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TheEvaluationofTheTherapyofAIDSandPredictionofItsCurativeEffect
——Thetopicofchinaundergraduatemathematicscontestinmodeling
Student:
LiuYan-bo(Class051)
Instructor:
ZhangGuo-zhi
Abstract:
Currently,themainmeanswhichcontrolsAIDSistodecreasasmuchaspossibletheamountofHIVinthehumanbody.SothearticleisrelatetotwosetsofdatafromtheAIDSmedicaltreatmentorganizationoftheUnitedStates(accessory1andaccessory2),thenusingtheExcelandMatlabsoftwaretodealwiththem,andrespectivelygetthefunctionwhichresponsesachangeaboutthedensityofCD4adHIVgoingalongwithtime,andthepictureonachangeabout4kindsoftherapiesintheproblem.ThenmakeuseofLogisticmodel,stabilitymodel,thebiggestareamodelofcoveringwiththecurve,andthemethodofanalysisinlayerscangetthebesttreatment'sterminatetimeforthepatientwhotake3kindsofmedicineatthesametimeis167.4116weeks;
Amongthe4kindsoftherapies,thethirdoneisthebestoneforthepatientundertheageof30andtheforthoneisthebestoneforthepatientovertheageof30;
whenconsideringtheexpensesofthe4kindsoftherapies,thefirstoneisthemostprofitable.
Keywords:
CD4cell;
Thebesttreatmenttime;
Repressrate;
Oppositegrowthrate;
Contrastdiagram;
Estimate
1 问题的提出
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一,它的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”,英文简称AIDS,它是由艾滋病毒(医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV)引起的.这种病毒破坏人的免疫系统,使人体丧失抵抗各种疾病的能力,从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用,当CD4被HIV感染而裂解时,其数量会急剧减少,HIV将迅速增加,导致AIDS发作.
艾滋病治疗的目的,是尽量减少人体内HIV的数量,同时产生更多的CD4,至少要有效地降低CD4减少的速度,以提高人体免疫能力.
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法,目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用,而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据.ACTG320(见附件1)是同时服用zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量).193A(见附件2)是将1300多名病人随机地分为4组,每组按下述4种疗法中的一种服药,大约每隔8周测试的CD4浓度(这组数据缺HIV浓度,它的测试成本很高).4种疗法的日用药分别为:
600mgzidovudine或400mgdidanosine(去羟基苷),这两种药按月轮换使用;
600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine(扎西他滨);
600mgzidovudine加400mgdidanosine;
600mgzidovudine加400mgdidanosine,再加400mgnevirapine(奈韦拉平).
请你完成以下问题:
(1)利用附件1的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药,如果认为继续服药效果不好,则可选择提前终止治疗).
(2)利用附件2的数据,评价4种疗法的优劣(仅以CD4为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间.
(3)艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下:
600mgzidovudine1.60美元,400mgdidanosine0.85美元,2.25mgzalcitabine1.85美元,400mgnevirapine1.20美元.如果病人需要考虑4种疗法的费用,对
(2)中的评价和预测(或者提前终止)有什么改变.
2 问题的解决
2.1 问题的假设
1.在适合的条件下,HIV独立生存是以指数规律增长.
2.在适合的条件下,CD4细胞独立生存是以二分裂的形式增长.
3.CD4细胞均无记忆性.
4.病人服用药物后直接作用于CD4细胞,增加CD4细胞的数量来抑制HIV.
5.人群的年龄最大可以达到70岁.
6.四个星期为一个月,一个月为30天.
2.2 符号说明
x(t):
t时刻HIV的数量.
y(t):
t时刻CD4细胞的数量.
:
HIV的相对增长率(为常量).
CD4细胞的固有增长率(为常量).
病人服用问题
(1)中所提到的药物进入人体后人体内CD4细胞数量的增长率.
每周每个CD4细胞对HIV的抑制数量与HIV数量的比例系数,即抑制率(为常量).
每周每个单位的HIV对CD4细胞的感染和裂解的数量与CD4细胞数量的比例系数(为常量).
第
(
1,2,3,4)种药物的费用.
1,2,3,4)种疗法的费用.
2.3问题分析
问题
(1)的分析:
因为问题
(1)是要预测继续治疗的效果,或者确定最佳的治疗终止时间.同时由已知条件中可知在人类免疫系统中CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要的作用,即是说CD4细胞对HIV有着一定的抵制作用,在一定程度上可以控制HIV的增长,而HIV又会对CD4细胞感染裂解,根据这些关系列出模型,同时可以从数据中分析得到CD4细胞及HIV与时间变化的关系,从而可确定出最佳治疗时间就是要确定什么时间的时候CD4
细胞的数量和HIV的数量保持平衡,即在此时CD4细胞不在减少且HIV的数量不再增加.
