六年级数学竞赛试题Word格式.docx

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问：

甲、乙两个工程队每天各修路多少米？

　　2.一个人从县城骑车去乡办厂。

他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。

又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。

3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。

将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。

求这个大长方体的体积。

　　4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所

多35本。

第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。

这批书共有多少本？

　　四、问答题（共35分）

　　1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。

保证一定获胜的对策是什么？

（5分）

2.有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。

现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？

（6分）

3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。

现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。

金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。

（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？

（3分）

（2）怎样裁剪所选用的下脚料？

（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分）

4.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。

怎样修改？

5.

（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？

（2）如果把上面

（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？

如果好分，怎么分？

如果不好分，为什么？

详解与说明

　　一、计算题

　　说明：

要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、

，马上就应该知道它可以化为3.6；

而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3×

36”变形为“6543×

3.6”，完成了这步，就为正

”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。

解这道题可以从不同的角度来观察。

解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“1×

3×

24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。

而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘

分子部分括号内三个乘积的和约去了。

本题是根据《数学之友》（7）第2页例5改编的。

　　3.解法一：

　　解法二：

解法一是求等比数列前n项和的一般方法，这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。

由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“2倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。

　　二、填空题

　　1.解：

（1×

9×

9+2）×

（1+9-9+2）×

（19-9-2）

　　=83×

8

　　=1992

　　或（1×

9＋2）×

9÷

2）×

（19-9+2）

2×

12

　　（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）

在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。

而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式，1992=83×

2，因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。

　　2.解：

55+15+25×

2=120（厘米）

要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。

容易判断：

下底最长，应为55厘米。

关键是判断腰长是多少，如果腰长是15厘米，15×

2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米。

读者从本报190期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。

　　3.解：

最少有

根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。

但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位）”。

　　不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座。

（1）●○○●○○●……

（2）○●○○●○○●○……

　　图16

　　4.解法一：

由1992÷

46=43……14

　　立即得知：

a=43，r=14

根据带余除法的基本关系式，有

　　1992=46a+r（0≤r＜a）

　　由r=1992-46a≥0，推知

　　由r=1992-46a＜a，推知

　　因为a是自然数，所以a=43

　　r=1992-46×

43=14

本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。

解法一是根据1992÷

a的商是46，因而直接用1992÷

46得到了a和r。

解法二用的是“估值法”。

　　5.解法一：

先算出这25位老人今年的岁数之和为

　　2000-25×

2=1950

　　年龄最大的老人的岁数为

　　[1950+（1+2+3+4+……+24）]÷

25

　　=2250÷

　　=90（岁）

两年之后，这25位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷

25=80（岁）

　　两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）

　　年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）

解法一采用了“补齐”的手段（详见本报241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）。

当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。

解法二着眼于25人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。

　　6.解：

根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。

本题是抽屉原理的应用。

应用这个原理的关键是制造抽屉。

从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。

换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内。

本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。

　　7.解：

得分最低者最少得

　　404-（90+89+88+87）=50（分）

　　得分最低者最多得

　　[404-90-（1+2+3）]÷

4=77（分）

解这道题要考虑两种极端情形：

（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。

第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时，第五名得分最少。

（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。

考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。

　　本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的。

　　8.解：

设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有

　　38X+90Y+（X+Y-1）=1000

　　39X+91Y=1001

　　要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。

由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：

X=7，Y=8。

即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少。

选手们读题之后，可以马上想到：

要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件，这样算起来就不那么简单了。

这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程时可别忘掉那损耗的1毫米，而且损耗了几个“1毫米”也不能算错，应该是“总段数-1”。

　　列出方程式之后，还有两点应当讲究：

（1）变形要合理；

（2）要选用简便算法。

如上面解法中，把1001写成7×

11×

13，39写成3×

13，91写成7×

13，使分子部分和分母部分可以约分，对于迅速推知最后结果是大有帮助的。

　　本题是《数学之友》（7）第51页练习六中的原题。

　　三、应用题

　　1.解法一：

假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多，那么两队一共修的路就要比4200米少600米，这3600米就相当于甲工程队用15天（15=3+6×

