二元函数的误差传播公式-Read.ppt
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二元函数的误差传播公式-Read.ppt
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引论引论误差误差1误差的来源与分类误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型模型误差模型误差通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值观测误差观测误差将无穷过程截断将无穷过程截断截断误差截断误差机器字长有限机器字长有限舍入误差舍入误差如估算如估算如估算如估算两个天体的距离两个天体的距离100万万光年光年1光年光年.注:
注:
注:
注:
e*e*理论上讲是唯一确定的理论上讲是唯一确定的理论上讲是唯一确定的理论上讲是唯一确定的,可能取正可能取正可能取正可能取正,也可能取负。
也可能取负。
也可能取负。
也可能取负。
e*e*e*e*0000不唯一不唯一不唯一不唯一,当然当然当然当然e*e*e*e*越小越具有参考价值。
越小越具有参考价值。
越小越具有参考价值。
越小越具有参考价值。
2误差的基本概念误差的基本概念绝对误差绝对误差其中其中x为精确值,为精确值,x*为为x的近似值。
的近似值。
?
,例如:
,例如:
工程上常记为工程上常记为,称为,称为绝对误差限绝对误差限,的上限记为的上限记为零件直径是零件直径是20cm1cm.相对误差定义相对误差定义x的的相对误差上限相对误差上限定义定义但精确值往往不知道,公式中但精确值往往不知道,公式中x常替换为常替换为x*注:
严格的说法是,注:
严格的说法是,注:
严格的说法是,注:
严格的说法是,与与与与,与与与与是否反映了是否反映了是否反映了是否反映了同一同一同一同一数量级数量级数量级数量级的误差?
的误差?
的误差?
的误差?
例例:
解:
可见可见,经四舍五入取近似值经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位其末位数字的半个单位解法之一解法之一:
将将作作Taylor展开后再积分展开后再积分S4R4取取则则称为称为截断误差截断误差|舍入舍入误差误差|由截去部分由截去部分引起引起0.743由留下部分由留下部分引起引起如果近似值如果近似值x*的误差限是的误差限是某一某一数位的半个单位数位的半个单位,就就说准确到该位说准确到该位,从这一位起向左到前面第一个非零从这一位起向左到前面第一个非零的数字为止的数字为止,所有的数字为所有的数字为x*的有效数字。
的有效数字。
有4位有效数字有6位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字?
3有效数字与误差有效数字与误差有效数字文字描述有效数字文字描述有效数字形式化描述有效数字形式化描述(其中(其中)。
若)。
若(即截取按四舍五入规则),则称(即截取按四舍五入规则),则称为有为有n位有效数字,精确到位有效数字,精确到。
例例问:
问:
有几位有效数字?
请证明你的结论。
有几位有效数字?
请证明你的结论。
证明:
证明:
有有位有效数字,精确到小数点后第位有效数字,精确到小数点后第位。
位。
43用科学计数法,记用科学计数法,记(其中(其中)。
若)。
若(即截取按四舍五入规则),则称(即截取按四舍五入规则),则称为有为有n位有效数字,精确到位有效数字,精确到。
有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系有效数字有效数字相对误差限相对误差限已知已知x*有有n位位有效数字有效数字,则其,则其相对误差限相对误差限为为相对误差限相对误差限有效数字有效数字已知已知x*的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见x*至少至少有有n位位有效数字有效数字。
例:
为使例:
为使的相对误差小于的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字?
至少应取几位有效数字?
解:
假设解:
假设*取到取到n位有效数字,则其相对误差上限为位有效数字,则其相对误差上限为要要保证其相对误差小于保证其相对误差小于0.001%,只要保证其上限满足,只要保证其上限满足已知已知a1=3,则从以上不等式可解得则从以上不等式可解得n6log6,即即n6,应取应取*=3.14159。
4误差的误差的传播传播例:
例:
蝴蝶效应蝴蝶效应纽约的一只蝴蝶翅膀一拍,风和日丽的北京纽约的一只蝴蝶翅膀一拍,风和日丽的北京就刮起台风来了?
!
就刮起台风来了?
!
NYBJ以上是一个以上是一个病态问题病态问题关于本身是病态的问题,我们还是留给数学家去头痛吧!
关于本身是病态的问题,我们还是留给数学家去头痛吧!
