最新有理数及其运算课学案北师大版Word文件下载.docx
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正整数、正分数、0、负整数、负分数,但研究问题时,通常把有理数分为三类:
正有理数、0、负有理数进行讨论.
(2)通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0统称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数.
(3)在对有理数进行分类时,必须按同一标准进行分类,不能混淆标准
基本概念题
1、下面的数中哪些数是正数?
哪些数是负数?
+5,-3.14,125,-200,-73,1,0.3,10%.
-21,13,-2,+6,
722,0,0.8,34
1
,-4.2.
正数:
{
„};
负数:
正整数:
正分数:
负整数:
负分数:
„}.
基础知识应用题
3、
(1)如果收入60元记作+60元,那么支出20元记作
,-70元表示
.
(2)如果气温是零上20℃记作+20℃,那么零下7℃记作
4、判断题(对的在括号内画“√”,错的在括号内画“×
”):
(1)零是正数;
(
)
(2)零是整数;
(3)不是正数的数一定是负数;
(4)零是非负数;
(5)零是偶数.(
综合应用题
5、三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,下表是工作人员连续5天的水位记录(如果规定蓄水位为135米)情况,记录如下:
(单位:
米)
6月1日
6月2日
6月3日
6月4日
6月5日
-5
+2
-1
+3+2
问:
(1)这5天中每天的水位各是多少米?
(2)总的来说,水位是上升了,还是下降了?
若上升了,上升了多少?
若下降了,下降了多少?
2.2数轴
数轴的概念
1.画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到下面的数轴.
2.数轴的概念包含三层含义:
第一层含义是数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;
第二层含义是数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;
第三层含义是原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的.
3.数轴的画法
①画一条直线(一般画成水平的直线).
②在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下边标上“0”).
③确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来.
④选取某一长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3,„;
从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3,„(如图2—2—2所示).
说明:
(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取.
(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,„;
从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,
(3)画数轴常见的几种错误:
没有正方向;
没有原点;
单位长度不统一;
负数的排列错误,
数轴上的点与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示.
知识点2
相反数的概念
相反数的几何定义:
在数轴上原点的两旁,与原点距离相等的两个点所表示的数,互为相反数.4与-4互为相反数,1与-1互为相反数.
在数轴上,表示互为相反数的两点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等.
相反数的代数定义:
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
特别地,0的相反数是0.
(1)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能把它漏掉.
(2)相反数是成对出现的,不能单独存在.例如,-3和+3互为相反数,是说-3是+3的相反数,+3也是-3的相反数,单独的一个数不能说是相反数.
(3)“只有符号不同”中的“只有”指的是除了符号不同以外其余完全相同(也就是以后学到的绝对值相同).不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数,例如-2和+3,虽然符号不同,但它们不互为相反数.
知识点3
利用数轴比较有理数的大小
数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.
正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
提示:
因为正数都大于0,反过来,大于0的数都是正数,所以我们可用a>
0表示a是正数;
反之,知道a是正数也可以表示为a>
0.
同理,a<
0表示a是负数;
反之,a是负数也可以表示为a<
0.
知识点4
绝对值的概念
绝对值的概念:
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.例如,+3的绝对值等于3,记作|+3|=3;
-3的绝对值等于3,记作|-3|=3.
表示0的点与原点的距离是0,所以|0|=0.
一个数的绝对值与这个数的关系:
正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小.由于距离总是正数或零,故有理数的绝对值不可能是负数.
要求一个数的绝对值,应先判断这个数是正数、负数还是0,再求这个数的绝对值.
知识点5
比较两个负数的大小
对于两个负数,由于它们都位于原点的左侧,因而,绝对值越大的,在数轴上的位置就越靠左,而在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大,所以两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
比较两个负数的大小的步骤:
(1)先分别求出两个负数的绝对值;
(2)比较这两个绝对值的大小;
(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出判断.
有理数大小的比较法则
:
正数大于0;
负数小于0;
正数大于负数;
两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
知识点7
有理数加法法则
有理数的加法
法则如下:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;
绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
有理数加法的运算律
有理数加法的运算律用字母表示如下:
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
一般先把具有以下特征的数相加:
(1)互为相反数的两个数;
(2)符号相同的数;
(3)相加能得到整数的数;
(4)分母相同的数.
1、计算:
(1)(-2.76)+(+1.25);
知识点
有理数减法法则
有理数的减法运算可以转化为加法运算.
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b).
有理数减法运算的步骤:
(1)根据有理数的减法法则,把减号变为加号,把减数变为它的相反数;
(2)利用有理数的加法法则进行运算.
(1)在进行有理数减法运算时,关键是如何正确解决符号问题,使减法运算合理地转化为加法运算.应同时改变两个符号:
一是运算符号,由“-”变为“+”;
二是减数的性质符号,由“+”变为“-”或由“-”变为“+”.
(2)在进行有理数减法运算时,减数与被减数不能互换,即减法没有交换律
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.
任何数与0相乘,积仍为0.
