第一章引言iWord文档下载推荐.docx
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学生免不了就会质问教师:
“你既然说本课程在实际中有重要的应用,那么为什麽不教我们如何应用本课程的知识来解决实际问题呢?
”这个问题对一般的基础课教师可能是难以明确回答的,原因是单学科的知识能够解决的实际问题是很少的,尤其是对于某些基础数学课程而言更是如此。
而学习了数学建模以后,这个问题就不存在了,因为数学建模就是综合运用所学的知识和方法,创造性地分析解决来自于实际中的问题,而且不受任何学科和领域的限制,所以建立的数学模型可以直接应用于实际中去,这是数学建模的综合作用之一。
另一方面,数学建模的工作是综合性的,所需要的知识和方式综合性的,所研究的问题是综合性的,所需要的能力当然也是综合性的。
数学建模的教学就是向学生传授综合的数学知识和方法,培养综合运用所掌握的知识和方法来分析问题、解决问题的能力。
综合数学建模的培训和参加建模竞赛等活动,来培养学生丰富灵活的想象能力、抽象思维的简化能力、一眼看穿的洞察能力、与时俱进的开拓能力、学以致用的应用能力、会抓重点的判断能力、高度灵活的综合能力、使用计算机的动手能力、信息资料的查阅能力、科技论文的写作能力、团结协作的攻关能力等等。
数学建模就是将这些能力有机地结合在一起,形成了一种超强的综合能力,我们可称之为“数学建模能力”。
这就是21世纪所需要的高素质人才应该具备的能力,我们可以断言,谁具备了这种能力,必将会大有作为。
1。
1。
3数学建模的桥梁地位
传统的教学内容和方法的一个最主要的问题就是理论联系实际不够密切,甚至相脱节,以至于在社会上出现了学数学没有用的一种观点,并且产生了一定社会效应。
一段时间内,一些学校的数学课是被压缩,一般院校的数学系的生源质量在下降,甚至短缺,使得一些数学系的生存能力发生危机。
从而,导致了一些院校的数学系不得不改变自己的培养方向和专业设置,有的合并、有的改名,一时间如雨后春笋般地诞生了许多“信息科学与计算”、“信息与计算”、“计算机与数学”等等时髦专业。
或许这也是时代发展、与时俱进的结果吧!
我们认为,关键的问题还是数学有用与数学无用的对立矛盾。
在中国改革开放以后,国民经济飞速发展,如果数学不能为此做出贡献,那么,被人误认为数学无用应属自然。
为此,数学教学改革的呼声强烈,也是在必行。
现在教学改革的春风吹遍大地,数学教学改革的硕果垒垒,但成功之作无不与数学建模有关,也正是数学建模为中国数学的发展带来了生机和希望,通过“数学建模”这座无形的桥梁使得数学在工程上、生活中都得到实际的应用,这是数学建模的桥梁之一。
另一方面,现有的科技人才可以分为工程应用与理论研究两大类,从某种意义上来讲,工程与理论存在着客观的对立。
特别是工程与数学、工程师与数学家之间在处理问题的方式方法上都客观地存在一些不同火堆里的观点,于是两者之间在具体问题上缺乏共同的沟通语言。
对于数学建模和数学建模的人才可以在工程与数学、工程师与数学家之间架起一座桥梁,能在两者之间建立起共同语言,是沟通无限。
因为数学建模的人才具有一种特有的能力——“双向翻译能力”,即可以将实际问题简化抽象为数学问题——建立数学模型;
利用计算机等工具求解数学模型,再将求解结果返回到实际中去,并用来分析解释实际问题。
这就使得工程与数学有机地结合在一起,工程师与数学家之间可以无障碍地沟通与合作,这也是使得近些年来能起这种桥梁作用的数学建模和数学建模人才备受欢迎的重要原因。
钱学森说:
“信息时代高科技的竞争本质上是数学技术的竞争。
”换言之,高技术的发展的关键是数学技术的发展,而数学技术与高技术结合的关键就是数学模型。
数学模型就像一把金钥匙打开了高技术得到道难关,任何一项技术的发展都离不开数学模型,甚至技术水平的高低取决于数学建模的优劣。
2什么是数学模型?
