傅里叶级数课程及习题讲解.docx
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傅里叶级数课程及习题讲解
第15章傅里叶级数
§傅里叶级数
一基本内容
一、傅里叶级数
f(x)anx
在幂级数讨论中n1,可视为f(X)经函数系
1,x,x2,m,xn,m
线性表出而得.不妨称{1,x,x2,,xn,}为基,则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系作为基,就得到傅里叶级数.
1三角函数系
函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,卅,cosnx,sinnx,卅称为三角函数系.其有下面两个重要性质.
(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数;
(2)正交性任意两个不同函数的积在【,】上的积分等于零,任意一个函数的平方在上的积分不等于零.
对于一个在【,】可积的函数系Un(x):
x[a,b],n佃川,定义两个
b
函数的内积为lUn(x),Um(x),.aUn(x)Um(X)dX,
f.l0mn
Un(x),Um(x)』…山
如果0mn,则称函数系Un(x):
x[a,b],nh2,为正交
系.
由于1,sinnx
1sinnxdx
1cosnxdx
sinmx,
sinnx.
sinmx
sinnxdx
m
0m
cosmx,
cosnx;
cosmx
cosnxdx
m
0m
sinmx,
cosnx
sinmx
cosnxdx
0.
:
1,1
12dx
2
0;
n
n.
n
n•
所以三角函数系在,上具有正交性,故称为正交系.
利用三角函数系构成的级数
3q
2
ancosnxbnsinnx
n1
2以2为周期的傅里叶级数
定义1设函数f(x)在,上可积,
1.1
k0,12|||;
ak—:
.f(x),coskxf(x)coskxdx
f(x)sinkxdxk1,2川,
ancosnxbnsinnx
1
称为函数f(x)的傅里叶系数,而三角级数
2
称为f(x)的傅里叶级数,记作
这里之所以不用等号,是因为函数f(x)按定义1所得系数而获得的傅
里叶级数并不知其是否收敛于f(x).
二、傅里叶级数收敛定理
定理1若以2为周期的函数f(x)在[,]上按段光滑,则
ao亠-f(x0)f(x0)
a。
f(x)〜2
ancosnxbnsinnx
2n1其中务山为f(x)的傅里叶系数.
定义2如果f(x)C[a,b],则称f(x)在[a,b]上光滑.若
x[a,b),f(x0),f(x0)存在;
0)存在,
f(x)在[a,b]上按段光滑.
x(a,b],f(x0),f(x
且至多存在有限个点的左、右极限不相等,则称几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成,它至多有有限个第一类间断点与角点.
推论如果f(x)是以2为周期
a。
段光滑,则xR,
f(x)—ancosnxbnsinnx
有2n1
定义3设f(x)在(,]上有定义,函数
?
(x)f(x)2k)
称f(x)为的周期延拓.
x(
x(2k
习题解答
1在指定区间内把下列函数展幵为傅里叶级数
x,(ii)0x2;
(,)作周期延拓的图象如下.
其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数.由系数公式得
a0
f(x)dx-
xdx0
1时,
1
an
xcosnxdx
xd(sinnx)
—xsinnx|
sinnxdx0
bn
xsinnxdx
xd(cosnx)
xcosnx|
cosnxdx
1)
所以
(1)n
1sinnx
f(x)
)为所求.
(
x
n
(ii)、
n
1
其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数.由系数公式得
1
21
2
ao
0f(x)dx
0
xdx2
当
n
1时,
1
2
1
2
an
xcosnxdx
0
n
0xd(sinnx)
1
21xsinnx|
0n
2
sinnxdx0
n
0
1
2
1
2
bn
xsinnxdx
xd(cosnx)
0
n
0
n
xcosnx
所以
f(x)
⑵
f(x)=
解:
(i)、f(>
2
x,
2
Io
2
cosnxdx
n0
2sinnx
n1
(0,2)为所求.
