1999考研数三真题及解析Word文档格式.docx

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（A）EAEB.

（C）A与B都相似于一个对角矩阵.

（B）A与B有相同的特征值和特征向量

（D）对任意常数t，tEA与tE

B相似.

（5）

设随机变量Xi:

1（i1,2），且满足P

4

X1X201，则PX1

X2等于

（A）0.（B）

（C）12

（D）1.

三、（本题满分6分）

曲线y的切线与

x轴和y轴围成一个图形，

记切点的横坐标为a，

试求切线方程

和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何

四、（本题满分7分）

计算二重积分ydxdy，其中D是由直线x2,y0,y2以及曲线x2yy2

D

所围成的平面区域。

五、（本题满分6分）

设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；

若

生产函数为Q2x1x2，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为p1

和p2，试问：

当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小

六、（本题满分6分）

设有微分方程y2yx，其中

2,x1x

0,x1

试求:

在,

内的连续函数

y

yx，使之在,1和1,

内都满足所给方

程，

且满足条件y0

0.

七、

（本题满分6分）

x

12

设函数fx连续，

且tf2xt

dt

arctanx2.已知f11，求

fxdx的值

八、

（本题满分7分）

设函数fx在区间

0,1上连续，

在

0,1内可导，且f0f1

0,f1.

试证：

（1）存在1,1

，使f

；

（2）对任意实数

，必存在

0,

，使得ff

1.

九、

（本题满分9分）

a

1c

设矩阵A5

b3，且A

1.又设A的伴随矩阵A*有特征值0，属于

1c0a

的特征向量为1,1,1T，求a,b,c及0的值.

十、（本题满分7分）

设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵BEATA，试证：

当0时，

矩阵B为正定矩阵.

十一、（本题满分9分）

x,y

0x

2,0y1上服从均匀分布.记

假设二维随机变量

X,Y在矩形

G

0,X

Y，

X2Y

U

V

1,X

Y

1,

（1）求U和V的联合分布；

（2）求U和V的相关系数r.

十二、（本题满分7分）

设X1,X2,K,X9是来自正态总体X的简单随机样本，Y1X1X2KX6，

6

121922Y1Y2

Y2X7X8X9，S2XiY22，Z12，证明统计量Z服从自

237892i7i2S

由度为2的t分布.

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题

（1）【答案】41

详解】由题设可知f（x）（sinx）xcosx2sinx.由分部积分法，得x2

xf（x）dx

xdf（x）xf（x）

f（x）dx

22

xcosxsinx

sinx

（2）【答案】4

详解】考虑幂级数

nx

，由lim

1可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间

为（

1,1），则x

（1,1）.记S（x）

nxn1，两边从0到x积分，得

所以

0S（x）dx

S（x）

（1xx

S（12）

n1

0（

）dx

xn1nxdx0

1xx,x（1,1）

（1

x）2,x

1,1）

n（12）

（112）2

101101

A2020020

202

040

101

20202A

（3）【答案】O

01

【详解】A

0，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要

乘以该数，有

故有An2An1An2（A22A）O

或由A22A，式子左右两端同右乘An2，得A2An22AAn2，即An2An1，

得An2An1O

22322

或由A22A，式子左右两端同右乘A，得A2AA3（2A）A2A22（2A）22A，式子左右两端再同乘A，得A3AA4A2（2A）2A3222A23A，⋯，依次类推，得An12n2A,An2n1A,

所以An2An12n1A22n2A2n1A2n1AO

（4）【答案】16

【概念和性质】

（1）独立正态随机变量的性质：

服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；

（2）期望的性质：

E（aXbY）aEXbEY，Ecc（其中a,b,c为常数）；

方差的性质:

D（cX）c2D（X）；

若X和Y独立，则D（XY）DXDY

Zu

正态分布标准化：

若Z~N（u,2），则~N（0,1）

详解】

由题知：

X1,X2,LXn:

N（a,0.22），

Xn

1nXi，且X1,X2,L

ni1

Xn相互独立，

故Xn

1n

Xi~N（,2），其中

EXn

DXn

E1nXi

EXi

i1

na

则只需将

PXn

D1Xi

n12D

Xi

n12DXi

ni1

0.22n

0.22

Xi~N（a,0.2），标准化得

UXna

0.2/n

~N（0,1）

0.10.95中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：

0.10.95P

2n0.95

Xa

因Un~N（0,1），查标准正态分布表知PU1.960.95

所以n

1.96，解得n

15.3664.因n为整数，所以n最小为16.

