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ln
shxdx
chx
chxdx
shx
arcsinx
ln(x
a2)
sinnxdx
cosnxdx
n
In
)
a2dx
a2lnx
x2dx
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2u
u2
,dx
2du
sinx
,cosx
u
2,
utg
1u
一些初等函数:
双曲正弦
:
ex
双曲余弦
双曲正切
thx
e
arshx
archx
1)
arthx
1ln1
两个重要极限:
limsinx
x0
lim(1
)x
三角函数公式:
·
引诱公式:
函数
角A
sincos
tg
ctg
-α
-sinαcosα-tgα-ctgα
90°
cosαsinαctgα
tgα
+α
cosα-sinα-ctgα-tgα
180
°
sinα-cosα-tgα-ctgα
-sinα-cosα
tgαctgα
270
-cosα-sinαctgα
-cosαsinα-ctgα-tgα
360
360°
+αsinαcosαtgαctgα
sin(
sin
cos
2sin
cos(
tg(
2cos
1tg
ctg(
和差角公式:
和差化积公式:
倍角公式:
sin2
cos2
2cos2
2sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
2tg
13tg2
tg2
半角公式:
正弦定理:
b
c
2R
sinA
sinB
sinC
余弦定理:
c2
b2
2abcosC
反三角函数性质:
arccosx
arctgx
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(
Leibniz)公式:
(uv)(n)
Cnku(nk)v(k)
k0
u(n)v
nu(n1)v
n(n1)u(n2)v
n(n1)
(nk1)u(nk)v(k)
uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
柯西中值定理:
f(b)f(a)f()(ba)
f(a)f()
F(a)F()
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds
y2dx,此中ytg
均匀曲率:
K
s
.
从M点到M点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM弧长。
M点的曲率:
lim
d
y
3
s0
(1
直线:
0;
半径为a的圆:
1.
定积分的近似计算:
a(y0
矩形法:
f(x)
y1
yn1)
a[1(y
梯形法:
yn)
yn
1]
抛物线法:
2(y2
y4
yn2)
4(y1y3
yn1)]
[(y0
3n
定积分应用有关公式:
功:
W
Fs
水压力:
F
pA
m1m2
引力:
k
r2
k为引力系数
函数的均匀值:
f(x)dx
aa
均方根:
f2(t)dt
baa
空间分析几何和向量代数:
空间2点的距离:
M1M2
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2
z1)2
向量在轴上的投影:
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju(a1
a2)Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数目,
两向量之间的夹角:
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
cab
ay
az,c
bsin
.例:
线速度:
v
w
r.
bx
by
bz
az
向量的混淆积:
[abc]
(a
b)
ccos,为锐角时,
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程:
1、点法式:
A(x
x0)
B(y
y0)
C(zz0)0,此中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
By
Cz
D
3、截距世方程:
z
平面外随意一点到该平
空间直线的方程:
xx0
m
二次曲面:
面的距离:
dAx0By0
A2
B2
yy0
zz0
t,此中s
p
Cz0D
C2
mt
{m,n,p};
参数方程:
y0
nt
z0
pt
22
1、椭球面:
xya2b2
2、抛物面:
xy
2p2q
3、双曲面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
z2
c21
z(,p,q同号)
c2(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz
zdx
zdy
du
udx
udy
udz
全微分的近似计算:
zdzfx(x,y)
fy(x,y)
多元复合函数的求导法
:
f[u(t),v(t)]
dt
t
f[u(x,y),v(x,y)]
当
,
v(x,y)
时,
u(x,y)v
dv
vdx
vdy
隐函数的求导公式:
隐函数
F(x,y)
dy
Fx,
2y
Fx
+
Fy
dx2
(
xFy
yFy
,z
F(x,y,z)0
Fz
F(x,y,u,v)
(F,G)
Fu
Fv
隐函数方程组:
J
G(x,y,u,v)
(u,v)
G
Gu
Gv
(x,v)
(u,x)
(y,v)
(u,y)
微分法在几何上的应用:
(t)
z0)处的切线方程:
xx0
空间曲线y
(t)在点M(x0,y0
(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(xx0)
(t0)(y
(t0)(z
z0)
FzFz
若空间曲线方程为:
则切向量T{
Gy
G(x,y,z)0
GzGz
GxGx
曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
Fx(x0,y0,z0)(x
Fy(x0,y0,z0)(y
3、过此点的法线方程:
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
}
Fz(x0,y0,z0)(zz0)0
方导游数与梯度:
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方导游数为:
f
fsin
l
此中为轴到方向
的转角。
函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)
它与方导游数的关系是:
,此中
sinj
,为
方向上的
gradf(x,y)e
单位向量。
是gradf(x,y)在l上的投影。
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
fy(x0,y0)
0,令:
fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C
AC
B
0时,
A0,(x0,y0)为极大值
A0,(x0,y0)为极小值
则:
无极值
0时,
不确立
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
曲面zf(x,y)的面积A
dxdy
Mx
(x,y)d
My
y(x,y)d
平面薄片的重心:
y
M
平面薄片的转动惯量:
关于x轴Ixy2
关于y轴Iy
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M
(0,0,a),(a
0)的引力:
{Fx,Fy,Fz},此中:
(x,y)xd
(x,y)yd
fa
Fxf
D(x2
y2
a2)2
柱面坐标和球面坐标:
rcos
柱面坐标:
rsin,
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
此中:
F(r,,z)f(rcos,rsin
rsincos
球面坐标:
yrsinsin,
zrcos
z)
dvrdrsinddrr2sindrdd
2r(,)
)r2sin
drd
dr
xdv,
dv,
zdv,
此中M
重心:
转动惯量:
Ix
z2)
dv,
Iy
Iz
y2)
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
(t),
),则:
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