南宁市普通高中届高三摸底测试理科数学含答案解析文档格式.docx
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D.1
7.
如图•网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为
A.4+4屈
B.2+672
C.3+3^2
D.8
8.已知(0,Q,cos(a+$)=*,则sina的值为
A"
土3r4用_3
凡10-10
D•牛
9•射线测厚技术原理公式为Z=70e-^SKi|-厲」分別为射线穿过被测物前后的强度,e是自然对数的底数,为被测物厚度屮为被测物的密度屮是被测物对射线的吸收系数.丁业上通常用锵241(2tlAm)低能y射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位:
cm),钢的密度为7.6(单位:
g/cm3),则这种射线的吸收系数为
(注:
半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,In2=0.6931,结果粘确到0.001)
A.0.110B.O.112C.0.114D.O.116
10.已知过定点A(0,6)(6>
0)的直线2与圆O:
F+y=l相切时,与,轴夹角为45°
则宜线/的方程为
A.jt—y+屈=0B.工+夕一1=0
C.x-\~y—j2=Q或、y+"
2=0D.広十』—1=0或x~y十1=0
11.已知双曲线C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,设双曲线C的左焦点为F,右顶点为B,点P为C上一点,且PF丄工轴,若|PF|=2|BF|,则双曲线C的离心率为
A.3B.2C号D•号
12.已知函数/•(/)=¥
+*〃一工,若o=/(203)』=/
(2),c=f(log25)』i]a,b,c的大小关系为
A.c<
ib<
ZaBaWcC.c>
a>
bD.bAc>
ci
第II卷
本卷包括必考题和选琴题两部分.第13〜21题为必考题•每个试题考生都必须作答•第22.23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题•每小题5分,共20分.
徉匸+耳一3=0,
13.设工*满足约束条件2工一3y+3$0,则尤=2工+y的最小值是・
[y+3$0
14.若Q十2)'
=:
r'
+a疋十加^+^^+“力十“则ad-b+c+d+e的值为・
15.已知球在底面半径为1、高为2©
的圆锥内,则该圆锥内半径报大的球的体积为.
16.已知函数y(x)=sinx~\~2x—•若/(l—3a)+2a+3)冬0・则实数a的取
o»
Z*
值范禺是・
三、解答题:
本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设数列{“}满足心=1,d”+i=2a“一(2打一3).
(I)计算如心,猜想仏”}的通项公式并利用数学归纳法加以证明;
(U)记九=2”•5,求数列仏}的前w项和S,
18.
频率
(本小题满分12分)
某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了“名学生进行调査•将调査得到的学生日均课余读书时间分成[0,10)・[10.20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,绘制成如图所示的频率分布克方图•将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本屮口均课余读书时间低于10分钟的有10人・
(I)求”和”的值;
(II)根据已知条件和下而表中两个数据完成下而的2X2列联表,并判断是否有95%以上
的把握认为“读书之星”与性别有关?
非读书之星
读书之星
总计
男
女
10
55
(III)将木次训查所得到冇关事件发生的频率视为梵发生的概率J:
见从该地区大址学生中•随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会,记被抽取的J卖书之星"
人数为随机变最X•求X的数学期望E(X>
.
附sK'
=(a+"
)(c+d)(a+CG+d)'
其中
P(KS。
)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19・(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC-A山G中,点E、F在侧棱上,且"
E=2EE,GF=2FC,点D、G在側棱AB、AC上,且BD=2DA,CG=2GA.
(I)证明:
点G在平面EFD内;
(11)若ZBAC=9O°
AB=AC=1,AA1=2,求二面角A-AB,一C.的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:
若+话=1(«
/;
0)的左、右焦点分别为F,、R,椭圆的离心率为曹,若M是椭圆上的一个点,且|MFj+|MFz|=4旋.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)已知点P(2,y。
)是椭圆(:
上位于第一象限内一点,直线I平行于OP(O为原点)交椭圆C于A、B两点,点D是线段AB上(异于端点)的一点,延丘PD至点Q,使得3PD=反,求四边形PAQB面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数/(刃=4(工一2记+(工一1)2,(°
工0,“€1{).
