-ain随i的增大而增大, 所以当n≥m时,cn=bn-ann,所以=-an=+d2-a1+d1-d1n=+B-d1n,其中A=b1-d2,B=d2-a1+d1. 取正整数m1>|A|,则当n≥m1时,>-1,取正整数m2>-, 则当n≥m2时,B-d1n>B-d1=M+1. 令m=max{m1,m2},当n≥m时,=+B-d1n>-1+(M+1)=M. 所以当d1<0时,存在正整数m,当n≥m时,>M, 综上所述,或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M,或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列. 7.(2017·天津高考理科·T18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*). 【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生利用“错位相减”进行数列求和的应用能力. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知得: b2+b3=12,即b1(q+q2)=12,又b1=2,所以q2+q-6=0,因为q>0,所以q=2,所以bn=2n,由b3=a4-2a1,S11=11b4得, 3d-a1=8,a1+5d=16, 联立解得,a1=1,d=3,所以an=3n-2, 所以,{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=2n. (2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn, 由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n, 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1 =-4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得Tn=×4n+1+. 所以,数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4n+1+. 【方法技巧】用错位相减法求数列{an·bn}的前n项和 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后错位作差求解. 8.(2017·天津高考文科·T18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*). 【命题意图】本题综合考查等差等比数列通项公式及复杂数列求和等问题.考查学生灵活应用基本量的能力,考查学生
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