ao
(i)
-n n(ii)0 )作周期延拓的图象如下. =x2 其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数.由系数公式得 x( f(x)dx- x2 dx an n1时, 丄x2cosnxdx x2d(sinnx) bn 12xn 2 n sinnx| n 2xsinnxdx xd(cosnx) xcosnx| x2sinnxdx cosnxdx( 1) nA 2 n x2d(cosnx) 1 ——x n 2 2n 2cosnx| xd(sinnx) xcosnxdx xsinnx| sinnxdx 所以 f(x) nsinnx 1)n- n )为所求. 解: (ii)、f(x)=x2 1 n (0,2)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数. 由系数公式得 1时, xd(cosnx) 当n1时, ax2cosnxdx 0bxcosnxdx [1 (1)4 n 101 0—axsinnxdxbxsinnxdx 0 (1)n 所以f(x) (ba) (a 必.1冇哄2"1)x b)(1厂沁 n1n,x(,)为所求. 设f是以 an f(x)cosnxdx 为周期的可积函数,证明对任何实数C,有 1f(x)cosnxdx,n ogll bn f(x)sinnxdx 1 -f(x)sinnxdx,n 1,2,||| ,cosnx都是以2 f(x),sinnx 证: tx2有 11 —cf(x)cosnxdx- 因为 为周期的可积函数,所以令 f(t2)cosn(t2 )d(t2) c+2 f(t)cosntdt- c+2 f(x)cosnxdx 从而 an f(x)cosnxdx 1 an- f(x)cosnxdx 1 -cf(x)cosnxdx 1 f(x)cosnxdx— c+2 f(x)cosnxdx f(x)cosnxdx 同理可得 bn 1 f(x)sinnxdx一 f(x)sinnxdx f(x) 把函数 展幵成傅里叶级数,并由它推出⑴ III ⑶ 解: 3 仝 6 丄 11 丄 13 1 17 1III 111317 ,)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数.由系数公式得 01 dxdx0 404 n1时, —cosnxdx 4 cosnxdx0 04 —sinnxdx 4 sinnxdx 04 [1 1)n1]2n 2k1 2k f(x) 故 1sin(2nn12n1 1)x, 0)U(0,)为所求. (1) ,则4 III; 12391521 III 于是 12 1丄 711 13 1III; 17 所以 1丄 711 13 11 13 17 II 内的傅里 4设函数f(x)满足条件f(x)f(x),问此函数在, 叶级数具有什么特性. 解: 因为f(x)满足条件f(x)f(x), 所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得 1101 a0f(x)dxf(x)dxf(x)dx 11 0f(t)dt0f(x)dx 11 -0f(t2)dt丄0f(x)dx 00 丄f(t)dt丄f(x)dx0 00 当n1时, 101 f(x)cosnxdxf(x)cosnxdx (1)n1 of(x)cosnxdx n2k 故当f(x)f(x)时,函数f(x)在,内的傅里叶级数的特性是a2k0,b2k0. 5设函数f(x)满足条件: f(x)f(x),问此函数在,内的傅里 叶级数具有什么特性. 解: 因为f(x)满足条件f(x)f(x), 所以f(x2)f(x)f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系 数公式得 1 上1 0 上1上 a0 f(x)dx- f(x)dxf(x)dx 1 f(t)dt 0 1 f(x)dx 0 1 1 -f(t2 )dt 0f(x)dx 1 -0f(t)dt 1 2 0f(x)dx-0f(x)dx 当n 1时, 1 0 1 an f(x)cosnxdx f(x)cosnxdx 1 f(t)cos(nx 1 n)dx—of(x)cosnxdx f(x)cosnxdx 0 f(x)cosnxdx n2k 0 n2k1 10 1 bn n f(x)sinnxdx f(x)sinnxdx 2 0 f(x)sinnxdx n2k 0 n2k1 内的傅里叶级数的特性是 故当f(x)f(x)时,函数f(x)在a2k10,b2k10. 6试证函数系cosnx,n0,12|||和sinnx,n|都是【0,]上的正交函 数系,但他们合起来的却不是【0,]上的正交函数系. 