(I)当a=T时,求函数/Cr)的单调区间;
(II)若心>
0,证明:
函数3,=/匕)有两个不同的零点.
请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分〉选修4-4:
坐标系与参数方程:
匕=—1+2cosa
在玄角坐标系.rQy中,曲线G的参数方程为H厂’C.(a为参数),曲线G与坐标ly=—J3+2sma
轴交于(异于坐标原点O)两点m,n.
(I)求线段MN的长度;
(II)以坐标原点O为极点m轴的正半轴为极轴建立极坐标系,己知点M,N关于直线/对称,求宜线/的极坐标方程.
23.(本小题满分10分〉选修4一5:
不等式选讲:
已知函数/(x)=12工一11+12x+a|,g(x)=乂+3・
(I)当a=-2时,求不等式fCxXgM的解集;
(II)设“〉一1,且当疋|—y*y)时,/(工XpQ),求々的取值范国・
2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试
理科数学参考答案
一、选择題
2.D【解析】岂=厝船葺=宁=卡+今i,故选D.
3.A【解析】因为a丄c,所以a•c=a•伽一/方)=0,可得卄专=0,即2卄“=0.故选2
4・(:
【解析】曲对称性可知:
JU)的坐标为(4川)戎(4.一4)・代入抛物线y=2p.r,解得p=2.所以犯物线方程
为:
y=4^<
它的假点坐标为(1<
0)>
故选C
6.D【解析】・・•瞬=警罟亠沦“諾•鶴磐=专•护
1•故选D.
7.A【解析】由已知中的三视图可得:
此校锥ABCD的克现图如下图所示:
△ABD和△CED都是直角边为2和2©
的点角三角形.A/WC和△ADC均是边长为2的等腰直角三角形•所以其表面积为S=2X*X2X2血+2X*
X2?
=4+4挖•故选A.
&
B【解析】因为aW(0,兀),cos(a+青)=g•■得血6+卡)=*,所以
sina=sin((卡+a)--)=sin(卡+a)cos~~—cos(卡+a)sin卡=令X
73__3
25
xl
由已知可得IPF|=—JBF|=a+c<
9.C【解析】由题总可得・*=1>
<
「35,・・・一hi2=-7・6XO・8/“
即6.08^=0.6931■則“心0・114.•••这种射线的吸收系数为0.114.故选C
10.C【解析】设立线/的方程为y=kr+b.切点为匕曲题设可知•ZPAO=ZR>
1=45°
所以6=^2•因为克
线/与圆才+"
=1相切•所以-^===1,得Xr=±
l・
故直线/的方程为,=士#+施,故选C.
11.A【解析】如下图:
设双曲线C的半实轴.半皮轴、半焦距分别为
•冷=2(卄八即加+2级—,化简得e2-2e-3=0.得亡=3■故选代
12.B【解析】由/(小
山;
=2+/-1=“一1〉($+1),所以函数/Q)在(l・+oo〉上单调递璟因为1<
2^<
2・】0也5>
1阴?
4=2・所以2°
・彳<
2<
log25,所以/(203)<
/
(2)<
/(lo©
5〉•即a<
b<
c.故选R
二、填空题
2.r+3y—3=0
13.-15【解析】根協约束条件扌2,r-3y+3>
0画出可行域(图中阴够部分)•作y+3^0
直线人2工+y=0,平移直线人将直线平移到点A处二最小•点人的坐标为(—6.—3).将点八的坐标代到目标函数z=可得茫=—15.即细门=
—15・
14.242【解析】令工=1代入可得p+&
+c+d+«
=(l+22—15=3'
—l=242・
15•晋兀【解析】易知半径晟大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴裁而如图所示,点M为EC边上的中点•由題设BC=2.AM=2^29.求得AB=AC=39设内切圆的圆心为O.