例:
计算例:
计算公式一:
公式一:
注意此公式注意此公式精确精确成成立立记为记为初始误差初始误差?
!
Whathappened?
!
1Introduction:
Spread&Accumulation考察第考察第n步的误差步的误差我们有责任改变。
我们有责任改变。
造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法迅速积累,误差呈递增走势。
迅速积累,误差呈递增走势。
可见初始的小扰动可见初始的小扰动公式二:
公式二:
注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。
方法:
先估计一个方法:
先估计一个IN,再反推要求的再反推要求的In(nN)。
可取可取1Introduction:
Spread&Accumulation取取Wejustgotlucky?
考察反推一步的误差:
考察反推一步的误差:
以此类推,对以此类推,对nN有:
有:
误差逐步递减误差逐步递减,这样的算法称为这样的算法称为稳定的算法稳定的算法在我们今后的讨论中,在我们今后的讨论中,误差误差将不可回避,将不可回避,算法的算法的稳定性稳定性是一个非常重要的话题。
是一个非常重要的话题。
一元函数的误差传播公式一元函数的误差传播公式问题问题:
对于:
对于y=f(x),若用若用x*取代取代x,将对将对y产生什么影响?
产生什么影响?
分析分析:
e*(y)=f(x*)f(x)=f()(x*x)x*与与x非常接近时,可认为非常接近时,可认为f()f(x*),则有:
则有:
|e*(y)|f(x*)|e*(x)|即:
即:
x*产生的误差经过产生的误差经过f作用后被放大作用后被放大/缩小了缩小了|f(x*)|倍。
故称倍。
故称|f(x*)|为为放大因子放大因子/*amplificationfactor*/或或绝对条件数绝对条件数/*absoluteconditionnumber*/.相对误差条件数相对误差条件数/*relativeconditionnumber*/f的条件数在某一点是的条件数在某一点是小小大大,则称,则称f在该点是在该点是好条件的好条件的/*well-conditioned*/坏条件的坏条件的/*ill-conditioned*/。
例例:
计算计算y=lnx。
若若x20,则取则取x的几位有效数字可保证的几位有效数字可保证y的相对误差的相对误差0.1%?
解:
设截取解:
设截取n位有效数字后得位有效数字后得x*x,则则估计估计x和和y的相对误差上限满足近似关系的相对误差上限满足近似关系不知道?
不知道?
x可能是可能是20.#,也可能,也可能是是19.#,取最坏情况,取最坏情况,即即a1=1。
n4二元函数的误差传播公式(补充)二元函数的误差传播公式(补充)绝对误差条件数绝对误差条件数相对误差条件数相对误差条件数思考思考:
试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律5几点注意事项几点注意事项1.避免相近二数相减避免相近二数相减例:
例:
a1=0.12345,a2=0.12346,各有各有5位有效数字。
位有效数字。
而而a2a1=0.00001,只剩下只剩下1位有效数字。
位有效数字。
几种经验性避免方法:
几种经验性避免方法:
当当|x|1时:
时:
2.避免小分母避免小分母:
分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出/*overflow*/3.避免大数避免大数吃吃小数小数例:
用单精度计算例:
用单精度计算的根。
的根。
精确解为精确解为算法算法11:
利用求根公式利用求根公式在计算机内,在计算机内,109存为存为0.11010,1存为存为0.1101。
做加法时,做加法时,两加数的指数先向大指数对齐,再将浮点部分相加。
即两加数的指数先向大指数对齐,再将浮点部分相加。
即1的指数部分须变为的指数部分须变为1010,则:
,则:
1=0.00000000011010,取,取单精度时就成为:
单精度时就成为:
109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数大数吃吃小数小数?
算法算法2:
先解出先解出再利用再利用注:
注:
注:
注:
求和时求和时从小到大从小到大相加,可使和的误差减小。
相加,可使和的误差减小。
例:
按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例:
按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+40+1094.先化简再计算,减少步骤,避免误差积累。
先化简再计算,减少步骤,避免误差积累。
5.选用稳定的算法。
选用稳定的算法。
作业:
作业:
P11:
1.8.12.本章要点本章要点:
绝对误差绝对误差(限限)和相对误差和相对误差(限限)有效数字位数及其与误差的关系有效数字位数及其与误差的关系设计数值算法几点注意事项设计数值算法几点注意事项
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