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抽屉原理与高中数学竞赛
【内容摘要】本论文首先讨论了抽屉原理的一般含义和它的两种推广形式;
其次给出了抽屉原理在整除问题、染色问题、集会问题等高中数学竞赛问题中的应用。
【关键词】:
抽屉原理;
整除问题;
染色问题;
集会问题
目录
第一章前言……………………………………………………………1
第二章抽屉原理的概念与基本形式…………………………………2
2.1抽屉原理的基本定义………………………………………2
2.2抽屉原理的基本形式………………………………………2
第三章抽屉原理在高中数学竞赛中的应用…………………………3
3.1整除问题………………………………………………………4
3.2染色问题………………………………………………………5
3.3集会问题………………………………………………………6
3.4抽屉原理应用总结……………………………………………7
3.4.1解题基本思想……………………………………………7
3.4.2解题基本步骤……………………………………………7
第四章结论……………………………………………………………8
参考文献…………………………………………………………………9
致谢辞……………………………………………………………………10
前言
数学竞赛,它无疑是一种智力的比赛。
求解或求证一道数学竞赛题,往往不需要冗长的推理论证,也不需要繁琐的演绎计算,但需要“题感”,才能快速解决。
对于数学竞赛的重要组成部分“抽屉原理”而言,则尤其需要“题感”。
当然数学的题感是要有扎实的数学基础知识和海量的数学题目为首要前提,数学思想极为重要。
所谓的数学思想,是指现实世界的空间形式化和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。
数学思想是对事实与理论经过概括后产生的本质认识;
基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征,并且是历史地发展着的。
通过数学思想的培养,数学的能力就会有一个大幅度的提高。
抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理,是一个十分简单又十分重要的原理.它是由德国著名数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet1805-1855)[1]首先发现的,因此也叫作狄利克雷原理.
抽屉原理简单易懂,主要用于证明某些存在性或必然性的问题,不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛应用,在高等数学的其它几门学科领域中也是解决问题的有效方法.
第二章抽屉原理的基本概念
“抽屉原理”是离散数学[2]中的一个重要原理,其又叫“鸽笼原理”。
此原理最先是由19世纪德国数学家狄里克雷(Dirichlet)运用于解决数学问题的。
因此就叫做“狄里克雷(Dirichlet)原理”。
它的原始形式是:
把n+1个球放到n个抽屉里,则其中至少有一个抽屉放了2个以上的球。
由于这个原理看起来非常简单,人人都可以接受,因而在数学课本中几乎从不提及它。
但它包含了深刻的数学思想,最主要的是它的特殊的解题过程。
2.1抽屉原理的基本定义
抽屉原理有离散情形和连续情形两种。
离散情形下的抽屉原理也称“鸽笼原理”,由Dirichlet建立的“Dirichlet抽样法”指出:
“如果在n个抽样中,存在n+1个事件,那么至少在一个抽样中包含两个或两个以上的事件”。
这是首次以明确的语言来表述的抽屉原理。
2.2抽屉原理的基本形式
离散情形的抽屉原理有两种形式:
一种是有限形式,一种是无限形式。
陈景林、阎满富在他们编著的《组合数学与图论》一书中将抽屉原理抽象概括成以下三种形式[3]:
原理1.把多于
个的元素按任一确定的方式分成
个集合,则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
原理2.把
个元素任意放到
个集合里,则至少有一个集合里至少有
个元素,其中
原理3.把无穷个元素按任一确定的方式分成有限个集合,则至少有一个集合中仍含无穷个元素。
卢开澄在《组合数学》(第三版)中将抽屉理(书中称为鸽巢原理)又进行了推广[4].
鸽巢原理:
设k和n都是任意正整数,若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中,则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子。
推论1.有m只鸽子和n个鸽巢,则至少有一个鸽巢中有不少于
+1只鸽子.
推论2.若将n(m-1)+1个球放入n个盒子里,则至少有一个盒子有m个球.
推论3.若
是n个正整数,而且r=
,则
中至少有一个数不小于r。
另外,抽屉原理还可以用映射的形式来表示,即:
设
和
是两个有限集,如果
>
,那么对从
到
的任何满射
,至少存在
使
。
第三章抽屉原理在高中数学竞赛中的应用
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题:
例如“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们同一天过生日”;
“把[0,1]内的全部有理数放到200个集合中,一定存在一个集合,它里边有无限多个有理数”,这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来.这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据理论也不复杂,用抽屉原理往往是解决这类问题的一种有效途径。
下面就抽屉原理在往届的数学竞赛中出现的相关例题,把它分为五个方面,通过对题目的分析、解答来体会抽屉原理的应用。
下面主要讲解抽屉原理在高中数学竞赛中三种问题的运用,其中包括:
整除问题、、染色问题、集会问题。
3.1整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,…。
在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉根据抽屉原理,可以证明:
任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。
例2[5]对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。
分析:
看到这样类似的题目,首先我们应该想到对于任意一个数除以3所得到的几种结果,也就是这个数除以3所得到余数分别有0、1、2这3种情况,我们可以根据这3种情况来构造3个抽屉,利用这5个数除以3得到的余数进行分类讨论,可以分为以下3中情况来讨论:
①这五个自然除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数);
②这5个余数分布在其中的两个抽屉中;
③这5个余数分布在其中的一个抽屉中。
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:
[0],[1],[2]。
①若这五个自然除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数),我们从这三个抽屉中各取1个(如1至5中取3,4,5),其和(3+4+5=12)必能被3整除。
