数值分析原理习题答案文档格式.docx
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lj(x)?
试证明
(x?
x0)(x?
x1)?
(x?
xj?
1)(x?
xn)(xj?
x0)(xj?
(xj?
1)(xj?
xn)
xl
j?
n
kjj
(拉格朗日插值基函数的性质)(x)?
xk(k?
0,1,...n)。
sin0.34?
0.333487,sin0.36?
0.3522744已知sin0.32?
0.314567,用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。
(拉格朗日二次插值)5用余弦函数cosx在x0?
0,x1?
多项式,并近似计算cos日二次插值)
6已知函数值f(0)?
6,f
(1)?
10,f(3)?
46,f(4)?
82,f(6)?
212,求函数的四阶均差
4
,x2?
三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值
6
及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。
(拉格朗
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。
(均差的计算)
7设f(x)?
xn)求f[x0,x1?
xp]之值,其中p?
n?
1,而节点
xi(i?
0,1,?
1)互异。
8如下函数值表
建立不超过三次的牛顿插值多项式。
(牛顿插值多项式的构造)
9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件:
p
(1)?
2,p
(2)?
4,
p?
(2)?
3,p(3)?
12。
(插值多项式的构造)
10构造一个三次多项式h(x),使它满足条件h(0)?
1,h
(1)?
0,h
(2)?
1,h?
(1)?
1(埃尔米特插值)。
11设f(x)?
x,x0?
1/4,x1?
1,x2?
9/4。
(1)试求f(x)在?
1/4,9/4?
上的三次埃尔米特插值多项式h(x),使得h(xj)?
f(xj),j?
0,1,2,h?
(x1)?
f?
(x1),h(x)以升幂形式给出。
(2)写出余项r(x)?
f(x)?
h(x)的表达式。
(埃尔米特插值及其余项的计算)。
12若f(x)?
c2[a,b],f(a)?
f(b)?
0,试证明:
32
max|f(x)|?
a?
x?
b
b?
a?
2max|f?
(x)|(插值余项的应用)
b8
13设f(?
2)?
1,f(0)?
2,求p(x)使p(xi)?
f(xi)(i?
0,1,2);
又设|f?
(x)|?
m,则估计余项r(x)?
p(x)的大小。
(插值误差的估计)
姓名学号班级
最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1设f(x)?
sin?
x,求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)2令f(x)?
ex,?
1,且设p(x)?
a0?
a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?
1,1]上的最佳平方逼近多项式。
(最佳平方逼近)3证明:
切比雪夫多项式序列
tk(x)?
cos(karccosx)
在区间?
1,1?
上带权?
(x)?
1?
x
正交。
(正交多项式的证明)
x1?
x2?
3?
4求矛盾方程组:
2x2?
4的最小二乘解。
(最小二乘法)
2
2?
5已知一组试验数据
试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。
(最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一个形如y?
bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。
(最小二乘二次逼近)
姓名学号班级
代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。
1给定求积公式
h
h
f(x)dx?
af(?
h)?
bf(0)?
cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能
高。
(代数精度的应用和计算)2求积公式
a0f(0)?
a1f
(1)?
b0f?
(0),试确定系数a0,a1及b0,使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。
(代数精度的应用和计算)3数值积分公式
30
3
[f
(1)?
f
(2)],是否为插值型求积公式,为什么?
又该公式
b
的代数精确度为多少?
(插值型求积公式特征)4如果f?
0,证明用梯形公式计算积分几何意义。
(梯形求积)5用n?
4的复化梯形公式计算积分
a
f(x)dx所得到的结果比准确值大,并说明其
dx,并估计误差。
(复化梯形求积)x
6设f(?
1,f(?
0.5)?
4,f(0)?
6,f(0.5)?
9,f
(1)?
2,则用复化辛甫生公式计算
f(x)dx,若有常数m使|f(4)|?
m,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
(复
化辛甫生公式)
7已知高斯求积公式
f(x)dx?
f(0.57735)?
f(?
0.57735)将区间[0,1]二等分,用复
化高斯求积法求定积分
xdx的近似值。
(高斯公式)
8试确定常数a,b,c和a,使得数值积分公式
a)?
cf(a)有尽
可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少?
它是否为高斯型的?
(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)
9设?
pn(x)?
是[0,1]区间上带权?
x的最高次幂项系数为1的正交多项式系
(1)求p2(x)。
(2)构造如下的高斯型求积公式
xf(x)dx?
a0f(x0)?
a1f(x1)。
(高斯求积)
【篇二:
数值分析简单习题】
章:
基本概念
第二章:
gauss消去法,lu分解法
第三章:
题型:
具体题+证明,误差分析
三个主要迭代法,条件误差估计,范数的小证明
第四章:
掌握三种插值方法:
拉格朗日,牛顿,厄尔米特,误差简单证明,构造复合函数
第五章:
最小二乘法计算
第六章:
梯形公式,辛普森(抛物线)公式,高斯公式三个重要公式,误差分析。
高斯求积公式的构造
第七章:
几种常用的迭代格式构造,收敛性证明。
第九章:
基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等),简单欧拉法。
第一章误差
1.科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。
2.用taylor展开近似计算函数f(x)?
f(x0)?
f(x0)(x?
x0),这里产生是什么误差?