2）修完的，列式为

　　（4200-600）÷

（3+6×

2）

　　=3600÷

15=240（米）

　　240+100=340（米）

设甲工程队每天修路X米，那么乙工程队每天修路“X+100”米，根据题意，列方程

　　3X+6×

（X+X+100）=4200

　　解得X=240

　　从而X+100=340（米）

　　答：

甲工程队每天修路240米，乙工程队每天修路340米。

“假设”是我们解应用题时经常采用的算术方法，它体现了机智、敏捷，能迅速得到答案。

本题根据本报第234期第二版“思考题解答”一栏中的例题改编而成。

从题目可知，前30分钟行完总路程的一半，后20分钟没有把另一半行完，比总路程的一半少2千米。

换句话说，后20分钟比前30分钟少行了2000米。

为什么会少行呢？

原因有两方面：

（1）后20分钟比前30分钟少行10分钟；

（2）后20分钟比前30分钟每分钟多行50米。

这样，容易推知前30分钟里每10分钟所行的路程是20×

50+2000=3000（米）。

前30分钟每分钟行3000÷

10=300（米）总路程为

　　300×

30×

2

　　=18000（米）

县城到乡办厂之间的总路程为18千米。

解本题的关键是：

（1）通过比较，知道这个人前30分钟比后20分钟多行多少路程；

（2）找出前30分钟比后20分钟多行2000米的原因是什么。

详见本报209期《抓住矛盾找原因》一文。

设大长方体左（右）面面积为X平方分米，则大长方体表面积为10X。

切成12个小长方体后，新增加的表面积为

　　（3X+2×

2X）×

2=14X

　　12个小长方体表面积之和为

　　10X+14X=600

　　X=25

　　V=25×

10=250（立方分米）

把大长方体的表面积看作——“1”，则切成12个小长方体后，

5×

2=250（立方分米）

这个大长方体的体积为250立方分米。

这道题比较简单，只要明白把一个几何体切成两部分后，“新增加的表面积等于切面面积的2倍”这个关系，不过，在计算新增加表面积时，稍不留心就会弄错。

本题根据本报第226期第一版“教你思考”栏中的例题改编的。

　　又因为10包+25本+35本←→11包

　　所以1包←→60本

　　（14+11）×

60=1500（本）

（列方程解）

　　则有7X=14Y+35

（1）

　　5X=11Y-35

（2）

（1）-

（2），得ZX—3Y＋70（3）

（1）+

（2），得12X=25Y（4）

　　（3）×

6，得12X=18Y+420（5）

　　比较（4）、（5）两式，有

　　25Y=18Y+420

　　解得Y=60

　　12X=25×

这批书共有1500本。

这道题目里的数量关系其实很容易看出，解法一几乎是心算出结果的。

所以，不能把问题想得很复杂。

解法二比较容易想到，但设“未知数”也很有讲究，如果设这批书有X本，变形就比较麻烦了。

　　四、问答题

　　1.答：

保证一定获胜的对策是：

（1）先取1粒钮扣，这时还剩1991粒钮扣。

（2）下面轮到对方取，如果对方取n粒（1≤n≤4），自己就取“5-n”粒，经过398个轮回后，又取出398×

5=1990（粒）钮扣，还剩1粒钮扣，这1粒必定留给对方取。

本题只是把本报233期“奥林匹克学校”栏对策问题的“例1”改掉一个字——“胜”改为“输”。

一字之差，对策就要改变。

我们知道，解对策问题有一个基本思路：

把失败（输）的可能留给对手。

本题中，谁取到最后一粒钮扣谁就算输，因而，要想获胜，就必须抢到第1991粒。

想到这一点，就容易找到保证获胜的对策了。

　　2.答：

剪去的小正方形边长应为4厘米。

要回答这道题，可以先到一个表来比较一下。

通过比较，容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时，做成的纸盒容积最大。

　　从上面表中一下子可以看出结果。

　　还可以设被剪去的小正方形边长（纸盒的高）为h，那么，纸盒底面边长为24-2h。

它的容积为

　　因为24-2h+24-2h+4h=48（定数），根据《数学之友》（7）第23页所介绍的结论，当24-2h=4h时，（24-2h）×

（24-2h）×

4h乘积最大。

也就是说，当h=4时，V最大。

　　3.答：

（1）应选甲铁皮料。

（2）剪法如图17。

题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品，这就要求所选的铁皮料中包含的（a）（b）两种毛坯同样多；

又因为不能浪费材料，所以，只要算一算（数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形），看甲（或乙）材料中小正方形的总数能不能被（10+7=17）整除。

　　在回答第

（2）个问题时，可以把（a）（b）两块毛坯拼成图18，再根据上面所算出的结果，从中心处向四个方向剪开，就得到4个图18的形状。

仔细观察图17，容易发现图中的对称美，这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。

　　4.答：

可以把“1”改为“0”，也可以把“4”改为“3”，还可以把“1”改为“9”，把“2”改为“1”。

本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。

因为225=25×

9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被9整除。

被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。

有2+1+4+7+5=19=18+1=27-8，不难排出上面四种答案。

　　5.答：

（1）把9块中的三块各分为两部分：

这个分糖的问题很有趣。

先得算一算，9块糖平分给4个孩子，

因为题中有一句话限制了分的方法，这就是“每块糖至多只能切成两部分”。

注意这条“限制”。