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1~(.1)Q704N=7】0.0284139
进而插值点的个数为2N+1=143.
4.
35.求M,使侣[sinx-(.+如]冰为最小,并与26题结果作比较。
解:
/(-V)=sinxfp(x)=a+bx,0)(x)=l,(p{(x)=x
七.兀三]
(0o,Go)=J7Fdx=;
(0),饥)=金xdx=-^2,
』o
£
7勿3w
(01,代)=侣"
女=M(00,/)=sinxdx=-cosx
J-■
£
(G[,/)=J(j2xsinxdx=xd(-cosx)=-xcosx+j(2cosxJx=sinx(5=1
正规方程组为
n12
—_勿~「"
I「1
28a_1
¥
/人=1
824
Q
a=—(^-3)=0.11477,
7T
p(x)=0.11477+0.66444x
()
6.
试用二次多项式)•=6
(/•g)■£
/(为)g(%)
i•0
法方程组系数矩阵
法方程组右端顶
求解法方程组GC=尸得到
这样求得拟合多项式为
58
35
(2)
/(x)=cosnx,x[0,1].
(2)对/(x)=cosnx,xE[0,1]做线性变换x=土+即
3+1〕def
/(V)=COSHX=COS—^―兀~*京。
,IU[•1,1]
利用勒让德正交多项式川U)=1,pi(t)=,为基建立g(t)的一次最佳平方逼近多项式
*(0=—Po(0+zP1(0=
(仞,所)(〃,pi)
0—•8/H2..]2•
尹内u)+^-pi(‘)=・/‘
/(X)的最佳平方逼近为
(K2x•1)=•?
(2x•1)e•2.431708x+1215854
例4-11用下列方法计算积分「四并比较结果.
J1V
(1)龙贝格方法;
解
(1)计算见表4-4.
表4一4
k
7\k}
l\k)
71幻
13333333
1
1.1666667
1.1111111
2
1.1166667
1.10()0000
1.0992593
3
1J032107
1.0987253
1.0986403
10986305
4
10997677
1.0986200
1.0986130
1.0986126
1.0986125
取1=1.0986125
8.(第三问结果跟试题一样)
例4一16已知Xo=~,Xi=+,X2=
424
(1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式;
(2)指明求积公式所具有的代数精确度;
(3)用所求公式计可丁危
(1)过这3个点的插值多项式
其中
3•x。
)(x•Xi)〃(x2-Xo)(X2•K)八"
)
f1f(x)dxxf1P2(x)dx=
j0・Jo
故所求的插值型求积公式为
上述求积公式是由二次插值函数枳分而来,故至少具有2次代数精确度・再将/(x)={,x4代入上述求积公式,有
故上述求积公式具有3次代数精确度.
⑶Zx2dx=-(t]*由于该求积公式具有3次代数精确度,从而+为「fdx的精确值.
3Jo
7.如果,f(x)>
0,证明用梯形公式计算积分I=ff(x)dx所得结果比准Ja
确值大,并说明几何意义・
证明由梯形公式的余项
R(f)=・j/)3r(n),ne顷,b)
知,若/Xn)>
o,则R(f)vo,从而
ff(x)dx=r+R(f)VT
即用梯形公式计算积分所得结果比准确值大.
其几何意义为,/"
(X)>
0,故/(x)为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形
面积・
课本原题
14./(x)=P+b+3x+1,求./p。
,2'
,…,X7]及/[2°
2’,…,2*].
解利用/!
岛,由,…,X,]=厂L尸)(&
),知(〃+1)!
./12°
2*,・・・,2"
=出/乃代)=1
.42°
2*,…,2勺=亡=0
10.
例5一7~用LD〃分解法解方程组
3x+3x>
+5a3=10
3刀+5股+9x3=16
、5刀+9的+17用=30
5'
・1
■
・di
h\
/3i-
5
9
b\
di
/32
-5
17-
-hi
hi
1-
—
ch-
1-
由矩阵乘法得
dl=3,L2i=l,Lsi=5/3,d2=2,L32=2,d3=2/3
n.