3.0.7499作3的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几4
位有效数字,相对误差限为_______.0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字.
4.改变下列表达式,使计算结果比较精确:
(1)
(3)11?
1?
2x1?
x|x|?
1
(2)
|x|?
11?
cosx,xx?
0,|x|?
1.(4)sin?
?
5.
采用下列各式计算1)6时,哪个计算效果最好?
并说明理由。
6
(2)
(3)
(4
99?
(3?
6.已知近似数x*有4位有效数字,求其相对误差限。
上机实验题:
xk
x1、利用taylor展开公式计算e?
,编一段小程序,上机用单精度计算e的函数
k?
0k!
值.分别取x=1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法.
2、已知定积分in?
in?
110xndx,n?
0,1,2,?
20,有如下的递推关系x?
6
0n?
11xxn(x?
6)?
6xn?
11dx?
dx?
in?
10x?
6x?
6n
可建立两种等价的计算公式
(1)in?
11?
6in?
1,取i0?
0.154;
nin),取i20?
0.
(2)in?
n6n
来计算i1,i2,i3,i4,?
i19,编程比较哪种计算的数值结果好,并给出理论分析。
第二章插值法
1.已知f(0)?
1,那么差商f[1,0]?
_________.
2.n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?
xn]?
__________________.
3.由导数和差商的关系知,f[xi,xi]=__________________。
4.已知函数f(x)在x?
3,1,4的值分别是4,6,9,试构造lagrange插值多项式。
5.取节点x0?
0,x1?
2,对应的函数值和导数值分别为f(x0)?
1,f(x1)?
2,f(x1)?
2,试建立不超过二次的插值多项式。
(如果将最后一个条件改为f(x2)?
2,插值多项式如何计算?
6.已知f(0)?
1,f
(1)?
3,f
(2)?
9,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项.
7.设f(x)?
c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件
p(xi)?
f(xi),?
p(x1)?
f(x1)i?
0,1,2
28.设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式,f(x)?
c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区
间。
试证明:
对任一给定的x?
[a,b],在(a,b)上总存在一点?
,使得r(x)?
p1(x)?
(?
)(x?
x)1。
2!
n9.证明关于互异节点{xi}in?
0的lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?
l0(x)?
l1(x)?
ln(x)?
上机习题:
1.绘制4题的lagrange的插值函数的图像。
第三章数据拟合
1.数据拟合与插值的区别是什么?
2.最小二乘原理是使偏差?
i的___________达到最小
3.求过点(2,3),(0,1),(3,5)的线性拟合函数。
4.用最小二乘法求一形如y?
bx2的多项式,使与下列数据相拟合
第四章线性方程组的直接解法
1.线性方程组的解法大致可分为_____________,________________。
2.平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。
3.上三角和下三角方程组的解法分别称为___________,____________。
4.严格对角占优矩阵的定义是什么?
5.试求下面矩阵的杜利特尔分解
62?
(1)?
。
4?
213?
457
(2)?
285?
15?
2?
13?
0436.用列主元高斯消去法求解方程组?
206?
x3?
211?
6?
167.用lu分解法解方程组?
1027?
1.编程实现列主元的高斯消去法
2.编程实现lu分解法
第五章线性方程组的迭代解法
1.向量x?
(3,2,?
1,?
7)t,计算||x||1,||x||2,||x||?
.
31?
,计算||a||,||a||,||a||.0102.a=?
126?
20?
3.a?
分别计算a的谱半径?
(a),条件数cond?
(a),||a||103?
4.矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。
5.求解ax=b的迭代格式x(k?
bx(k)?
g收敛的充分必要条件____________________。
6.sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。
7.写出下面方程的jacobi迭代格式
10x1?
2x3?
7?
10x2?
8
5x?
43?
12
8.给定下列方程组,判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛
5x1?
5x2?
(2)?
12x2?
8?
8?
5?
13
9.对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示:
先调整方程组)
16?
26?
41?
10.给定方程组
12?
111?
,?
221?
(1)分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。
(2)证明jacobi迭代法收敛,而gauss-seidel迭代法发散。
【篇三:
数值分析题库】
lass=txt>
1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为a0.001523b0.15230c0.01523d1.523002.设方阵a可逆,且其n个特征值满足:
10?
5,则该数是()2
c
...?
n,则a?
