第五章留数定理习题及其解答Word文件下载.docx
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因此在n£
中,有无限多个项的系数不为0。
注
(1).对本题的结论,一定要注意成立的条件为f(z)在全面解析,否则结论不成
1
f(z)=—
立。
例:
z在0<
zV-内解析(与全平面解析仅差一个点!
),且以°
°
为可去奇点,
但f(z)式常数;
又f⑵=Z冷在°
<
zVP内解析且以zF为一级极点,但它并不是一次多项式,也不可能与任何一次多项式等价(它以Z=°
为本性奇点)。
同样地,
整函数);
同时注意,全平面解析的函数在
(2).本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义,
z°
=°
邻域内Taylor展示的收敛半径R=+:
,从而此Taylor展示成立的区域z:
•恰是:
:
的去心领域,即同一展示对:
而言即是其去心领域内的Laurent展式。
5.3证明:
如果z0为解析函数f(z)的m阶零点,则z0必为f(z)的m-1阶零点。
(m>
1)
证因为f(z)在z0点解析,且z0为其m阶零点。
故f(z)在z0的邻域内Taylor展式为
f(Z)=Cm(Z—Ze)"
卡十川其中C^0.Z—Z。
VR.
由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有
f'
(z)=Cmm(z_z°
)mJL+Cm半(m+1)(z_z°
)m+川Z_z°
|cR.
;
*Cm=°
Cmm=0
右端即为f(z)在Z—NvR内的Taylor展开式,由解析函数零点定义知,f(z)以
4)sinzcosz
.2jJgk兀
令sinzcosz=0,得ei2z--i,即ee2(k=0,二1,二|()。
zkk二(k"
_1,_2川).孙予上口
•••4为sinz•cosz的零点,且
[sinzcosz]z二coszk-sinzk=2(-1)k=0(k=0,±
1,±
2|||)
兀,1
zkk二f(z)二
•4为sinz•cosz的一级极点。
且zkk」r-'
,故,:
为f(z)的非孤立奇点。
注当:
为孤立奇点时,一般直接从函数在:
的去心邻域内的Laurent展示入手,判断其类
型,但对3),因f(z)有一定的特性
5.5.求出下列函数的奇点,
zk=——z(k=0,_1,_2川)
31k-t
2为一级极点,闵为可去奇点;
6)0为可去奇点,旳为本
性奇点)。
5.6计算下列各函数在指定点的留数:
f(z)在扩充复平面内仅有孤立奇点,故留数和为0,于是可得
Res
2z
1—e
2)()z4,由留数定义,Res〔f(z),01等于(—e)在z=0处Taylor展式中z3项
的系数。
Z
2
e
-
1-
S
R
11
coszmsin,在z=°
^-处(m为自然数).
1)Z;
2)在Z
解
f(z)=cos—戸产』
1)z在扩充平面仅有两个奇点。
注意co—在-u「内Taylor展式中只有偶
次项。
_1
故住)=彎在0宀£
址内Laurent展式中无z」项,即Res〔f(z),°
】=°
。
且环域°
vz*+力也是的去心邻域。
故上述展式也是临处的Laurent展式。
因此Reslf(z)^卜°
f(z)=zmsin
2)z,m为自然数。
由留数定义知,Reslf⑵QL于snz在°
-z-:
内Lauernt展式中z°
m1)的系
数。
注意在该环域有
5.11计算下列积分
k=5,k=4,-5,-2,
\17
sinz
解1)因为积分路径z二1位于环域°
TZ兰汽内,且围绕z=0,简单、正向、闭,在该环域内解析,故可知所求积分为
其中a2为sinz在环域0<
z<
7T内Lauernt展式zk*项的系数。
因此k=5时,
k=4时,
A
—dz=2^4=0品zsinz
kdz=2:
ia3=2:
姑zsinz
(上述展式中无偶次幕项)
~1d
](3!
)25!