故SA.A/r=yX2X2/2=2/2,设内切同半径为厂则:
Sg・=S△“+Ssc+Sy,・=*X7U3X厂十*XBCX厂+*XACXr=yX(3+34-2)Xr=2>
/2•解得汀=给其体积:
V=y^=y16・[1,4]【解析】由/(—Q=sin(—H〉+2〈一Q—(±
)=—sin
函4t/C.r)为奇函数./(,r)=cos.r+2+4>
0在(一8.0)U(0,十8)上恒成立•所以心〉在(O.+oo)上为增函数.
曲f(1—3u)+f(d:
—2°
+3)冬0得/(a'
—2a+3f(1—3d)■
即/(<
r-2a+3X/(3«
-l),因为a>
y时.3么一lX)./—力+3>
0・所以寻价于济一2“+3冬3“一1•解得1«
三、解答题
17•【解析】
(I〉山题意可得©
=2山十1=2+1=3心=2血一1=6—1=5・
由数列{久}的前三项可猜想数列bd是以1为首项・2为公差的等差数列.
即心=2〃一1,(2分)
证明如下•
当”=1时tai=2X1—1=1成立$
假设n=k时•色=2«
—1成立.
那么n=k+1吋山卄1=2彳一(26—3)=2(2力一1)一(2«
—3〉=2/:
十1=2伙+1)—1也成立.
则对任窓的/i€N-,都有an=2n-l成立;
(6分〉
(II)因为几=(2”一1)2“・
AS.=1X2+3X22+5X23HF(2w~l)X2%0
2S4f=lX22+3X2s+5X24+-+(2M-l)X2-+S②
①一②得:
一S用=2+2X22+2X2'
+2X2'
+…十2X2”一(2〃一1)X2+
=2+$#三2匸2一(2〃一1〉X2小=一6—(2〃一3)X2卄I
•••5,=(2兀一3〉>
2卄】+6.
(12分〉
18.【瀚】
(I)(0.005+p+0・018+0.020+0.022+0.025)X10=1,解得:
p=0.01,
所洪打=君=100.
(3分〉
(II)因为n=100>
所以“读书之星”有100X0.25=25.
从而2X2列联表如下图所示,
30
15
45
75
25
100
将2X2列联表中的数据代入公式计毎得
因为3.030<
3.841•所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
(8分〉
(皿)務硕率视为概率■即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星'
的概率为*•
由题总可知X〜B(20,*),所以E(X)=20Xy=5<
人).
19.【解析”I)证明:
连接DG.FG.因为点E、F在側棱BBtg上•且B,E=2EB,ClF=2FC.
又BB//CG且BBi=CG・所以EB//FC且EB=FC・
所以四边形BCFE为平行四边形■所以EF//BC.
又因为点D.G在侧枝ABSC上.且BD=2DA.CG=2GA,所叹GD//BG且GD=^BC.
所以EF//GD且GD=yEF,故四边形DEFG为梯形•
即D、E、F、G四点共面,所以点G在平面EFD内.(6分)
(U)由题设知人Bx4G.A】A两两垂立•以AiCi为工轴为,轴.AiBi为z轴•建立空间jt角坐标系Ai—巧N.
由AB=AC=l.AAl=2■得Ai(0.0.0)■A(0.2.0),B(0,0.1)・G
100入
设乂面ABiG的法向童为因为AG=<
b-2,0>
.B[G
=<
1,0,-1).
n•AQ=x—2^=0
>
•取y=l・则*=z=2・所以n=<
2tL2).n•BiCt=x—z=0
所以
又m=(1闪,0〉是平面AA;
B)的一个法向量,所以cox<
mt«
=
9
(12分)
印二面角A,-ABi-Ci的余孩值为手
20.【解析】
(I)由椭圆的定义及|MF.|+|MF21=4吃•得2°
=4©
•即a=2^2・
设椭圆半焦距为“为£
=哼.所以尸哼么=届a2Z
lr=(r-r=2.
