成人高考专升本《高等数学二》公式大全文档格式.docx
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limf(x)
limg(x)
limg(x)
AB
limg(x)
A(B
g(x)
推论设lim
f1(x),lim
f2(x),lim
f3(x),......lim
fn(x),limf(x)都存在,k为常数,n为正整数,则有:
lim[f1(x)
f1(x)
....fn(x)]
limf1(x)
limf2(x)
....lim
fn(x)
lim[kf(x)]
klim
f
(x)
lim[f(x)]n
[lim
(x)]n
3、无穷小量的比较:
设,是同一过程中的两个无穷小,且lim0,lim0.
(1)如果lim0,就说是比高阶的无穷小,记作o();
(2)如果limC(C0),就说是与同阶的无穷小;
(3)特殊地如果lim1,则称与是等价的无穷小量;
记作~;
(4)如果limC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小.
k
(5)如果lim,则称是比低阶的无穷小量.
常用等级无穷小量的比较:
当x0时,
1
sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,ln(1
x)~x,ex1~x,
cosx~
x2.
2
重要极限limsinx
1.lim(1
)x
e.lim(1x)
)n
e
e对数列有lim(1
x
x0
第二章节公式
1.导数的定义:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f(x0+
x→0
f(x0+
=lim
x)-f(x0
)=lim
f,我们称它为函数
=
(
)在
0处的导数,记作
′(0)或
′|=
0即
′(0)
yf
fx
yxx
x→0
x)-f(x0)
.
2.导数的几何意义
函数
0处的导数就是切线的斜率
,即
=lim
x)-f(x0)=
′(0).
3.导函数(导数)
当
变化时,
′()便是
的一个函数,我们称它为
)的导函数(简称导数),
y
)的导函数有时也记作
′,即
f′(x)=y′=lim
f(x+x)-f(x)
4.几种常见函数的导数
(1)c′=0(c为常数),
(2)(
xn)′=nxn-1(n∈Z),(3)(
ax)′=axlna(a>0,a
1),(
ex)′=ex
(4)(ln
x)′=
,(log
ax)′=
log
(a>0,a
1)
ae=
xlna
(5)(sin
x)′=cosx,(6)(cosx)′=-sinx
(7)
(tanx)'
(8)
(cotx)'
cos2x
sin
(9)
(arcsinx)'
1x
1),(10)
(arccosx)'
x2
(1
x2
(11)
(arctanx)'
(arccotx)'
x2,
(12)
5.函数的和、差、积、商的导数
(u±
v)′=u′±
v′,(uv)′=u′v+uv′
u
u′v-uv′
,(ku)′=cu′(k为常数).
v′=
v2
(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′
微分公式:
(1)d(c)
o(c为常数)
a
a1
()d
)
axdx
a为任意实数)
2(
dx(a0,a1),d(lnx)
1dx
(3)d(loga
()
d(a
lnadx(a
4
(5)d(sinx)
cosxdx
d(tanx)
dx,
cos2
0,a1)
d(ex)exdx
(6)d(cosx)
sinxdx
(8)
d(cotx)
dx
sin2
(10)
d(arctanx)
d(arccotx)
6.微分的四算运则
d(u±
v)=du±
dv,
d(
uv)=vdu+udv
d(u)
vduudv
(v
0)d(ku)=kdu(k为常数).
v
洛必达法则:
在一定条件下通过分子分母分别求导,再求极限来确定未定式的值的方法。
f(x)
‘
f'
'
(x)
f(x)
A(或)
xag(x)
xag'
xag'
(x)
7.导数的应用:
(x)=0的点为函数f(x)的驻点,求极值;
(1)
x0时,f'
;
x0时
f(x)'
则f(x0)为f(x)的极大值,x0为极大值点
(2)
0;
x0时,f(x)'
0,
则f(x0)为f(x)的极大值,x0为极小值点;
(3)如果f'
(x)在x0的两端的符号相同,那么f(x0)不是极值,x0不是极值点。
(x)=0的点为函数f(x)的拐点,求凹凸区间;
(x)0的x取值范围内,曲线yf(x)为凸的(下凹)
(x)0的x取值范围内,曲线yf(x)为凹的(上凹)
第三章知识点概况
不定积分的定义:
f(x)的全体原函数称为函数
f(x)dx
,并称
为积分符号,函数
f(x)
f(x)的不定积分,记作
为被
3
积函数,为被积表达式,x为积分变量。
因此f(x)dxF(x)C
不定积分的性质:
(1)[
f(x)dx]'
f(x)或d
f(x)dx
F'
(x)dx
F(x)
C或dF(x)
C
(3)
[f(x)
(x)....
(x)]dx
(x)dx....
(4)
kf(x)dx
kf(x)dx(k为常数且k
基本积分公式:
0dx
xa1
C(a
lnx
ax
C(a
0,a
(5)
exdx
ex
(6)
cosx
(7)cosxdx
sinxC
adx
lna
tanx
cotxC
arcsinx
C(11)
arctanxC
1-x2
换元积分(凑微分)法:
1.凑微分。
对不定积分
g(x)dx,将被积表达式
g(x)dx凑成g(x)dx
[(x)]
'
(x)dx
(x),则du
d(x)
(x)dx代入上式得:
g(x)dx凑微分
f[
(x)]
(x)dx变换带量
f(u)du
2.作变量代换。
令
3.
用公式积分,,并用u
(x)换式中的u
f(u)du公式F(u)
C回代F[(x)]
常用的凑微分公式主要有:
(1)f(ax
b)dx
1f(ax
b)d(ax
b)
(2)f(axk
b)
xk
1dx
f(axk
b)d(axk
ka
(3)f(x)
dx2f(x)d(x)
(4)f
(1)
12dx
f
(1)d
(1)
(5)f(ex)exdx
f(ex)d(ex)
(6)f(lnx)1dx
f(lnx)d(lnx)
(7)f(sinx)
f(sinx)d(sinx)
(8)f(cosx)
f(cosx)d(cosx)
(9)f(tanx)
f(tanx)d(tanx)
(10)f(cotx)
f(cotx)d(cotx)
(11)f(arcsinx)
f(arcsinx)d(arcsinx)
(12)f(arccosx)
f(arccosx)d(arccosx)
(13)f(arctanx)
f(arctanx)d(arctanx)
(14)'
(x)dxd(ln
(x))(
(x)
分部积分法:
d(uv)
vdu
udv两边对x积分得uv
udv移项得
udvuv
vdu或vduuv
udv适用于分
部积分法求不定积分的常见题型及
u和dv的选取法
设
uP(x),dv
sinaxdx
(1)eP(x)dx设u
P(x),dve
P(x)sinaxdx
uP(x),dv
cosaxdx
(4)P(x)lnxdx设ulnx,dvP(x)dx
3P(x)cosaxdx
arcsinx,dv
(6)P(x)arctanxdx设u
arctanx,dv
P(x)dx
5P(x)arcsinxdx
()eax
bxdx其中u
v为任意选取,eax
cos
v为任意选取,
7
上述式中的P(x)为x的多项式,a,b为常数。
一些简单有理函数的积分,
可以直接写成两个分式之和,
或通过分子加减一项之后,很容易将其写成一个整式与一个分式之
和或两个分式之和,再求出不定积分。
b
定积分:
△此式子是个常数
f(i
)xi
0)
i
(△
(1)定积分的值是一个常数,它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的字母无关,即应有
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