提示:
(1)有理数乘法与有理数加法运算步骤类似.第一步:
确定符号;
第二步:
确定绝对值的积.
乘积为1的两个有理数互为倒数
有理数乘法的运算律
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即ab=ba.
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变,且(ab)c=a(bc).
乘法分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同两个数相乘,再把积相加,即a(b+c)=ab+ac.
知识点1
乘方的意义
一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,即
,这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n叫做指数,an读作a的n次幂(或a的n次方).
特别地,a2读作a的平方(或a的2次方),a3读作a的立方(或a的3次方).
(1)一个数可以看做它本身的1次方,指数1通常省略不写.例如:
2=21.
(2)当底数是负数或分数时,必须用括号将底数括起采.例如:
(3)负数的乘方与乘方的相反数不同.例如:
(-2)4=(-2)×
(-2)×
(-2)=16,-24=-2×
2×
2=-16.
知识点2
乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
0的正数次幂都是0.
(1)由于有理数的乘方运算是利用有理数的乘法进行的,故有理数乘方运算的符号可以利用有理数乘法的法则来确定.
(2)有理数的乘方运算同有理数的加、减、乘、除一样,首先确定符号,再计算绝对值.基本概念题
1、把下列各式写成乘方的形式,并指出底数和指数各是什么?
(1)(-3.14)×
(-3.14)×
(-3.14);
有理数混合运算的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减;
如果有括号,先算括号里面的.
有理数混合运算需注意的几个问题:
(1)有理数的运算,加减法叫做第一级运算;
乘除法叫做第二级运算;
乘方和开方(以后学)叫做第三级运算.一个式子中如果含有多级运算时,先做第三级运算,再做第二级运算,最后做第一级运算.同一级运算按照从左到右的顺序进行运算;
有括号时,按照小括号、中括号、大括号(或大括号,、中括号、小括号)的顺序进行运算.
(2)灵活地运用运算律,改变运算顺序,可以简化计算.
方法技巧
(1)混合运算,可以以加减号为界,把式子分成几部分,每一部分可同时单独运算.
(2)通常把小数化为分数,带分数化为假分数以便于约分.
补充:
一、去括号与添括号:
去括号法则:
括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉,括号内各项都不变;
括号前是“-”号时,将括号连同它前边的“-”去掉,括号内各项都要变号。
添括号法则:
在“+”号后边添括号,括到括号内的各项都不变;
在“-”号后边添括号,括到括号内的各项都要变号。
有理数的运算顺序:
有理数的混合运算法则即先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法。
有括号时、先算小括号里面的运算,再算中括号,然后算大括号。
注意符号:
(+)×
(+)=()同号得(-)×
(+)=()异号得
(+)×
(-)=()异号得(-)×
(-)=()同号得
练习题
二、巩固:
1、将下列各数进行分类,并填在相应的横线上:
-15,
,4.23,-1
,-20%,0,6,-(-2),-︱-3︱。
;
;
整数:
分数:
。
2、—4
的相反数是,绝对值是,倒数是;
3、若
=5,那么x=_____;
的相反数是;
4、若
则
=,若
5、已知p是数轴上的一点
,把p点向左移动2个单位后再向右移
个单位长度,那么p点表示的数是______________。
6、数轴上与表示-3的点距离5个单位的点所表示的数为_____
回思:
做5、6题时,可以结合数轴进行,这体现了哪种数学思想?
7、比较大小:
;
-3.14|-
|
有理数比较大小的方法:
利用数轴;
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
8、某地某日中午的温度为6℃,而夜间温度为–1℃,则中午比夜间温度高 ℃。
9、()+15=-17;
()-(-56)=36;
18-()=57
10、
三、范例:
例1.某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻,某天他从岗亭出发,晚上停留在A处,规定向北方向为正,当天行驶纪录如下(单位:
千米)
+12,-8,+9,-13,+7,-12,+5,-3
(1)A在岗亭何方?
距岗亭多远?
(2)若摩托车行驶1千米耗油0.05升,这一天共耗油多少升?
例2.计算:
(1)应按怎样的运算顺序进行?
(2)此题中哪里容易出错?
(3)
四、反馈训练:
1.计算:
(1)10
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)[
(
)×
36]÷
5
2.某班抽查了10名同学的期末成绩,以80分为基准,超出的记为正数,不足的记为负数,记录的结果如下:
+8,-3,+12,-7,-10,-4,-8,+1,0,+10;
①、这10名同学中,最高分是多少?
最低分是多少?
②、10名同学的平均成绩是多少?
(用简便方法计算)
作业
1、绝对值小于4的所有的整数的和是
2、∣a+4∣+∣b–3∣=0,则a+b=。
3、若a,b互为倒数,m,n互为相反数,则
=;
4.∣x∣=8,∣y∣=6,求x+y的值;
若∣x∣=3,∣y∣=5,且∣x-y∣=y-x,再求x+y的值;
5.计算:
、-(0.5)-(-3
)+2.75-(7
);
、[4
+(-
)]+[(-
)+6
];
、2005×
-1001×
④、2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69;
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