证: 就函数系{1,cosx,cos2x,I”,cosnx,川}, cosmx,cosnx 0cosmxcosnxdx 0cos(m n)xdx cos(mn)xdx0 所以{1,cosx,cos2xj||,cosnx,川}在[0,就函数系{sinx,sin2x,|||,sinnx,}, ]上是正交系. 因为n, sinnx,sinnx sin2nxdx 0 (1 cos2nx)dx 又n,mn时, 7求下列函数的傅里叶级数展幵式 其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数.由系数公式得 a0 1*2 0f(x)dx xdx0 2 an x 一cosnxdx 1时, x -d(sinnx) 2n △sinnx|2 2n 2 sinnxdx 0 x x d(cosnx) 2n -cosnx|2 2n cosnxdx1n 所以 f(x) sinnx (0,2 )为所求. f(x)1cosx, 解: f(x).1cosx, 作周期延拓的图象如下. x 32O23x 其按段光滑,故可展幵为傅里叶级数. 因为 所以由系数公式得 1 a。 f(x)dx 0Xsindx 2 an .2 sin-cosnxdx 2 sin—cosnxdx 2 2.x sincosnxdx02 4/2 (4n21) sin-sinnxdx 2 —sin-sinnxdx 02 f(x) 所以 2.24.2 1 2cosnx4n21 f(0) f(x) 故 时, 22 4.2 f(0) 2 f( ⑶ 解: 1 n 2 f(x)axbx 1 14n21 c,(i)0 ao cosnx ]为所求. (ii) an bn (i)由系数公式得 f(x)d /2 (ax n1时, 2 /2 (ax (ax2n 4a 2n (ax2 (ax2 故f(x) bx bx c)dx沁 3 c)cosnxdx bxc)sinnx|0 bx bx 2ax bx (ii)由系数公式得 1ao 2b 2c 2 (2ax b)sinnxdx c)sinnxdx 2 c)cosnx|o 2 0(2ax b)cosnxdx 42a 3 (ax2 4a 2cosnx 1n 2 bxc)dx 4a2bsinnx,x(0,2n 2 a 2c an (axbxc)cosnxdx —(ax2bxn c)sinnx| (2axb)sinnxdx (1) 4a n ] (ax2 bx 1 2 n (ax bx (1)n 12b n f(x) 2ax bx n c)sinnxdx c)cosnx| bn 22a (2ax b)cosnxdx f(x) chx, (4) 解: 由系数公式得 a。 f(x)dx- an n1时, 1 chxcosnxdx —chxsinnx|n 1)n写cosnx n chxdx—sh shxsinnxdx (1)n-2bsinnx,x(n )为所求. shxd(cosnx) chxcosnxdx (1) n2sh 2~n 所以 an 1)n 2sh (n21) bn- chxsinnxdx chxd(cosnx) chxcosnx| shxcosnxdx shxd(sinnx) -T^shxsinnx|n chxsinnxdx 1shxsinnx| chxsinnxdx 所以bn 故f(x) chx—sh 1)nJcosnxn1 x(,)为所求. f(x)shx, (5) 解: 由系数公式得 ao f(x)dx shxdx0 n1时, 1 an shxsinnxdx ^shxcosnx shxcosnxdx0 1)n —shn 1)n 2shn 1) shxd(cosnx) chxcosnxdx chxd(sinnx) -^chxsinnx|n Ad n 所以 bn (1)n 1 (n2 2nshx 1) f(x) shx 1) 2nsh (n2 求函数f(x) 2 解: 由f(x) 2ax bxc f(x) 12 (3x 22) 1 cosnx n1n sinnx 1) 42a x(0,2) shxsinnxdx x(,)为所求. 22)的傅里叶级数展幵式并应用它推出 4a 2cosnxn 4a2bsinnx,x(0,2) 得 1 而f(0°)f(20)V, 故由收敛定理得 f(00)f(20) 2 叶系数,an,bn为f(x)的导函数f(x)的傅里叶系数.证明a°0,annb1,bn(n1,2,川). 证: 因为f(x)为,上光滑函数,所以f(x)为,上的连续函数,故可积. 由系数公式得 11 aof(x)dxf()f()0 1 f(x)sinnx| f(x)cosnxdxnan 故结论成立. 证: 设Uo(x)2,Un(x)ancosnxbnsinnx,n 则n0,Un(x)在r上连续,且 u0(x)0,un(x)nansinnxnbncosnx亦在R上连续 又xrUn(x)nanSinnxnbncosnx na.n0 2M ~2~ n. 