2。
1原型与模型
原型与模型是一对对偶体,原型是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。
而模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
模型不是原型,既简单于原型,又高于原型。
例如,大家熟知的飞机模型,虽然在外观上比飞机圆形简单,而且也不一定会飞,但是它很逼真,也足以让人们想象飞机在飞行的过程中机翼的位置与形状的影响和作用。
一个城市的交通图是该城市(原型)的模型,看模型比看原型清楚得多,此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状等都不重要。
但是,城市的街道、交通线路和各单位的位置等信息都一目了然,这比看原型清楚得多。
模型可以分为形象模型和抽象模型,抽象模型最主要的就是数学模型。
2数学模型
当一个数学结构作为某种形式语言(即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合)解释时,这个数学结构就称为数学模型。
换言之,数学模型可以描述为:
对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
也就是说,数学模型是通过抽象、简化过程,使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画,以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
数学模型并不是新的事物,自从有了数学,也就有了数学模型。
即要用数学去解决实际问题,就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题,这就是数学模型。
事实上,人所共知的欧几里德几何、微积分、柯西积分公式、万有引力定律、能量转换定律、广义相对论等都是非常好的数学模型。
我们设想,如果现在没有这些数学模型,那么,世界将是什么样子。
实际中。
能够直接使用数学方法解决的实际问题是不多的,然而,应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身,从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系,也就是构建这个实际问题的数学模型,其过程就是数学建模的过程。
3数学模型与数学
数学模型与数学是不完全相同的,主要体现在三个方面:
(1)研究内容:
数学主要是研究对象的共性和一般规律,而数学模型主要是研究对象的个性(针对性)和特殊规律。
(2)研究方法:
数学的主要研究方法是演绎推理,即按照一般原理考察特定的现象,导出结论。
而数学模型的主要研究方法是归纳演绎,归纳是依据个别现象推断一般规律。
归纳是演绎的基础,演绎是归纳的指导。
即数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的结果,经过求解、演绎,得到数学上的解答,在经过翻译回到现实对象,给出分析、预报、决策、控制的结果。
(3)研究结果:
数学的研究结果被证明了就一定是正确的,而数学模型的研究结果被证明了未必一定正确,这是因为与模型的简化和模型的假设有关,因此,对数学模型的研究结果必须接受实际的检验。
然而,鉴于数学模型与数学的关系和区别,我们评价一下数学模型好坏的标准主要是:
模型是否有一定的实际背景、假设是否合理、推理是否正确、方法是否简单、论述是否深刻等等。
1。
3数学建模无处不在
目前,数学的应用已渗透到了各个领域,或者说各行各业日益依赖于数学,在人们的日常生活的各种活动中,数学无处不在。
也就是说在数学发展的进程中,无时无刻无不留下数学模型的烙印,在数学应用的各个领域无处没有数学模型的身影。
基于数学模型的广泛应用,我们现在可以说:
“数学模型无处不在了,”人人都会接触到它。
例如:
生活中的合理投资问题、养老保险问题、住房公积金问题、新技术的传播问题、流言蜚语的传播问题、传染病的流行问题、语言学中用词变化问题、人口的增长问题、减肥与增肥问题以及各种资源的管理问题等等,下面给出几个简单的例子。
3。
1流言蜚语(或小道消息)传播问题
假设某地区的总人口为N,在短期内不变,x(t)表示知道消息的人数所占的百分比,初始时刻的百分比
,传播率为h,则可以建立数学模型为
求解易知x(t)=(x
-1)e
+1,且
x(t)=1,显然是不符合实际情况的,实际情况是未知者会从传播中得知,传播率为h,而有一部分人虽知消息,但不轻信,不去传播,于是可设不传播率为r,则数学模型为
求解得
于是有
,
此表明随时间的增长,消息慢慢地会淡化,逐步被人遗忘,是符合实际情况的.
1.3.2借贷买房(或购物)问题
曾有一家报纸刊登一则广告称:
"
对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭.现在有这样一栋住宅楼,每套只需自备款七万元,其余有公司贷款,可分期付款,每月只需付800元,十年还清.那么,这对您还有什么问题呢!
现在问题是:
这房子究竟值多少钱,即如果一次付款要付多少钱?