问题
(2)的分析:
在附件2中给出了年龄这个变量,以及CD4的log(cd4count+1)的值,可以预测到结果当中应该是不同疗法的疗效与年龄这个变量有关.
对于给出的大量数据,要求解出哪种疗法具有更好的疗效,我们可以通过对大量的数据进行整理,从而找出CD4与测量时间的对应关系,拟合出图象,对图象进行分析,预测在该年龄阶段哪种疗法更好,并预测该疗法继续治疗的效果.
问题(3)的分析:
可以认为问题(3)是对问题
(2)的补充,需要进一步考虑费用问题,可以考虑引
用层次分析模型来解决该问题.
2.4 模型的建立和求解
模型I
因为CD4细胞与HIV在病人体内的增加与减少都是相互制约的,所以该模型是一种相互作用的模型,它是对Logistic规律的推广应用,从而对于HIV规模
的变化情况的方程就为
,
同时对CD4细胞数量
就满足下面的方程
这样便可以得到CD4细胞与HIV相互作用的数学模型
这是一个非线形微分方程组,对此进行讨论:
令
解得系统的两个平衡位置为
(0,0),
,作变换:
将坐标系平移,系统化为
在所作变换下,
点变为
(0,0),它是上式所对应线形系统的中心点.系统的解
都是周期解.尽管CD4细胞和HIV的规模在周期时间内的平均值却分别保持常数,而且正好分别等于平衡位置
处CD4细胞和HIV的规模,即
,
其中
为周期解
的周期,这里的周期
即为所求.
因为CD4细胞增长是属于两分裂的,所以它在单位时间内自身的固有增长率b=1.
根据附件1中所给的数据,剔除掉一些数量残缺的数据后对剩余数据中有规律的数
据通过Matlab程序进行六维拟合得到CD4细胞数量及HIV数量与时间的关系的图象及函数表达式如下:
图2-1CD4细胞数量与时间的关系
图2-2HIV的数量与时间的关系
然后将
的表达式带入到上面的非线形微分方程组的数学模型中取三组数:
5.7211,
2.9631;
3.1792,
127.168;
3.4017,
134.9535;
则可计算出各未知系数的值:
0.7103,
0.0230,
.
代入由周期式
得周期(即最佳终止用药时间)T=167.4116周.
模型II
利用Excel软件对附件2中的大量数据统计出每种疗法中患者的数量,这样就将全部患者按疗法分成四组,分别对每组数据按年龄进行排序,便于研究我们将年龄分成0-30,30-40岁,40-50岁,50-70岁四个阶段.然后按比例随机抽取不同年龄的患者,分析他们体内CD4细胞的数量,从而也就可以拟合出每个固定的测量时刻CD4细胞数量与年龄的变化曲线关系,也即分别作出在t=0,t=8,t=16,t=24,t=32,t=40(单位:
周)时刻时的图形.图形如下:
图2-1图2-2
图2-3图2-4
图2-5图2-6
对六个图形进行数据的分析,我们利用曲线的面积模型,各种疗法在以上六幅图中各个不同的年龄段曲线所覆盖的面积,所得的面积就是该年龄段所测量的时刻患者体内CD4细胞的总数量,然后得到每种疗法在我们所取的各个年龄段中,患者体内CD4细胞的总数量与时间的关系(见表2,其中每个表格第一行表示测量时刻,以下的数据表示所得的面积值).