1的主特征值是()
11b?
n
11
1或?
nd或
(k?
1)
3.设有迭代公式
x?
bx
(k)
f
。
若||b||1,则该迭代公式()
a必收敛b必发散c可能收敛也可能发散
4.常微分方程的数值方法,求出的结果是()
a解函数b近似解函数c解函数值d近似解函数值5.反幂法中构造向量序列时,要用到解线性方程组的()a追赶法blu分解法
c雅可比迭代法d高斯—塞德尔迭代法
二.填空题(每小题4分,共20分)
1.设有方程组
3x3?
2x?
23?
,则可构造高斯—塞德尔迭代公式为
101?
2.设a?
21?
1,则a?
3.设y?
2y,y(0)?
1,则相应的显尤拉公式为yn?
4.设
f(x)?
ax?
1,g(x)?
x2。
若要使f(x)与g(x)在[0,1]上正交,则a=
5.设
(2,?
2,?
1)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p=
三.计算题(每小题10分,共50分)
1.求
27的近似值。
若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字?
2.设
2x4,若在[-1,0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3.设有方程组
4.试确定常数a,b,c及?
,使求积公式
1,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。
1f(x)dx?
)?
cf(?
为高斯求积公式。
5.设有向量
(2,1,2)
t
,试构造初等反射阵h,使h
(3,0,0)t。
2阶收敛的,并求
四.证明题(每小题10分,共20分)
1.设有迭代公式
xk?
2xk?
4*
,试证明该公式在x?
4邻近是?
3
4k?
4)2
klim
2.设x,y是n维列向量,q为n阶正交矩阵,且模拟二
一、单项选择题(每小题2分,共10分)
y?
qx
1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为
5,则该数是()。
a0.00217b0.02170c0.21700d2.17000
2.已知?
是a的特征值,p是给定参数,则b=a-pe的特征值是()。
ac
+pb?
-p
+2pd?
-2p
,则||b||1是该迭代公式收敛的()。
a充分条件b必要条件
c充分必要条件
4.三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用()求解。
a雅可比迭代b高斯-塞德尔迭代c平方根法d追赶法5.若尤拉公式的局部截断误差是o(h
),则该公式是()方法。
a1阶b2阶
c3阶d无法确定
二、填空题(每小题4分,共20分)
a)
b)
设a?
2,则a?
设有方程组?
1,则可构
造高斯—塞德尔迭代公式为
c)设
xy?
2,则相应的显尤拉公式为yn?
d)设
(1,2,?
3)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p=
e)设
2,g(x)?
2x2.若要使f(x)与g(x)在[-1,0]上正交,则a=
三.计算题(每小题10分,共50分)
1.设
2x
若在[0,1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
2.求的近似值。
若要求相对误差小于1%,问近似值应取几位有效数字?
3.设有方程组
4.试确定常数a,b,c及?
0?
有尽可能高的代数精度,并问该公式是否为高斯求积公式。
212,,?
)t5.设有向量x?
(
333
(1,0,0)t
四.证明题(共20分)
(xk?
2)*
1.设有迭代公式xk?
xk?
,试证明该公式。
在x?
2附近是平方收敛的,并
2xk
求lim
2k?
2)2
k
2.设l1(x)是
f(x)的一次拉格朗日插值,试证:
(x1?
x0)2maxf(x)
x0?
x18
模拟三
1、若近似值10.00230具有7位有效数字,则其较小的绝对误差限为()。
7b.?
62211
5d.?
4c.22
2、若已知迭代过程xk?
(xk)是3阶收敛,c是不为零的常数,则下列式子中,正确的式子是
a.()。
a.lim
*
kk?
1k
*
c.lim
3b.lim
x)
cd.lim
*3*
*3
c
3、4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有()次代数精度。
a.4b.5c.8d.9
4、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中,都会用到求解线性方程组的()。
a.lu分解法b.追赶法c.高斯消去法d.平方根法5、设a的特征值满足|?
a.
|?
|?
r?
1|?
n|,则相应幂法的速比ra?
()
b.
c.
d.
1、过节点
1,x1?
0,x2?
1做近似f(x)?
2的二次拉格朗日插值,其表达式
是。
2、若
x30?
s(x)?
a(x?
b(x?
c1?
是三次样条函数,则a?
b?
c?
3、设a?
,则cond?
(a)?
21?
4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵,
,若使
03?
1=0,则p?
c31?
5、设
2xy2?
1,则相应的隐尤拉公式为。
三、计算题(每小题10分,共50分)。
1、利用最小二乘法原理,求矛盾线性方程组
2的近似解。
2、设,
b?
若线性方程组
ax?
仅有右端有扰动
x
4。
试估计由此引起的解的相对误差
3、确定求积公式
a
f(?
a1f(0)?
a2f
(1),并指明其代数精度。
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