一
(无偶次幕项)
=2~ia_6
k一-5时,
k=「2时,
~k;
zsinz
dz=2-ia
(丄以o为一级极点).
sinx
2)同1)道理,但积分路径位于环域71引习成2沢内,且围绕z=0,简单、正向、闭,
sinz在此环域内解析。
dz二2-iC
kJ
其中Ck丄为sinz在环域
2内Laurent展式中zkJ项系数。
因而k=-2时,r-2
k=5时,
5.12计算下列积分
31
I—z_
[——zdz
屆1+z
kdz=2兀iCj3=2兀i(一2兀)=一4兀i
z'
sinz
z=
11223i
kdz=2二iG=2「:
i()4i
3zksinz3!
二3!
iz寸
kdz=2二iC"
03zsinz
(积分路径均为正向)
二门eZ在1:
z「二内解析。
z3
(展式中无偶次幕项)
f(z)
解因为
简单、正向、闭,故由:
留数定义有
二iResf(z),:
.1-2iResf(^)-2,0
-zz
f(z)dz=-2
这里C3为
=2二iResez4,
_1zz4
z
(zHe
路径z=2位于该环域内,围绕z=0,
—,0=2二G
的z3项系数,由幕级数乘法易求得:
口z…=2兀i(—丄)=—纟兀i
33
ezdz:
岂1+z
即羽|z
5.13计算积分
2n
|-7Iz
ndz
(积分方向为正方向)
C3
内Laurent展式(即丄丄13!
2!
1z在z:
1内taylor展式)
杲1+z
解:
(n为自然数)
当n=1时z「1J"
1-z的一级极点,故
=2二iRes(,一1)=2二i
1+z
z2n
当n=1时,积分路径内围绕了
f(z)=1-zn的n个一级极点
i(12k)二
z^—e
由留数定理有
(k=0,1,2,||(n-1)
因为
所以
5.14
n_1
I疑1+z
Res(
2nz
n,zk)-
1z
k=0
2n_n1
zk
暂+z"
g2
k=0n
计算定积分o1—2"
^
被积式为cos,的有理函数,积分,得
Cl)
n
zkzkzk
叱2‘
故令
-三(0,1).
(V
cos:
则
dz
z21
f(z)=
Zk=-1)
iz。
代入原
扫(1-2〉一一X=2)iz
则z=1内包围故,由留数定理有
r
(z-:
)(z-丄)z
a的一个奇点z0
■,且为一级极点。
I二丄Res
a
a
1,
(z「)(z——)
z「一
2■:
2■:
22
2_11_J2
5.15计算定积分
dx
4・01x4
IJ解:
2;
「x
R(z)二1
设
1x4。
则
R(z)为z的有理函数,且分母次数为4,
分子次数为0(m-n=4.2)。
且R(z)在实轴上无奇点,在上半平面的奇点为
.3
i4H
z2二e均为一级极点。
詁2二i(Res(宀,zjRes(宀,Z2))
21z41z4
2二1叨dx
(1)1d日;
(2)J(a>
0)
5.17计算实积分01'
cos-0asinx
JI
【答案
(1)2-;
(2)2,a2a】
二dx
4
5.18计算积分:
x-1
兀
【答案2】
cosmx
2——dx
5.19计算积分0xa的值
富_ma
】
xsinmx,dx
0(x2a2)2的值
【答案2a
5.20计算积分
m?
H_ma
【答案4a】
5.21若函数f(z)=u(x,y+iv(x,y)解析,且u—v=(x—y)(x+4xy+y),试求f(z).【答案f(z)=—iz3c】
5.22利用复变函数环路积分方法,证明级数
(-1)
J4nan
74
(提示:
考虑函数2iz4sin二Z沿着仅包围某一个奇点Z=n(n=0)的环路In的积分)
计算机仿真编程实践
5.23计算机仿真计算(利用Matlab计算机求解出留数,然后求积分)
zdz
10
z1
5.24计算机仿真计算
(1)
8
(2)25
ez-1
z3在0点
z-3
~32
(2)z-5z在0点处的留数。
(答案
(1)1;
5.25利用计算机仿真编程的方法计算积分(积分方向为正方向)
—z
z(n
"
門+zn为自然数).
5.26利用计算机仿真计算积分
-|z|^(zi)(z-1)(z-3),并验证典型实例结果。
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- 第五 章留数 定理 习题 及其 解答
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