如果没有能力一次付款,实际上,相当于借了多少钱?
为什么要每月付800元?
试根据广告所提供的信息和银行的贷款利率,对上述问题进行研究,供购房者参考.
1.一般问题
假设房子的总价为M元,买者需借A
元,月利率为R,借期为N个月,每月付x元,到第n个月欠款A
元,则第n+1个月(含利息)欠款
A
=(1+R)A
-x,n=0,1,2,…
于是可得
An=A0(1+R)n-x[(1+R)n-1+(1+R)n-2+…+(1+R)+1]
=A0(1+R)n-x
n=0,1,2,…
即得An,A0,x,R,N之间的关系。
2.就广告而言
已知N=10年=120个月,x=800元,A0=(M-70000)元,则要求10年还清,即A120=0,从而得0=A0(1+R)120-
不妨设月利率R=0.01,则有(1.2)式可算出55760元,于是房子总价为M70000+55760=125760元.由此可知,一次性付款额不应大于M,否则,就应该自己去银行贷款,不要借公司的钱了.
3.推广问题
(一)
某高校青年教师张某为买房向公司借贷=60000元,月利率R=0.01,若要每月还一次钱,需25年=300个月还清,张老师希望知道平均每月还多少钱?
根据前面的讨论,要25年=300个月还清贷款,即要
可以求解得x632元,即平均每月还632元,25年可还清.
4.推广问题
(二)
如果张老师每半月还一次钱,每月还x==316元,半月利率为R==0.005,则能让张老师提前三年(即22年)还清,不过公司要求一次先付三个月的款:
6323=1896元作为手续费,问这种方案对谁有利?
实际上,表面上看这种方案,张老师在每个月不多还钱的条件下提前三年还清,对张老师十分有利,而公司没有多赚钱.但稍作分析可知,由于张老师先预付了1896元,则事实上相当于张老师只借了=600001896=58104元,而R=0.005,x=316代入(1.1)式,并令=0,则有
可解得n=505(半月)21.04年,即提前3.96年就还清了借贷,即该公司至少从中多赚了63211.52=7280.64元.
思考题:
对固定的月利率R,如果张老师某一时候想一次付清借贷需还多少钱?
1.1.3儿童保险问题
0至17岁的儿童都可以参加这种保险,投保金额可以交,也可以按年交,每份保险金额为1000元,保险公司要求各年龄的儿童需交投保金额如表1---1.
表1--1
投保年龄
0
1
2
3
4
5
6
7
8
年交
599
652
714
787
872
973
1094
1242
1423
5978
6297
6649
7033
7449
7896
8377
8892
9445
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1605
1888
2266
2795
3584
4886
10036
10669
11346
12070
12843
13669
14551
15492
16496
保险公司应对保险人的保险相目和金额为
(1)教育保险金:
被保险人到18192021周岁时每年可领取一份保险金1000元.
(2)创业保险金:
被保险人到22周岁时可以领取保险金额的4.7倍的创业保险金.
(3)结婚保险金:
被保险人到25周岁时可以领取保险金额的5.7倍的结婚保险金.
(4)养老保险金:
被保险人到60周岁时可以领取保险金额的60倍的养老保险金.
现在的问题是:
如果被保险人能活到60岁时,则
(1)如果按存款年利率4.5%计算,投保是否合算?
(2)如果按贷款年利率8%计算,保险公司从中获利多少?