19.证明:
若A是正交阵,则Cond(A)2=1.
证明因,4正交,故A1A=AA7=/,妒=彳,从而有
AI.2=vp(AtA)=Vp(/)=1
AI2=ATII2=Jp(AAt)=Jp(/)=1
Cond(4)2=4W2I‘4II2=1
21.设Ax=Z),其中Ae为非奇异阵,证明
(1)才A为对称正定矩阵;
证明
(1)(AtA)t=At(At)t=ATA故而为对称矩阵.
又刀非奇异,故对任意向量X。
0,有如。
0,从而有xTAtAx=(Jx)T(Ax)>
0即彳刀为对称正定矩阵.
12.
例9-1用欧拉法和改进的欧拉法求解初值问题
•y=j.*2,0wxw0.5
、MO)=1
取步长h=0.1,小数点后至少保留7位数字.
解欧拉法公式为
jwi=*“+hf(Xn,yn)=yn+.J《)=hx*+(1•hyn)yn
n=0,1,•••,4
改进的欧拉方法为
=力站+(1-hyn)yn
yn^\=#++/〔*-兄+企I・5L1],n=0,1,•••,4
代力=0.1,*。
=1入上两方法,计算结果见表9-1.
表9-1
H
Xn
欧拉法片
n
改进的欧拉法yn
0.1
0.9
0.91
0.2
0B2
02
0B36800066
0.3
0.75676
03
0.778583518
0.70849143
0A
0.734350049
0.5
0674295419
0.703636296
例9-9试讨论用二阶龙格-库塔方法
252数值分析导教•导学•导考
=yn+li[af(Xn.yn)+qf(xn+Chh,yn+fti/?
/(xn,必))]求解初值问题y'
=-10j,y(Ab)=*时的绝对稳定性条件.
解设模型方程为"
=板,Rc(x)V0,代入二阶龙格-库塔方法公式,有y^\=乒一y[q\yn+c>
3(片+隹i/八)山)]=
[1+(。
+Q)M-q&
}(-V?
)2]yn
由于是二阶方法,故G+Q=1,Q&
i=+,因此
■■
=1-(M)+y„
设计算贝时有扰动&
导致有扰动,即
>
n+l+&
♦I=1+(泌)+!
(V)'
(*”+&
)
12J■OKB/S
故有&
.]=1+(泌)+*(W6>
因此,当1-泌-V]时,二阶龙格-库塔方法绝对稳定.
本题x=-10,故应有1・10/7++X100〃V1,解得
例9-12试分别用数值积分法和泰勒展开法推导求解初值问题y=
/(X,y),X)=尹的如下中点公式
y^2=yn+2/?
/(,*尸1)
及其局部截断误差E(^).
解数值积分法.将y=/(x,y)的两边在[x,,X12]上积分,得
顶(工”2)=MXn)+J]f(x.Xx))dX
对上式右端积分使用中矩形公式
f\(x)dx=寸M・。
)+±
巾”(9(人・0)3,aWWWb
则有
y(AJ.+2)=y(xn)+2hf(x^\,XXn*i))+^[/(X,y(x))]x-^(2/O3
略去土[/(x,y(x))]>
(2仃,就有中点公式
24
y.2=贝+2hf(x>
*i,y-i)
易知,其局部截断误差为Tn+?
=十(&
)•也可用定义匚T=y(X+2h)-
y(x)-2"
y'
(Xi)求得局部截断误差.泰勒展开法.设显式的二步方法为
y^2=Goyn4-Q1丽1+/?
(ft+ft/^!
)则
T^2=y(xn+2)-Ooy(x„)-a,y(Xn+J)-11(Q)y(x,)+&
/(x”】))=y(xn)+2砂(x.)+土(2方)2+土(2人)。
(x.)+0(It)-
Q)y(xn)-ai(火x„)+hyf(x.)++乃y\x”)+土J;
y(&
)+。
("
))-8)hy\Xn)-§
力(,(Xn)+hy\xn)++疗y(e)+0(If))=
(1-Go-di)y(Xn)+(2-cu.&
-Pi)hy\x”)+
-、r*
2-+%・fiIryXxn)+-y・*a】・yfi1/y(x>
)+以片)所以,当
=1-Oo-Qi=0
o=2-0]-6)-ft=0
时,方法有二阶精度.特别地,取ao=l,ai=0,则&
)=0,展=2,方法即为
/(,y^\)
此时
7^i*2=+=~~!
iy(I)
16.
