南水北调工程水指标的分配问题文档格式.docx
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如果
两方分别占有
和
席,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设
即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况:
.当
时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应给A方.
时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对不公平值为:
(2)
时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为:
(3)
因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果
(4)
则这1席给A方,反之这1席给B方.
由
(2)(3)可知,(4)等价于
(5)
不难证明上述的第
种情况
也与(5)式等价,于是我们的结论是当(5)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.
若记:
则增加的1席给Q值大的一方.
5.1.2Q值法简化应用说明
表示2010年第i个城市的总人口数,
表示2000第i个城市的人均用水量,所以第i个城市的Q值为:
剩余水对第i个城市的分配量=剩余水量
5.2问题一模型的建立
5.2.1生活用水分配模型
针对问题一,在分配供水时应充分满足用户的需求,故先从2000年新增人口生活用水新增总量为初始分配量,初步分配后发现有剩余,我们将剩余的水进行合理公平的分配。
因此可采用席位分配模型,我们选取简化的Q值分配模型,根据生活用水初始分配量=城市新增人口数*人均用水量,则有:
先以2000年各城市人均生活用水为标准进行初始分配,计算结果如下表
城市序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
初始分配(亿立方米)
0.3418
0.1598
0.0478
0.0625
0.0187
0.0319
0.1178
0.0144
0.0255
0.066
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.028
0.0163
0.026
0.0834
0.069
0.0346
0.0347
0.0128
0.0147
0.0541
由上表可知初始分配的水的总量为1.2597亿立方米。
由于110亿立方米的水中有40%用于生活用水,即44亿立方米,所以经初始分配后剩余的水有42.7403亿立方米。
根据简化Q值模型公式计算各城市的Q值如下表:
Q值
103.0185
84.912
0.4705
0.605
0.5217
1.62845
5.754
0.8156
1.0021
0.5761
0.3208
0.4707
1.7135
2.2587
14.96
1.6064
2.8871
0.321
1.2636
3.03
再根据模型计算剩余水的分配如下表所示:
剩余水分配1
19.3154
15.9205
0.0882
0.1134
0.0978
0.3053
1.0451
0.1529
0.1879
0.108
剩余用水
0.0602
0.3213
0.4235
2.8049
0.3012
0.5413
0.2369
0.568
所以各城市生活用水分配如下所示:
生活用水
19.6572
16.0803
0.136
0.176
0.1165
0.3372
1.1629
0.1673
0.2134
0.174
0.0881
0.1046
0.3472
0.5069
2.8739
0.3359
0.576
0.073
0.2516
0.6221
同理,对于工业用水及综合服务业用水的分配我们可以采用类似的方法进行分配,最终得到各城市三种用水的分配方案如下表所示
生活用水量
工业用水量
综合服务用水量(亿立方米)
序号
城市名称
(亿立方米)
北京
4.4855
13.631
天津
19.8058
7.6323
廊坊
0.4956
0.4132
保定
1.6905
0.1044
沧州
2.5408
0.0639
衡水
0.4053
0.0439
石家庄
4.1766
0.7276
邢台
0.3394
0.0573
邯郸
4.5311
0.1023
安阳
0.0275
0.0628
鹤壁
0.0039
0.0823
濮阳
0.0357
0.0557
焦作
0.0136
0.0818
新乡
0.0134
0.0521
郑州
2.8894
0.8957
许昌
0.0201
0.0432
平顶山
0.0407
0.0436
周口
0.0356
0.0307
漯河
0.0511
南阳
0.205
0.0247
5.3问题二的模型建立
5.3.1工业用水及综合服务业用水的分配模型
对于问题二,我们要从经济效益的角度考虑工业用水和综合服务业用水的分配,同时注意到每个城市工业和综合服务业发展受到产业规模限制,不可能在短时间内无限制地增长,故对每个城市的调水指标都应有上下限的约束,我们指定实际用水可调度量可在该城市用水需求量的50%~150%的范围内波动,使得各大城市在工业和综合服务业所产生的经济效益最大,于是以工业和服务业总经济效益最大为目标得到目标函数为
从而得到总经济效益最大的线性规划数学模型为:
S,t
根据已有的条件限制,我们利用matlab软件计算,得到如下的分配结果(表)(程序见附录):
北京
2.6247
5.1769
天津
28.54
2.7126
廊坊
1.0546
1.2138
保定
1.6517
0.2432
沧州
2.37
1.0203
衡水
1.0217
1.1054
石家庄
2.7976
0.7708
邢台
0.9402
0.431
邯郸
2.4927
1.0326
安阳
0.801
0.6893
鹤壁
0.7739
0.57
濮阳
0.8254
0.6719
焦作
0.7761
1.0616
新乡
0.8153
0.2927
郑州
3.0299
0.9847
许昌
0.8089
0.7051
平顶山
0.806
0.6398
周口
0.8058
0.3647
漯河
0.7933
0.5693
南阳
0.9308
1.0524
求得2010年各城市获得工业经济效益为:
995亿元,服务经济效益为:
6085亿元,,并求得最大收益为7080亿元。
6、模型的推广与评价
6.1模型的推广
本题属于规划问题,建立的是单目标线性规划模型,这个模型不仅仅适用于水的资源配置问题,它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。
通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。
决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中,可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。
本模型涉及预测,资源调度分配及合理优化使效益最大等问题,可在于发电厂的电力分配,公司生产销售及资源调度优化配置等领域有着广泛的应用。
6.2模型的评价
1)在生活用水公平分配模型中我们采用了简化的Q值法,对初始分配后剩余的水按Q值比例进行分配,达到了公平的效果。
但模型中缺乏对简化Q值法合理性的讨论,这使得简化方法应用的根据不足。
2)在工业用水和综合服务业用水的分配模型中,我们采用了单目标线性规划的方法。
并且充分利用了有限的水资源创造最大的经济效益,不过在分配水资源时没有考虑到每个城市之间的公平性问题。
7、参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学建模.北京:
高等教育出版社,2010.