首先假设投保人都能活到60岁;
投保人的交款和保险公司的返回保险金均在年初进行;
银行现行的存、贷款利率不变;
这里均按一份投保金额(1000元)计算。
记投保年龄为k(k=0,1,2,------,17);
按年交款额为,总交款额为;
银行长期存、贷款利率分别为。
1.问题
(一)
如果投保人按年交,一直交到17周岁,各年龄的投保人共需交款额为
到60周岁时共得保险金额74400元。
设想投保人将所投保的金额存到银行,到60周岁时的存款数额为
如果投保人按交,k周岁的人交款额为(k=0,1,2,------,17)。
设想投保人将所投保的金额存到银行,到60周岁时的存款数额为
由(1.3)、(1.4)、(1.5)式计算结果如表1--2。
表1--2
k
2
1094
1242
10782
11084
11424
11805
12208
12649
13128
13662
14230
98370
98320
98500
98890
99320
99870
100510
101300
102030
83860
84530
85410
86450
87620
88880
90230
91660
93160
1605
1888
2266
2795
3584
4886
14445
15104
15862
16770
17920
19544
99930
100490
101020
101490
101770
101740
94730
96370
98070
99840
101660
103530
105470
107450
109490
从计算结果来看,显然无论哪个年龄的人是按年交,还是交都不如将钱存到银行合算,即存款收益都高于投保所得的保险金额。
2.问题
(二)
设投保人按年缴,k(k=0,1,2,---,14)周岁的投保人到18、19、20、21、22、25、60周岁时公司的收益额分别为
计算可以得到结果如表1--3。
表1--3
174640
162020
150700
140500
130410
120770
111260
101990
91760
69460
56580
41350
22210
--4040
-44330
设投保人按交,k(k=0,1,2,---,14)周岁的投保人到18、19、20、21、22、25、60周岁时公司的收益额分别为
计算可以得到结果如表1--4。
表1--4
282860
267930
254750
242860
231950
221690
212070
202900
194240
185900
177940
170270
162880
155710
148770
142020
135420
128980
从计算结果可以看出,保险公司的收益是很可观的,特别是趸交的收益高于按年缴的收益,但注意到,对于13和14周岁的投保人按年交公司赔钱,这也说明14周岁以后不能按年缴的理由,也反映出这个方案制定的合理性问题。
另外,实际中保险公司还承担着投保人的意外人身保险问题,所以在公司的收益中也包含着这部分风险费用,在这里我们没有考虑这部分费用。
思考题:
对保险人采用何种缴款方式(趸交、年交)合算?
1.3.4应急设施的位置问题(AUMCM1986--B)
1.问题的提出
3
1
4
2
5
美国的里奥兰翘(RioRancho)镇迄今还没有自己的应急设施。
1986年该镇得到了建立两个应急设施拨款,每个设施都把救护站、消防队和警察局合在一起。
如图1--1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数,在北边的L形区域是一障碍,而在南边的长方形区域内是一个有浅水塘的公园。
应急车辆驶过一条南北
向的街道平均要花15s,而通过一条东西向的街道平均
花20s。
你的任务是确定这两个应急设施的位置,使得
总响应时间最少。
(Ι)假设应急需要集中在每个街区的中心,而应急
设施位于街角处;
(Π)假定应急需求是沿包围每个街区的街道上均匀
分布,而应急设施可以位于街道的任何地方。
2.模型的假设
(1)两个障碍区域中均不需要应急服务;
(2)每年的应急事件数目比较少,可以认为在同一
街区不会同时放生两个事件;
(3)忽略车辆拐弯和过十字路口的时间,仅考虑沿
街道行驶的时间;
(4)两个设施的功能相同,当应急事件发生时,指
挥中心总是从离事件发生地最近的应急设施派出车辆;
(5)1985年的各街区的应急事件数是真实的,未来的需求分布不会与现在的需求相差太远;
(6)当连接两点的不同路径所用时间相同时,路径可以任选其一。
3.模型的建立与求解
模型Ι:
除了上面假设以外,假设在没有障碍的街区应急事件均发生在街区中心,而应急设施的位置设在某街区的街角上。
应急车辆做出响应的时间最短是指到达时间发生点的时间;
这样可能的两个应急设施的位置点数只有有限个,因此,只需要检验每一对位置点对所有街区发生事件做出的响应时间,选择平均每一次事件响应时间最小的那两个点建立坐标系,左下角(西南角)为原点(0,0),东西为x轴,南北为y轴。
(1)一个位置点对某一街区发生事件的响应时间=位置点到街区的街道数车辆行驶一条街道的时间该街区发生事件的次数;
(2)一个位置点对全镇所有应急事件的响应时间总和=该位置点对所有街区的应急事件响应时间的总和;
(3)一个位置点对全镇任一次应急事件的平均响应时间=总响应时间/时间总数;
(4)取使平均响应时间最小的那个对应的位置点为应急设施的位置。
两个设施到任一街区(X,Y)(距原点最近的街角坐标)的时间计算公式为
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