数值计算方法实验报告Word文档格式.docx

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通过每次把f（x）的零点所在区间收缩一半的方法，使区间内的两个端点逐步逼近函数零点，最终求得零点近似值。

四、操作方法与实验步骤

1.二分法：

#include<

>

intmain（）

{

doublea=,b=;

doublex,s;

printf（"

An\t\tBn\t\tF（Xn）\n"

）;

while

（1）

{

x=（a+b）/2;

s=pow（x,3）+4*x*x-10;

if<

s&

&

s<

{

break;

}

elseif（s<

0）

a=x;

elseif（s>

b=x;

%f\t%f\t%f\n"

a,b,s）;

X的值为：

%f\n"

x）;

误差：

\t%f\n"

s）;

return0;

}

2.割线法：

#include"

"

floatc,a=,b=;

每次得到的X的近似值：

\n"

{

c=b-（b*b*b+4*b*b-10）*（b-a）/（b*b*b+4*b*b-（a*a*a+4*a*a））;

if（fabs（b-c）<

*break;

b=c;

b）;

c）;

五、实验结果与分析

二分法割线法

分析：

由程序知，使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。

相比之下，割线法程序代码量较少，精简明了。

六、讨论、心得

本次数值计算方法程序设计实验从习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。

效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。

将理论知识成功地转化成实践结果。

实验地点

北区多学科综合楼4506

指导教师

实验二线性方程组的直接解法

合理利用Gauss消元法、LU分解法、追赶法求解下列方程组：

1

2

3

1

2

3

4

（n=5,10,100,…）

高斯消元法：

将原方程组化为三角形方阵的方程组：

lik=aik/akk

aij=aij-lik*akj

（k=1,2,…,n-1i=k+1,k+2,…,nj=k+1,k+2,…,n+1）

由回代过程求得原方程组的解：

xn=ann+1/ann

xk=（akn+1-∑akjxj）/akk

完全主元素消元法流程图：

列主元素消元法：

LU分解法：

将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。

四、操作方法与实验步骤

1.完全主元素消元法：

floata[100][101];

floatx[10];

intN;

voidshuchu（）

for（inti=1;

i<

=N;

i++）

for（intj=1;

j<

=N+1;

j++）

{

cout<

<

a[i][j]<

"

;

}

cout<

endl;

voidshuru（）

cout<

请输入矩阵阶数:

cin>

N;

请输入矩阵各项:

cin>

a[i][j];

voidmain（）

intz[10];

intmaxi,maxj;

shuru（）;

z[i]=i;

for（intk=1;

k<

k++）

maxi=k;

maxj=k;

floatmaxv=abs（a[k][k]）;

for（i=k;

for（intj=k;

if（abs（a[i][j]）>

maxv）

{

maxv=abs（a[i][j]）;

maxi=i;

maxj=j;

}

if（maxi!

=k）

for（intj=1;

{

floatt=a[k][j];

a[k][j]=a[maxi][j];

a[maxi][j]=t;

}

if（maxj!

for（i=1;

floatt=a[i][k];

a[i][k]=a[i][maxj];

a[i][maxj]=t;

intt=z[k];

z[k]=z[maxj];

z[maxj]=t;

for（inti=k+1;

i++）

floatl=a[i][k]/a[k][k];

for（intj=k;

a[i][j]+=-l*a[k][j];

for（i=N;

i>

0;

i--）

floats=0;

for（intj=i+1;

s+=a[i][j]*x[z[j]];

x[z[i]]=（a[i][N+1]-s）/a[i][i];

完全主元素消去法之后的矩阵为：

<

shuchu（）;

for（i=1;

x["

]="

x[i]<

2.列主元素消元法：

{

floata[3][4]={{1,2,3,14},{0,1,2,8},{2,4,1,13}};

floatx[3];

floatsum=0;

intk,i,j;

for（k=0;

2;

k++）

for（i=k+1;

3;

i++）

for（j=k+1;

4;

a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];

for（i=0;

i++）

for（j=0;

printf（"

a[%d][%d]=%f"

i,j,a[i][j]）;

x[2]=a[2][3]/a[2][2];

for（k=1;

k>

=0;

k--）

sum=0;

for（j=k+1;

sum+=a[k][j]*x[j];

x[k]=（a[k][3]-sum）/a[k][k];

}

printf（"

x[%d]=%f\n"

i+1,x[i]）;

3.LU分解法：

#include<

#defineL30

doublea[L][L],b[L],l[L][L],u[L][L],x[L],y[L];

intn,i,j,k,r;

请输入矩阵元次：

scanf（"

%d"

&

n）;

请输入矩阵各项：

=n;

++i）

for（j=1;

++j）

{

scanf（"

%lf"

a[i][j]）;

请输入方程组的常数项：

++i）

scanf（"

b[i]）;

++j）

l[i][j]=0;

u[i][j]=;

++k）

for（j=k;

{

u[k][j]=a[k][j];

for（r=1;

r<

k;

++r）

u[k][j]-=l[k][r]*u[r][j];

}

}

l[i][k]=a[i][k];

++r）

l[i][k]-=l[i][r]*u[r][k];

l[i][k]/=u[k][k];

l[k][k]=;

y[i]=b[i];

i;

y[i]-=l[i][j]*y[j];

for（i=n;

--i）

x[i]=y[i];

for（j=i+1;

x[i]-=u[i][j]*x[j];

x[i]/=u[i][i];

printf（"

%\n"

x[i]）;

五、实验结果与分析

完全主元素消元法：

列主元素消元法：

分析：

对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。

即，为了节约内存及时效，可以不必计算出主元素下方数据。

列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。

列主元素消元法的耗时比完全主元素法少很多，常采用之。

对于LU分解法，分解矩阵为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，然后解方程组Ly=b，回代，解方程组Ux=y。

其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵.

