线性代数复习提纲Word文件下载.docx

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写出二次型矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵正定性。

第二部分：

基本知识

一、行列式

1．行列式定义

用n^2个元素aij组成记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能取自不同行不同列n个元素乘积代数和；

（2）展开式共有n!

项，其中符号正负各半；

2．行列式计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>

=3）行列式计算：

降阶法

　定理：

n阶行列式值等于它任意一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积和。

　方法：

选取比较简单一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式值等于主对角线上元素乘积；

（2）行列式值为0几种情况：

　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ　行列式某行（列）对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）元素对应成比例；

Ⅳ　奇数阶反对称行列式。

二．矩阵

　1．矩阵基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

　2．矩阵运算

（1）加减、数乘、乘法运算条件、结果；

（2）关于乘法几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

　3．矩阵秩

（1）定义　非零子式最大阶数称为矩阵秩；

（2）秩求法　　一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵初等变换不改变矩阵秩；

阶梯形矩阵秩等于非零行个数（每行第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：

利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

　4．逆矩阵

（1）定义：

A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：

　（AB）^-1=（B^-1）*（A^-1），（A'

）^-1=（A^-1）'

；

（AB逆矩阵，你懂）（注意顺序）

　（3）可逆条件：

　①　|A|≠0；

　②r（A）=n;

③A->

I;

（4）逆求解

伴随矩阵法　A^-1=（1/|A|）A*；

（A*A伴随矩阵~）

②初等变换法（A:

I）->

（施行初等变换）（I:

A^-1）　

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B（A^-1）；

AXB=C，则X=（A^-1）C（B^-1）

三、线性方程组

1．线性方程组解判定

定理：

（1）r（A,b）≠r（A）无解；

（2）r（A,b）=r（A）=n有唯一解；

（3）r（A,b）=r（A）<

n有无穷多组解；

特别地：

对齐次线性方程组AX=0

（1）r（A）=n只有零解；

（2）r（A）<

n有非零解；

再特别，若为方阵，

（1）|A|≠0只有零解

（2）|A|=0有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解情况：

r（A）=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；

r（A）<

n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。

（2）解结构：

　X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解方法和步骤：

　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组

利用判定定理。

　X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）无穷多组解求解方法和步骤：

　与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解解法：

　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量定义

注：

向量实际上就是特殊矩阵（行矩阵和列矩阵）。

2．向量运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积　α'

β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长度　

|α|=√α'

α=√（a1^2+a2^2+…+an^2）（√根号）

（4）向量单位化　（1/|α|）α；

（5）向量组正交化（施密特方法）

　设α1，α2，…，αn线性无关，则

　β1=α1，

　β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，

　β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。

3．线性组合

（1）定义　若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α2，…，αn一个线性表示。

（2）判别方法　将向量组合成矩阵，记

　A＝（α1，α2，…，αn），B=（α1，α2，…，αn,β）

若　r（A）=r（B），则β可以用向量组α1，α2，…，αn一个线性表示；

若　r（A）≠r（B），则β不可以用向量组α1，α2，…，αn一个线性表示。

（3）求线性表示表达式方法：

　将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示系数。

4．向量组线性相关性

（1）线性相关与线性无关定义

　设k1α1+k2α2+…+knαn=0，

　若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；

　若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

①r（α1，α2，…，αn）<

n，线性相关；

r（α1，α2，…，αn）=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：

　n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关）（行列式太不好打了）

5．极大无关组与向量组秩

（1）定义　极大无关组所含向量个数称为向量组秩

（2）求法　设A＝（α1，α2，…，αn），将A化为阶梯阵，则A秩即为向量组秩，而每行第一个非零元所在列向量就构成了极大无关组。

五、矩阵特征值和特征向量

1．定义　对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A特征值，向量X称为矩阵A对应于特征值λ特征向量。

2．特征值和特征向量求解：

　求出特征方程|λI-A|=0根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组（λI-A）X＝0中求出方程组所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆充要条件是A特征值不等于0；

（2）A与A转置矩阵A'

有相同特征值；

（3）不同特征值对应特征向量线性无关。

六、矩阵相似

1．定义　对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似方法与步骤（求P和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似对角阵：

　方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

七、二次型

n

1．定义　n元二次多项式f（x1,x2,…，xn）=∑aijxixj称为二次型,若aij=0（i≠j），则称为二交型标准型。

i,j=1

2．二次型标准化：

　配方法和正交变换法。

正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'

，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3．二次型或对称矩阵正定性：

（1）定义（略）；

（2）正定充要条件：

①A为正定充要条件是A所有特征值都大于0；

②A为正定充要条件是A所有顺序主子式都大于0；