表2-1三十岁以下
8
16
24
32
40
疗法一
4013.832
5665.7
-254.2
-2018.89
2010.339
-7699.21
疗法二
6091.7
-3729.9
4.31
-1337.5
290.811
1492.905
疗法三
-824.5
-815.6
4632
1714.878
6416.642
-2090.74
疗法四
1563.2
3976
2523.7
83.742
315.279
表2-2三十岁-四十岁年龄段
60.2
711.7
66
779.97
675.439
-75.196
-684.2
-558.7
6.3
-688.015
-147.327
-281.312
123.7
393.6
-313.3
-75.961
127.874
409.525
-90.7
477.2
166.4
66.321
607.399
表2-3四十岁-五十岁年龄段
1174.7
12663.9
10999.9
12888.91
11826.33
-2669.24
-10993.2
-10483.2
9832.2
-12516.2
-3079.86
-4652.92
1743.2
6213.1
-5518.2
-1337.82
2620.298
5362.951
-1935.5
8703
2347.6
729.591
9962.699
5362.95
表2-4五十岁-七十岁年龄段
120.4
1875.2
1742.6
136.191
1587.219
1049.745
-1880.5
-1531.7
1576.8
-1897.9
-444.129
-801.452
281.2
985.03
-918
-250.42
308.704
-289.9
1193.8
374.6
131.191
1041.745
利用Matlab软件绘出图形,可以得出在四个不同的年龄段患者体内的CD4细胞与时间的关系,具体图形如下:
图2-7图2-8
图2-9图2-10
通过对图2-7到图2-10的分析,年龄为三十是一个疗效的分界点.
三十岁以下疗法三的效果最佳,三十岁以上疗法四的效果最佳.而对于疗法二而言,
CD4的数量处于一个相对较低的状态,并且他的波动急剧.疗法二的疗效最差.同时分析以上的四幅图像,可以得出疗法与年龄的变化无关系.
从整体来看疗法四的治疗效果相对稳定,疗法一与疗法三次之.
本文对四种疗法评价的标准有两个:
整体的CD4数量相对较高,它的波动相对较小,亦即方差较小.
模型III
由问题
(2)中的条件可得各疗法的费用分别为:
1.60,
0.85,
1.85,
1.20(单位:
美元),设t=30(单位:
天),
则
102.3,
207,
147,
219(单位:
美元).
根据该条件,使用层次分析,设目标层为选择疗法,准则层为最经济,方案层为
,则可得成对比较阵(正互反阵)为
由归一法可得该模型的权向量矩阵w=
,和它的最大特征根
,从矩阵中可以看出疗法一所占的权重最大,所以疗法一是最经济的疗法.
所以当病人考虑上四种疗法的费用后,对问题
(2)中的评价和预测发生了变化,因为经济原因,患者可选择疗法一来治疗.
3模型的评价与改进
3.1模型的评价
模型的优点:
(1)采用的数学模型有成熟的理论基础,可信度较高.
(2)建立的数学模型都有相应的专用软件支持,算法简便,编程实现简单,推广容
易.
(3)利用数学工具,通过Matlab,Excel的方法,严格地对模型求解,具有科学性.
(4)在曲线的拟合中采取多维拟合,从而使所得函数关系更接近于实际状况,使结果更准确.
(5)问题
(2)中将年龄分段进行分析,更具推广意义.
模型的缺点:
(1)在问题
(1)的建模过程中,没有考虑到血液中主要有两类CD4细胞:
幼稚细胞记忆细胞.HIV对它们的分解和感染的能力是不同的,但这两种细胞的比例关系是很难确定的,以及每个人免疫力是不同的,且对药物的吸收也是不同的,影响它们的因素太多,不容易确定其比例关系,所以只能将其影响降到最低.
(2)所给数据太多,只能对其中一部分进行分析,所以可能在数据的抽取时略掉一些重要的变化点.
3.2 模型的改进
问题
(1)中模型应考虑到CD4细胞中幼稚细胞及记忆细胞的比例关系,因为HIV感染以后首先出现幼稚细胞的减少,使用喊蛋白酶抑制剂的三联药物治疗后,CD4细胞数的反弹可以分成三个阶段:
首先是CD4细胞在淋巴组织中的再分布;
然后是CD4记忆细胞的大量流入,同时T细胞活性降低,对记忆抗原的反应增强;
第三个阶段是HAART治疗至少12周以后出现幼稚细胞的增加.所以如果能将他们具体对HIV的影响加入模型中,更能贴近实际;
另外再加入对药物的吸收率,则问题更加完善,更具推广性.
问题
(2)中对待数据的处理上,很难做到对数据的全面处理.若能用数学软件对这些数据进行编程,所输出结果更加接近真实值.从而使数学模型更具有科学性,合理性.
参考文献:
[1][美]约翰G..,巴特利特,乔尔.爱滋病病毒感染的诊断与治疗[M].北京:
北京科学出版社,2002.
[2] 吴建国.数学建模案例精编[M].北京:
中国水利水电出版社,2005.
[3] 姜启源.数学建模[M].北京:
高等教育出版社,2003.
[4] 马知恩.种群生态学的建模与研究[M].合肥:
安徽教育出版社,1996.
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