本次试验中，感觉是最难的一次，完全主元素消元法程序编写过程相对来说花了好长时间。

纠正各种语法、算法、思路错误。

最后勉强成功，但还是有几处警告，不得解决之法。

感到程序学习的不足，再加之对高斯的不甚了解。

编写过程很是痛苦。

查阅各种内外部资料，这点有利有弊。

突然觉得，应该再把数据结构之类的重新学习一下才行。

以后多花时间在编程吧，重在理解。

必须反省一下自己的C、C++学习了，还是得多加练习，平时必须养成一种好的算法思维习惯。

实验三线性方程组的迭代解法

使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。

设线性方程组Ax=b

的系数矩阵A可逆，且主对角元素a11,a22,…,ann均不为零，令

D=diag（a11,a22,…,ann）

并将A分解成A=（A-D）+D

从而线性方程组可写成Dx=（D-A）x+b

则有迭代公式

x（k+1）=B1x（k）+f1

其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。

各自详细流程图如下所示：

高斯—赛德尔迭代法

#include"

iostream"

iomanip"

usingnamespacestd;

inti,j,k=0,m,n;

doublet1,t2,e1,e2=;

请输入精度e：

e1;

请输入系数矩阵行数：

m;

请输入系数矩阵列数：

n;

double（**a）=newdouble*[m];

=m;

a[i]=newdouble[n];

double（*b）=newdouble[m];

double（*x）=newdouble[n];

cout<

请输入系数矩阵：

-------------------------------------------------------------"

for（intnum1=0;

num1<

num1++）

for（intnum2=0;

num2<

num2++）

a[num1][num2];

输入的系数矩阵为：

for（intnum3=0;

num3<

num3++）

for（intnum4=0;

num4<

num4++）

a[num3][num4]<

请输入矩阵b：

for（intnum5=0;

num5<

num5++）

cin>

b[num5];

输入的矩阵b为：

for（intnum6=0;

num6<

num6++）

b[num6]<

for（intnum7=0;

num7<

num7++）

x[num7]=;

do

第"

次迭代值：

e2=;

for（i=0;

doublesum=;

for（j=0;

if（j!

=i）

sum+=a[i][j]*x[j];

t1=x[i];

t2=e2;

x[i]=（b[i]-sum）/a[i][i];

e2=（x[i]）-t1>

=0（x[i]）-t1:

t1-（x[i]）;

e2=（e2>

=t2e2:

t2）;

setprecision（8）<

k++;

}while（e2>

=e1&

30）;

共迭代了"

次"

delete[]a;

delete[]b;

delete[]x;

return0;

雅克比迭代法：

floata[3][3]={{10,-1,-2},{-1,10,-2},{-1,-1,5}},b[3]={,,};

floatx[3]={0,0,0},sum;

inti,j,k,n=3;

\t\tX[1]\t\tX[2]\t\tX[3]\n"

8;

sum=0;

for（j=0;

if（i==j）continue;

sum=sum+a[i][j]*x[j];

x[i]=（b[i]-sum）/a[i][i];

第%d次迭代：

\t"

k+1）;

for（i=0;

%f\t"

高斯赛德尔迭代法：

雅克比迭代：

使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。

从程序中可以看出，雅克比定义的sum只有一个，而高斯赛德尔需要两个。

时效性上后者要好些。

这次试验算是比较成功，要归功于授课时候的认真听讲。

程序编写之前，对书本的理论知识进行了进一步的探索。

预习准备工作很彻底，自然随后的一切也都很顺利。

计Z1002班

19

张龙

实验四矩阵特征值与特征向量问题

使用幂法求A模为最大的特征值及其相应的特征向量。

幂法：

由已知的非零向量x0和矩阵A的乘幂构造向量序列{xn}以计算矩阵A的按模最大特征值及其特征向量的方法，称为幂法。

在计算过程，每步迭代中把向量xk进行规范化，即用xk乘以一个常数，使得其分量的模最大为1，这样，迭代公式变为：

其中，mk是yk模最大的第一个分量。

结果可取：

幂法流程图：

#defineN3

#defineeps1e-6

#defineM30

floatmaxvalue（floatx[],intn）

floatMax=x[0];

inti;

if（fabs（x[i]）>

fabs（Max））

Max=x[i];

returnMax;

voidmatrix（float*A）

floatU[N],V[N],r1,r2,temp;

inti,j,k=0;

i++）U[i]=1;

while（k<

M）

temp=0;

j++）temp+=*（A+i*N+j）*U[j];

V[i]=temp;

U[i]=V[i]/maxvalue（V,N）;

if（k==1）r1=maxvalue（V,N）;

else

r2=maxvalue（V,N）;

if（fabs（r2-r1）<

eps）break;

r1=r2;

迭代次数：

\t%d\n"

k）;

矩阵的特征值：

r2）;

（"

U[i]）;

）\n"

floatA[N][N]={{2,-1,0},{-1,2,-1},{0,-1,2}};

matrix（A[0]）;

采用幂方法求解矩阵的最大特征值以及特征向量，其最大优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为适合。

但有时收敛速度很慢，时效性较差。

程序编写时详细分析了书上的求解过程，但最终结果还是有所出入。

课本的迭代次数只用7次，而程序运行之后显示为12次。

不明白那里原因。

推测是由于精确位数的不同导致。

最后在程序中更改了一下，验证得之。

实验五代数插值

使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：

已知f（x）在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f的近似值。

X

f（x）

PC，Windows操作系统