EXEY；

（2）若X和Y独立，则有EXYEXEY

详解】由行列式的定义知，行列式是由

（5）【答案】EY0【概念和性质】

（1）EXY

n2个元素Xij的乘积组成的n!

项和式，每一项都

是n个元素的乘积X1j1X2j2LXnjn，这n个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部n!

项中每项都带有正号或负号.

由于随机变量Xiji,j1,2,L,n;

n2独立，所以有

E（X1j1X2j2LXnj

所以前面无论取正号或者负号，

.即有

EY

而Xiji,j

EX11

EX12

L

EX1n

EX21

EX22

EX2n

EXn1

EXn2

EXnn

L,n;

n2

同分布，

且EX

ij

对和式的期望等于各项期望之和

0（行列式的性质：

若行列式

0）.

所以EY

）EX1j1EX2j2LEXnjn

两行（列）成比例，则行列式为

二、选择题

（1）【答案】（A）

【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性

f（x）的原函数F（x）可以表示为F（x）0f（t）dtC,于是

F（x）

0f（t）dt

utx

C0f（u）d

C.

xx

F（x）f（u）duCf（t）dtCF（x）

00

即F（x）为偶函数.故（A）为正确选项.

（B）、（C）、（D）可分别举反例如下：

213

f（x）x2是偶函数，但其原函数F（x）x31不是奇函数，可排除（B）；

3

211

f（x）cos2x是周期函数，但其原函数F（x）xsin2x不是周期函数，可排除（C）；

kmm

k11

k22Lkm1m1，

24

f（x）

x在区间（,

）内是单调增函数，但其原函数F（x）1x

2在区间（

）

内非单调增函数，可排除（D）.

（2）【答案】

（C）

【详解】因为f（u,v）dudv为一确定的数，不妨设f（u,v）dudva，则f（x,y）

xya，

1x2

所以a

f（x,y）dxdy

（xya）dxdy0dx0（xya）dy

15

1x2

1a，

0（ax）dx

02

123

解之得a

，所以f（x,y）

1xy，故应选（C）.

（3）【答案】

（B）

【详解】

方法1：

可由向量组1,2

L,m线性表示，即存在常数k1,k2,L,km

使得

k11k22L

kmm（）

不能由

1,2,L,m1线性表出，从而知km0（若km0，则k11

k22L

km1m1，

这和不能由

2,L,

m1线性表出矛盾.）

上式两端同除

mkm（

km

k1

1k22Lkm1m1）

m能由（II）线性表示，排除（A）（D）.

1,2,L,m1使得

m不能由1,2,L,m1线性表示，若能，即存在常数

m1122L代入（*）得

km（11

m1

（k11km）1（k22km）2L（km1

m1km）

m1线性表出矛盾，排除（C）.故应选（B）.

方法2：

若取

10,2

30,

1，则

这和不能由1,2,L

假设存在常数k1,k2，满足

3，即可由1,2,3线性表出.

k11k22因为r（1,2）2

r（1,2,）3，

即方程组k11k22的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不

存在常数k1,k2，满足k11k22，不能由1,2线性表出，是满足题设条件的

一个特例，

此时，3不能由（I）1,2线性表示，若存在常数l1,l2，满足3l11l22因为r（1,2）2r（1,2,3）3，即方程组3l11l22的系数矩阵的秩不等于增

广矩阵的秩，故方程组无解，不存在常数l1,l2，满足3l11l22，故3不能由

（I）1,2线性表示，

但因为312，即3可由（II）1,2,线性表示，故应选（B）.

（4）【答案】（D）

A相似于B，根据矩阵相似的定义，则存在可逆阵P，使得P1APB，则

P1（tEA）PP1tEPP1APtEB

根据矩阵相似的定义，则tEA相似于tEB，应选（D）.

排除法

（A）不成立.若EAEB，则AB，而已知只是相似.

（B）不成立.A与B相似，根据矩阵相似的定义，即存在可逆阵，使得P1APB，从而有

EBEP1AP（把P1APB代入）P1PP1AP（P1PE）

111

P1（E）PP1APP1（EA）P

P1EAP（矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积）

EA（矩阵逆的行列式等于行列式的逆，故P1P1）

从而，A,B有相同特征多项式，故有相同的特征值.