而 n2收敛, 所以 un(x)nbncosnx 也sinnx在r上致收敛. s(x)色(ancosnx bnsinnx) 故设 2n1 ,则 s(x)( n1 nancosnxnbnsinnx)un(x) n1 s(x)(nancosnxnhsinnx) 且n/丿在R上连续. §15.2以21为周期的函数的展幵 一基本内容 一、以21为周期的函数的傅里叶级数 It x— 设f(x)是以2I为周期的函数,作替换,则 F(t) 于是 其中 It —是以2为周期的函数,且 f(x)在(l,l)上可积F(t)在(,)上可积. F(t)aoancosntbnsinnt 2n1 an-F(t)cosntdt,bn-F(t)sinntdt 令t~r得 F(t) f虫 f(x)sinntsin,cosntcos ,ll a0 nx,.nx ancosbnsin 从而 2 n1 ll. 1 l nx 其中 an- l l f(x)cosdx, l b1lbn nll f(x)sin nxdx l. 上式就是以2I为周期的函数下,亦有 f(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件 f(x0)f(x0) 2 a0nxnx ancosbnsin 2n1ll 其只含余弦项,故称为余弦级数. 同理,设f(x)是以2l为周期的奇函数,则 f(x)cosnx奇,f(x)sinnx偶 于是 f(x)cos^^dx0 f(x),x(0,l)- 要展幵为余弦级数必须作偶延拓. f(x)f(x)x(0,l)偶延拓■f(x)x(l,0) 函数f(x),x(0,1)要展幵为正弦级数必须作奇延拓.奇延拓 f(x)x(0,l) f(x)x(l,0) 二习题解答 1求下列周期函数的傅里叶级数展幵式 (1)f(x)cosx(周期); I|x——,—— 解: 函数f(x)cosx,22延拓后的函数如下图 y f(x)是偶函数,故 由于f(x)按段光滑,所以可展幵为傅里叶级数,又其展幵式为余弦级数. l—— 因2,所以由系数公式得 当n1时, cosxcos2nxdx 02cosxcos2nxdx [cos(2n1)xcos(2n 1)x]dx sin(2n1)x (2n1) (1)n2 (1)n12 (2n1)(2n1) (2TVsin(2n1)xl' 1)n14 (4n21) cosxsinnxdx 2 故f(x) cosx 1)n cos2nx 1 )为所求. f(x)x[x](周期 1) 解: x 函数f(x)x[x], 11 2^2 延拓后的函数如下图. 由于f(x)按段光滑,所以可展幵为傅里叶级数. 2,所以由系数公式得 1 21x[x] 2 1时, 1 21x[x] 2 1 oxcos2n ao —xsin2nn 1 22 1 2 1 x[x] dx cos2n xdx 1 x|o 1 ox[x] xdx2 dx 1 xdx1 0 [x]cos2nxdx 1 oxd(sin2nx) 1 sin2nxdxo o sin2nxdx 1 xsin2n o xdx 1 oxd(cos2nx) n 1门 xcos2nxn 1 |o 1 cos2n o xdx 故f(x) 1 [x]2 1 -sin2n 1n )为所求. f(x)sin4x (周期) 解: 4 函数f(x)sinx, 延拓后的函数如下图. 由于f(x)按段光滑,所以可展幵为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故 其展幵式为余弦级数. l 2,所以由系数公式得 1,n 由于f(x)按段光滑,所以可展幵为傅里叶级数,又f(x)是偶函数,故 其展幵式为余弦级数. ,所以由系数公式得 2 ao sgn(cosx)dxsgn(cosx)dx0 1时, an osgn(cosx)cosnxdx o2cosnxdx 2cosnxdx±sinn 2 bnsgn(cosx)sinnxdx0 1时, 2n an xcos dx cos 2nx (3 x)cos 2n xd sin sin dx 1 2(3n2 x)d sin 2n 3 x 12n 112nx1 4n sin sindx sin n3 n03n 3 1. 2n 1 、.2nx 3 13.2nx* sin- (3 x)sin sindx n 3 n 3 2n23 0 3 3 n n 1 1 .4n sin- 3 3 2n2 2nx cos 3 14n —sin- n3 32n 22cos 2n3 2n 3 2n22 cos2n 3 2n2 2cos 4n 32n3-^^cos— bn2 由于f(x)按段光滑,所以可展
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