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数。
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除。
3.2染色问题(也叫单色三角形问题)
例1[6]把1到10的自然数摆成一个圆圈,证明:
一定存在三个相邻的数,它们的和数大于17。
分析要解决这道题,首先从题目中的3个相邻的数入手。
现将1到10这集合的10个自然数的任意排列成一圈,并分别对它们进行编号,如:
,将它们每相邻的3个数组合,形成另外一个集合,记为A。
要知道这些数是由是数字1到10构成的,所以集合A中所有元素中的每个数字之和可求,即为3倍的(1+2+…+10),由可把集合A中的元素看成是抽屉,运用抽屉原理即可得到证明。
证明设
分别代表不超过10的十个自然数,它们围成一个圈,它们三个相邻的数的组成是
共十组,现在把他们看成是十个抽屉,每个抽屉的物体数是
,
由于
根据推论,有余数为5,也就是说平均每组数的和为16.5,在16与17之间,那么可得出结论:
至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有一组三个相邻的数的和不少于17。
3.3六人集会问题
例1[7]证明:
在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有3个人以前彼此不相识。
当看到这个题目的时候我无从入手,但我们应当注意的是在这个题目中的几个关键数字6和3。
题中提到3个人以前彼此相识或者3个人以前彼此不相识,根据这里,6个人看作是空间中6个固定的点,分别记为A、B、C、D、E、F,相互认识的人用一种方法表示,不相识的用另一种方法表示,这样我们就把这个问题转化为可以灵活运用的抽屉原理来解决。
以下便是证明的方法。
证明:
这个问题可以用如下方法简单明了地证出:
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。
如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;
否则连一条蓝线。
考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,…,AF,它们的颜色不超过2种。
根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。
如果BC,BD,CD这3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:
如果BC、BD、CD这3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。
所以不论哪种情形发生,都符合问题的结论。
图1
六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞[8]定律的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。
这些结论构成了组合数学中的重要内容──-拉姆塞理论。
在这题的从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的巧妙应用。
3.4总结应用抽屉原理
3.4.1解题基本思想
应用抽屉原理解题的基本思想:
首先,利用抽屉原理把索要考虑的问题范围缩小,使之能在一个特定的小范围内思考问题,这样使问题变得简单而明确。
根据不同问题的已知条件和问题自身特点,仔细观察问题本质,先要弄清楚如何对那些元素分类,再找出分类的规律,这个步骤也就是进行所谓的构造抽屉。
构造抽屉是用抽屉原理解题的关键,也是难点。
一般情况下是,把图形分成小区域;
把集合化成子集组,这个子集组就可以构成一个抽屉,即可利用抽屉原理的方法解决这个问题。
3.4.2解题基本步骤
在应用抽屉原理进行解题的过程中,我们把解题步骤分为三步。
第一步、分析题意:
分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是把什么看作“东西”,把什么看作“抽屉”。
第二步、制造抽屉:
这是关键的一步.这一步就是如何设计抽屉,根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉原理铺平道路。
第三步、运用抽屉原理:
观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决。
利用抽屉原则解题时,其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”。
第四章结论
数学竞赛中不乏好题,而许多的经典好题出现在组合数学中,在解决有关抽屉原理的问题时,只要证明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来,这类问题相对来说涉及的运算较少,依据的理论也很浅显。
抽屉原理是一个非常简单但又是应用广泛的原理,它是证明存在性问题的有效方法。
在数学问题中,抽屉原理往往解决“存在性”问题,尤其是在数学竞赛题中,常有一些不用抽屉原理就不能解决的问题。
抽屉原理在解题过程中对于我们来说有一定的难度,它是一种非常规的解题方法,它有其特殊的解题方法及步骤,其中构造抽屉是最关键的一步,我们在遇到实际题目的时候,首先想到把实际问题转化到我们所学的抽屉原理上再进行抽屉的构造就可以解决问题了。
总而言之,抽屉原理的运用比较灵活,在解一些数学竞赛试题中常有用武之地。
同样在竞赛辅导中交给学生一些简单的思想方法有助于培养学生的构造法解题意思,使学生的思维能力得到一定的提高,不仅有利于高中学习,也可以为将来的高等数学学习带来一定的帮助。
参考文献
[1]
[2]
[3]陈景林,阎满富.组合数学与图论.北京中国铁道出版社出版,2000.04
[4]卢开澄.组合数学(第3版).北京清华大学出版社,2002.07
[5]庞晓丽.用“抽屉”原理解决逻辑问题[J].保定师专学报,20014,2:
52-53.
[6]
[7]1958年6月7号的《美国数学月刊》
[8]
致谢辞
在学习的过程中,我得到了各位领导、老师以及同学的帮助,使我的成绩以及自身综合能力得到了极大的提高,在此我向他们表示衷心的感谢!
从论文选题到搜集资料,从提纲的完成到正文的反复修改,我经历了各种感受,有快乐有烦恼,也有各种感受交织在一起得复杂心情。
如今,伴随着这篇学年论文的最终成稿,复杂的心情瞬间烟消云散,自己顿时感觉轻松了很多,甚至还有一点点成就感。
论文的顺利完成首先最需要感谢我的指导老师盛志荣老师。
本文从开题到定稿都倾注了老师的心血,耗费了老师的大量的时间与精力。
本论文自始至终都是在老师的悉心指导下完成的。
老师时时关心我所写论文的进程,不仅为我提供了许多宝贵意见,而且经常抽出时间与我探讨所遇到的各种问题。
老师严谨的治学态度、渊博的专业知识、精益求精的工作作风和平易近人的人格魅力对我影响深远,为我以后的学术道路打下了坚实的基础.老师的谆谆教导、耐心教诲都给了我深深的启迪.在此向他表示衷心的感谢。
同时衷心感谢在百忙之中抽出时间给我评阅论文和参加答辩的老师!
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