[2]刁在筠,刘桂真,宿洁,马建华.运筹学.高等教育出版社.2010.
8.附录
8.1分配给工业用水的最优解的程序
c=[-1/143;
-1/72;
-1/102;
-1/96;
-1/110;
-1/120;
-1/86;
-1/131;
-1/126;
-1/186;
-1/210;
-1/170;
-1/205;
-1/180;
-1/88;
-1/189;
-1/200;
-1/180];
r2=0.236088;
v1=4.4855;
v2=19.8057;
v3=0.4956;
v4=1.6904;
v5=2.5407;
v6=0.4053;
v7=4.1766;
v8=0.3394;
v9=4.5311;
v10=0.0275;
v11=0.0039;
v12=0.0357;
v13=0.0136;
v14=0.0134;
v15=2.8894;
v16=0.0201;
v17=0.0407;
v18=0.0356;
v19=0.0201;
v20=0.2050;
a=[10000000000000000000;
01000000000000000000;
00100000000000000000;
00010000000000000000;
00001000000000000000;
00000100000000000000;
00000010000000000000;
00000001000000000000;
00000000100000000000;
00000000010000000000;
00000000001000000000;
00000000000100000000;
00000000000010000000;
00000000000001000000;
00000000000000100000;
00000000000000010000;
00000000000000001000;
00000000000000000100;
00000000000000000010;
00000000000000000001;
-10000000000000000000;
0-1000000000000000000;
00-100000000000000000;
000-10000000000000000;
0000-1000000000000000;
00000-100000000000000;
000000-10000000000000;
0000000-1000000000000
00000000-100000000000;
000000000-10000000000;
0000000000-1000000000;
00000000000-100000000;
000000000000-10000000;
0000000000000-1000000;
00000000000000-100000;
000000000000000-10000;
0000000000000000-1000;
00000000000000000-100;
000000000000000000-10;
0000000000000000000-1;
];
b=[1.5*r2*v1;
1.5*r2*v2;
1.5*r2*v3;
1.5*r2*v4;
1.5*r2*v5;
1.5*r2*v6;
1.5*r2*v7;
1.5*r2*v8;
1.5*r2*v9;
1.5*r2*v10;
1.5*r2*v11;
1.5*r2*v12;
1.5*r2*v13;
1.5*r2*v14;
1.5*r2*v15;
1.5*r2*v16;
1.5*r2*v17;
1.5*r2*v18;
1.5*r2*v19;
1.5*r2*v20;
-0.5*r2*v1;
-0.5*r2*v2;
-0.5*r2*v3;
-0.5*r2*v4;
-0.5*r2*v5;
-0.5*r2*v6;
-0.5*r2*v7;
-0.5*r2*v8;
-0.5*r2*v9;
-0.5*r2*v10;
-0.5*r2*v11;
-0.5*r2*v12;
-0.5*r2*v13;
-0.5*r2*v14;
-0.5*r2*v15;
-0.5*r2*v16;
-0.5*r2*v17;
-0.5*r2*v18;
-0.5*r2*v19;
-0.5*r2*v20];
aeq=[11111111111111111111];
beq=[41.8];
[x,fval,exitflag,output]=linprog(c,a,b,aeq,beq,[],[])
8.2分配给综合服务业用水的最优解的程序
c=[-1/160;
-1/140;
-1/360;
-1/315;
-1/318;
-1/235;
-1/320;
-1/310;
-1/352;
-1/280;
-1/310;
-1/220;
-1/340;
-1/320];
v1=13.6310;
v2=7.6323;
v3=0.4132;
v4=0.1044;
v5=0.0637;
v6=0.0439;
v7=0.7276;
v8=0.0573;
v9=0.1023;
v10=0.0628;
v11=0.0823;
v12=0.0557;
v13=0.0818;
v14=0.0521;
v15=0.0897;
v16=0.0432;
v17=0.0436;
v18=0.0308;
v19=0.0511;
v20=0.0248;
0000-1000000000000
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