若A，在P1APB的两边同时左乘P，右乘P1，得PP1APP1PBP1A，故

PBP1A，在上式两边左乘P1，得

B（P1）（P1），

根据特征值和特征向量的定义，B的属于特征值的特征向量是P1，而A的属于特征值的特征向量，它们并不相同.

（C）不成立.A,B相似时，也可能它们本身都不相似于对角阵

例如A

1，

B00，因存在可逆阵P

10

1001，使得P1AP0

0，

则根据矩阵相似的定义，知

B，但A,B都不相似于对角阵

若A能相似于对角阵，

A可相似对角化.先求特征值，特征多项式为

EA

令EA0得A的两个特征值0.若A相似于对角阵，则存在可逆矩阵

P，

P1AP

上式两端同时左乘P，右乘P1，得PP1APP1AP

0P1

矛盾，故A不可相似对角化

若B能相似于对角阵，即B可相似对角化.先求特征值，特征多项式为

EB

2，

令EB0得B的两个特征值0.若B相似于对角阵，则存在可逆矩阵P，使得

P1BP

1110100上式两端同时左乘P，右乘P1，得PP1BPP1BPP1，与000

0B矛盾，故B不可相似对角化.

（5）【答案】（A）

【详解】给定X1和X2的概率分布，求X1和X2的联合分布，所给条件为PX1X201，这就需要从这个条件入手.由于事件X1X20包括事件：

X10,X21,X10,X20,X10,X21,X1

1,X2

0,X11,X20

所以从正面研究其概率是研究不清的，在这种情况下，往往需要通过其对立事件来研究.

根据PA1PA，有PX1X2

PX1X20

110

所以有

PX1X20

PX1

P

X

1,X21

而根据概率的非负性有：

PX11,X2

1PX11,X2

X1

PX11,X210

而PX1X2

0,X20

PX11,X21

0PX1

0,X2

X10,X2

又根据边缘概率的定义：

pigPXxi

PXxi,Yyjj

pij,ij

1,2,L

pgjPYyj

PXxi,Yyji

pij,j

i

（通俗点说就是在求关于

X的边缘分布时，就把对应

x的所有

y都加起来，同理求关于Y的

边缘分布时，

就把对应y的所有x都加起来）

同理可得

而由已知

X2

1PX1

1P

1,X20

0,X21

PX10,X20

11

42

所以得

0故

0P

00P

X10,X20

详解】曲线

y1在曲线上点

（a,

）处的切线的斜率为y|

xa

|1

2x3|xa2a3，

ya2a3（xa），

分别令x0,y0得到与y轴，x轴的交点分别为R（0,3）与Q（3a,0）.于是切线2a

与x轴和

y轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得

S123a23a94a.

当切点按

x轴正项趋于无穷大时，这时，a

，所以limS

y轴正项趋于无穷大时，这时，a

0，所以limS0

四【详解】

解法1：

区域

D和D1如图所示，有

ydxdy

D1

显然

I1

DD1

dx0ydy

在极坐标系下，有

（r,）|0r

2sin

2

因此

ydxdyydxdyI1I2

I2ydxdy

84sin

32

2d

rsin

rdr

I2

解法2：

如图所示，D

（x,y）|

0ydy

34

21

2cos2

1cos4

2yy2

令y1sint，有dycostdt

2yy2,0

dx20ydy

（y1）2dy

，则

0y2yy2dy

0y1（y1）2dy

（1sint）cos2tdt

2cos2tdt2cos2tsintdt2

21cos2tdt00

五【详解】设两种要素的总投入费用为P，则由题意得P

p1x1p2x2，题目问产出量为

12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即是求函数

Pp1x1p2x2在约束条

件Q2x1x212下的条件最值.按格朗日数乘法，作函数

F（x1,x2,）p1x1p2x2

（2x1x212），

为求驻点求偏导并令其为零，即

p12x1

x1x20

F

p22

x1x210

2x1x2120

由前两式可得p1x2，解出x2代入第三个式子，得x16（p2）x26（p1），

p2x1p1p2

因为驻点唯一，且实际问题在x10，x20的范围内存在最小值，

故x1