免费点直线与圆锥曲线的位置关系Word格式.docx
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直线与圆锥曲线的相交的有关问题.
(解决办法:
先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系,再加以应用.)
2.难点:
圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围.
利用判别式法和内点法进行讲解.)
3.疑点:
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件.
用图形向学生讲清楚这一点.)
三、活动设计
四、教学过程
(一)问题提出
1.点P(x0,y0)和圆锥曲线C:
f(x,y)=0有哪几种位置关系?
它们的条件是什么?
引导学生回答,点P与圆锥曲线C的位置关系有:
点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域).那么这三种位置关系的条件是什么呢?
这是我们要分析的问题之一.
2.直线l:
Ax+By+C=0和圆锥曲线C:
引导学生类比直线与圆的位置关系回答.直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为:
相交、相切、相离.那么这三种位置关系的条件是什么呢?
这是我们要分析的问题之二.
(二)讲授新课
1.点M(x0,y0)与圆锥曲线C:
f(x,y)=0的位置关系
的焦点为F1、F2,y2=2px(p>0)的焦点为F,一定点为P(x0,y0),M点到抛物线的准线的距离为d,则有:
(由教师引导学生完成,填好小黑板)
上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明.
2.直线l∶Ax+Bx+C=0与圆锥曲线C∶f(x,y)=0的位置关系:
直线与圆锥曲线的位置关系可分为:
相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;
对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:
注意:
直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.
3.应用
求m的取值范围.
解法一:
考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求.
由一名同学演板.解答为:
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上,知:
0<m<5.
又 ∵直线与椭圆总有公共点,
即(10k)2-4x(m+5k2)×
5(1-m)≥0,
亦即5k2≥1-m对一切实数k成立.
∴1-m≤0,即m≥1.
故m的取值范围为m∈(1,5).
解法二:
由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以定点(0,1)必在椭圆内部或边界上,由点与椭圆的位置关系的充要条件易求.
另解:
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知:
又∵直线与椭圆总有公共点.
∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上.
故m的取值范围为m∈(1,5),
小结:
解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大;
解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷.
称,求m的取值范围.
利用判别式法.
并整理得:
∵直线l′与椭圆C相交于两点,
利用内点法.
设两对称点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2的中点为M(x0,y0),
∴y1+y2=3(x1+x2).
(1)
本例中的判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法,类似可解抛物线、双曲线中的对称问题.
练习1:
(1)直线过点A(0,1)且与抛物线y2=x只有一个公共点,这样的直线有几条?
(2)过点P(2,0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线有几条?
由学生练习后口答:
(1)3条,两条切线和一条平行于x轴的直线;
(2)2条,注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,故这样的直线也只有2条.
练习2:
求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程.
由教师引导方法,学生演板完成.解答为:
设(x′,y′)是曲线C上任意一点,且设它关于直线y=x-3的对称点为(x,y).
又(x′,y′)为曲线C上的点,
∴(y+3)2+4(x-3)2=4.
∴曲线C的方程为:
4(x-3)2+(y+3)2=4.
(三)小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件.
五、布置作业
的值.
2.k取何值时,直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离?
3.已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点,求m的取值范围.
作业答案:
1.由弦长公式易求得:
k=-4
当4-k2=0,k=±
2,y=±
2x为双曲线的渐近线,直线与双曲线相离
当4-k2≠0时,△=4(4-k2)×
(-6)
(1)当△>0,即-2<k<2时,直线与双曲线有两个交点
(2)当△<0,即k<-2或k>2时,直线与双曲线无交点
(3)当△=0,即k=±
2时,为渐近线,与双曲线不相切
故当-2<k<2时,直线与双曲线相交
当k≤-2或k≥2时,直线与双曲线相离
六、板书设计
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