例7-8~曲线*=广・o.51x+1与y=2.4(-1.89在点(16,1)附
近相切,试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值心,使|xz・qWIO%
解两曲线的导数分别为/=3r-051和,=4%,两曲线相切,导数相等,故有
3x2-4,8x-051=0
令/(x)=3r-4.8x-051,则/(I)<
0,/
(2)>
0,故区间[1,2]是/(x)=0的有根区间.又当xE[1,2]时,/'
(x)=6x-4S>
0,因此/(x)=0在[1,2]上有惟一实根x\对/(x)应用牛顿迭代法,得计算公式
3系・4.8总•051;
八1c
E=*.6xk-4.8'
S0,1,2,.・.
由于f(x)=6>
0,故取xo=2迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示.
表7一6
Xk
2.0
\.706815287
2293055556
1.700025611
1.817783592
1.7
继续计算仍得冬=1.7,故F=1.7.
注本题也可令P-051x+1=2Ax2-1.89,解得切点横坐标满足方程/(x)=x3-2.4x2-51X+2S9=0,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时m=2.仍取Xc=2,经四步可得x"
=1.7.
17.
例7-4对于迭代函数<
!
)(x)=x+QY-2),试讨论:
(1)当C为何值时=<
1X必)性=0,1,2,…)产生的序列{以}收敛于
(2)C取何值时收敛最快?
(3)分别取C=.+,-旦己计算O(x)的不动点要求
22V2
|Xi.必|v10"
解
(1)<
])(x)=x+C(jc・2),巾’(x)=1+2Cr,根据定理7.3,当
W(£
)=1+2底v1,亦即・卡<
C<
0时迭代收敛.
(2)由定理7.4知,当寸(M)=1+272C=0,EPC=-六:
时迭代至少是二阶收敛的,收敛最快.
(3)分别取C=・+,・旦己并取知=1.2,迭代计算结果如表7-4
所示・
18.
例7-12~考虑卜列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法)
J(X”/(X*/(X*))-/(X*)
设/(X)-阶连续导数,/(『)=0,,(./)H0,试证明该方法是二阶收敛的.
证明将/(Xk+7(x0)在Xk处作台劳展开,得
/(^+f(Xk))=f(Xk)+/(Xk)/(Xk)++f(g)/(Xk)
其中&
介于以与,“+/(X*)之间.厂是
+/(X*))・/(X*)=f(Xk)f(Xk)++,(&
)/(慕)
.•f(Xk)
Xk^l-X=X*-X-j
/(X*)+十广(&
)/3)
由于是xx)=0的单根,故
/(X)=(x-x)A(x),万(/)H0
所以/(x*)=A(x*)+(xi-x°
)力'
(Xk)
.■(皿•x•)h(力)
Xi■x=x*•x■~=
/[(q)+(X*-xa)//(X4)+"
7f\I)f(Xk)
1川女)
.1•
)h(xk)+(.u-『)"
3)++/«
)/(.0)
•■
(X*-x-):
hf(Xk)++f(&
)//(Xk)
L4_.」
/»
(“)+(x*-x"
)h(,“)++/:
(.“)/'
(&
),u■
故
・//(X*)+-7/2(/)r(x"
«
.Xk^1・X2
11m;
—$=—~:
I-(段.x)-h(x)
即迭代法是二阶收敛的.
19.(类似)
例1-4要使717的相对误差不超过o.1%,应取几位有效数字?
解717的首位数字a\=4,设/有〃位有效数字,由定理1.1知相对误差限
笑1章绪论
s.(x-)^^Xl(y-=fX10-
令十Xl()fW0.1%,解得3097,即需取四位有效数字.