所以确圆C的标准方程为专+备=】•(5分)
(II)由(I)得P(2,l〉.所以阳=*■设A5』)旧(・护2化)•立线I的方程,=*才+”厲0)・
1
联立〈°
消去y整理可得2疋+4々+4卢一8=0.
=+工=]
I8十21
由△=16/—4•2•(4”一8)>
0.又则0<
^<
4»
且x\+文2=—2/“】工2=2产一4.(7分)
所以弦长|/\B|=Q1+*x/(*+才2)'
—in卫=用/l—尸♦
P到JL线AB的距离为d•则d=上I,=岁>
(9分)
吁L
设Q到克线的距离为d\d73PD=DQ^3|PD|=|1JQ|,所以/=3d.
所以Saqib=*/丨ABI=y•3dIAB\=3S^pab•
所以®
g=SHM+Sg,“=4SaM=2dMB|=2•马』-75/4=7=4/-<
z2-2)2+4<
8.
当且仅当l2=2时取等号•所以四边形PAQH面积的说大值为&
(12分)
21•【解析】
(I〉由/(0=—(工一2疋+"
—1》2.
f<
j-)=—<
j—1I2(j—1)=(j—1)(—er4-2>
.(1分)
d)/7(x)=0得x=\或x=ln2,
当2-e(-oajn2)./(j-)<
o.函数/a>
单调递减:
^e<
ln2-l)t/(^)>
0>
函敎/(工)单调递増;
才€(l・+oo〉J’dVO•圉數/(G)单调递减.(6分)
(II)«
/'
(丁〉=“(才—1)^+2(才—1)=(.r—1)(々b+2)♦
当a>
0时・(卅+2>
0,由f(工》V0得x<
b所以“才)在(一oo.l)上为减函歌,由/(丁〉>
0得工>
1,所以在(l.+oo〉上为增函数•
而/(l)=-ae<
0,/<
2)=l>
0,
所以/"
)在(l.+oo〉上有唯一零点9且该窣点在(1.2)上・
取b<
0,且ZCln士,
则/(小=°
"
一2)』+"
—1)2>
寺"
一2)+"
—1》2=心一今)>
0・
)在(一00,1〉上有唯一家点°
且该念点在(S1)上.
所以a>
0时./(工)恰好有网个家点.
(12分〉
{
才=—l+2cosa(jt+1=2cosa
厂(a为参数)彳寻厂消去a得曲线Ci为圆
jr=-/3+2sina\y+>
/3=2sina
Q+l尸+(y+箱)2=4•圆心为Oi(-1,-^3).半径为2.
由ZMON=y.可知・WV为圆C】的立径•所以|MN|=4.
(5分)
(II〉由点M.N关于直线/对称且MN为圆G的直径可知.直线/过点O(-1,-/3
又Amv
所以直.线/的直.角坐标方程为j+s/3=y<
x+l).即工一屁一2=0,
将r=pcos0.y=“in&
•
代入得克线/的极坐标方程为pcosL再网n0_2=0・
23.【解析】
(I)当。
=一2时•不等式心VQ化为|2・r-l|+|2.r-2|-r-3<
0・f—1
—ar,xO^-9
(1()分)
设函数y=|2j—11+1加一21-.r-3,则y=<
3才—6“>
1・
则当j<
y时•一5Y0得0V.rV*;
当*W1W1时,—工一2<
0得斗;
当工>
1时.3工一6V0得lVrV2;
综上可得OOV2.
所以原不筝式的解集是U|0<
2}・
y.y)时・f(x)=l+a.不等式f(*g(Q化为l+aWr+3.
(ID当*
所以/$“一2,y•-y)都成立.
对疋
(10分)
故一号2°
—2.即°
=寺・故a的取值范田是(一】,寺]
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