O
20.
例1-10试给山一种计算积分A=c"
丫(fdx近似值的稳定递推J0
算法.
解In=c'
1fexdx=c'
x'
1cx-fc'
dx"
=
JoLoJoJ
1-ne'
Jxn'
1erdx=1-nln.)
从上式可推得
/n-l=(12)
由此可以看到,当/”的近似值有误差&
时,/z的近似值有误差如I=&
(忽略n
除法运算引入的舍入误差).依次类推得到“近似值的误差为
随着递推过程的进行,初始误差对计算结果的影响越来越小,因而是一种稳定性很好的算法・
现在还需给出A的初始近似值,利用积分表达式知
io数值分析导教•导学•导考
e・1I
=er
〃一1Jo
x4dx<
A<
e*
1fxnedx=1[
Jo〃+1
(1
.4)
取
f1c-'
4
5)
2〃十
误差限
_―e”
6)
.〃+1〃+1.
—2(〃+1)
综合起来,初值由式(1.5)确定,递推过程依式(1.2)进行,误差控制由式
(12、乃〒fWIQ确企
23.
6.设虬i)=x・p(x)./*(x)・q(x)f(x),试确定函数p(x)和q(x),使求衅/(x)=。
且以Wx)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛.
解要求*1=三阶收敛到./•(》)=0的根/,根据定理7.4,应有
<
Kx"
)=x"
4(/)=0,巾"
(x“)=0.于是由
/=x"
-p(x"
)f(x)•q(x)/(x"
)=1.p(b)/(/)=0
*7x"
)=・2p'
(x”)f\x)-p(x)/(x"
)-2q(x)[/(/)]2=0
P(—)
1z-X1f,f(X)
77T7心)=TTrF7TF
故取
即迭代至少三阶收敛.
24.(类似)
|例4-3~取9个点的函数值,分别用复化梯形公式、复化辛普森公式计算
枳分项吁dx,并估计误差
解夏化梯形公式中小区间数为8,步长h=+,而复化辛普森公式中小
区间数为4,步长为h=十.
计算各分点Xk(k=0,1,…,9)的函数值/(x*)=:
AT•
/(0)=1.0000000,/土=0.9973979,j-7=09896158
IOJ14.
/十.0.9767267,/《=0.9588511,./十=0.9361556
bOxJIC.
/+=0.9088517,/号=0.8771926,/(I)=0B414710
I4Jo.
故有
K=—X-L[1DOO0000+2x(0.9973979+09896158♦
28
09767267+09588511+0.9361556*09088517+0X771926)+0.8414710]=09456909
&
=-J"
X4[1.0000000+4X(0.9973979+0.9767267+64
0.9361556+0B771926)+2X(0.9896158+0.9588511+
0.9088517)+0B414710]=0.9460833
为了估甘误差,要求/(x)=林的高阶导数,由于
.X
/(x)==fcos(xt)dt
XJo
Iir如、
故(x)=f7~7cos(xr)dr=f/cosxtdr
JodxJoI2J
从而有
|处(x)|w"
|co|.”+?
]|dfWj"
dL左故复化梯形公式的误差为
=.古W吉X叶「=00004340,作(0,1)对复化辛普森公式,误差为
JpI
I&
SZI-出[,土项(n)|w
=。
2712674X10\ne(0,1)
25确定求积公式
]>
-由伺女&
(罚缶)+"
(/)]+&
(/)土“痂
-中的系数
Ag。
使代数精确度尽量高,并给出的表达式。
公式中X,-"
。
解这是一个带权的且带导数值的求积公式。
为了积分方便,设该求积公式对
/3)=l立,
=疔(』+,)
=*J(0+ak)+*,((7+D)
=Aa(0+»
kJ)+A1(0+2W))
=A3(0+ak,)+*3(0+3fe3O)
化简得
』十,=[
8+20=4
8+30=1
37I1
=三/=三9=上0=-上
解得20203020
又因为
匚(句)(*-/
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