相似三角形的判定文档格式.docx

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角的透明直角三角板，使30°

角的顶点落在点P上，三角板绕P点旋转．

（1）如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；

（2）操作：

将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF．

①探究1：

△BPE与△CFP相似吗？

请说明理由；

②探究2：

△BPE与△PFE相似吗？

请说明理由．

5．点D是不等边三角形ABC的边AB上的一点，过点D作一条直线，使它与另一边相交截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作几条？

为什么？

6．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．

（1）试说明：

△ABD≌△BCE．

（2）判断△BDF与△ADB是否相似，并说明你的理由．

7．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：

△ABC∽△ADE．

8．在△ABC中，∠B=90°

，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．

（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？

（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？

（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？

9．△ABC中，∠C=90°

，∠A=60°

，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？

若有可能，求出此时t的值；

若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2014•甘肃模拟）（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

考点：

相似三角形的判定；

平行四边形的性质．菁优网版权所有

专题：

常规题型．

分析：

本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解．

解答：

解：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD

∴∠EDG=∠EAB

∵∠E=∠E

∴△ABE∽△DGE（第一个正确）

∵AE∥BC

∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG

∴△CGB∽△DGE（第二个正确）

∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF

∴△BCF∽△EAF（第三个正确）

第四个无法证得，故选D

点评：

考查相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

2．（2011•泰安）已知：

菱形的判定．菁优网版权所有

证明题．

（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；

（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°

，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．

证明：

（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，

∴EC=BE=

BC=AD，

又∵AD∥BC，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE∥DC，

∴△AOE∽△COF；

（2）连接DE，

∵AD∥BE，AD=BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

又∠ABE=90°

，

∴四边形ABED是矩形，

∴GE=GA=GB=GD=

BD=

AE，

∴E、F分别是BC、CD的中点，

∴EF、GE是△CBD的两条中位线，

∴EF=

BD=GD，GE=

CD=DF，

又GE=GD，

∴EF=GD=GE=DF，

∴四边形EFDG是菱形．

此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形与菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

3．（2010•虹口区一模）已知：

相似三角形的判定．菁优网版权所有

根据AB=AC，求证∠ABD=∠ACE，再利用AB2=DB•CE，即可得出对应边成比例，然后即可证明．

∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB2=DB•CE

∴

∴△ADB∽△EAC．

此题主要考查学生对相似三角形的判定这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．

（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°

，∠CPF+∠CFP=150°

，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；

（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明．

（1）证明：

∵在△ABC中，∠BAC=120°

，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°

．

∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°

∴∠BPE+∠BEP=150°

又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°

，∠EPF=30°

∴∠BPE+∠CPF=150°

∴∠BEP=∠CPF，

∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）解：

①△BPE∽△CFP；

②△BPE与△PFE相似．

下面证明结论：

同

（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：

BE=PF：

PE，而CP=BP，因此BP：

PE．

又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

这是一道操作探究题，它考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的30°

三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．

平行线分线段成比例．菁优网版权所有

这样的直线可以作4条，根据平行线分线段成比例定理推出相似，根据两角分别相等得到两三角形相似．

这样的直线可以作4条．理由是：

（1）若该直线与AC相交，

①过点D作DE∥BC，交AC于点E，则∠AED=∠C，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC．

②过点D作直线DF交AC于点F，使得∠ADF=∠C，

∴△AFD∽△ABC．

（2）同理，若该直线与BC相交，也可作①DG∥AC，②∠BDH=∠C，得到△BDG∽△BAC，△BDH∽△BCA．

∴这样的直线可以作出4条．

本题主要考查对相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能根据题意画出图形是解此题的关键．

全等三角形的判定与性质；

等边三角形的性质．菁优网版权所有

（1）根据等边三角形的性质，利用SAS即可求证△ABD≌△BCE．

（2）由

（1）可得∠BAD=∠CBE，再利用∠BDF与∠ADB是公共角即可求证△BDF∽△ADB．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE．

（2）△BDF∽△ADB．理由如下：

∵△ABD≌△BCE（已证）．

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠BDF与∠ADB是公共角，

∴△BDF∽△ADB．

此题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．

利用“两角法”来证：

如图，∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．

又∵∠B=∠D，

∴△ABC∽△ADE．

本题考查了相似三角形的判定．两角法：

有两组角对应相等的两个三角形相似．

三角形的面积；

等腰三角形的性质．菁优网版权所有

计算题；

动点型．

分别写出BP、BQ的关系式，

（1）△PBQ是等腰三角形，则根据BP=BQ即可求得t的大小，即可解题；

（2）写出△PQB的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和面积为10cm2即可求得t的大小，即可解题

（3）要使得△BPQ∽△BAC，则使得

=

即可．

设t秒后，则BP=6﹣t，BQ=2t，

（1）△PBQ是等腰三角形，则BP=BQ即6﹣t=2t，解得t=2；

（2）△PQB的面积为

BP•BQ=

（6﹣t）（2t）=5，即（t﹣1）（t﹣5）=0，解得t=1或5．

（3）①△BPQ∽△BAC，则

，即2t=2（6﹣t），解得t=3．

②△BPQ∽△BCA，则有BP：

BC=BQ：

AB，∴6﹣t：

12=2t：

6，解得t=1.2

∴当t=3秒或t=1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．

本题考查了三角形面积的计算，考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中正确列出关于t的方程式是解题的关键．

9．（2008•济宁）△ABC中，∠C=90°

二次函数综合题；

相似三角形的性质．菁优网版权所有

压轴题．

（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM=

AM•PM得出y与t的函数关系式，

（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值，

（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值．

（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°

t．

∴y=

t•

t=

t2（0≤t≤1）．

当点P在BC上时，PM=BM•tan30°

（4﹣t）．

y=

（4﹣t）=﹣

t2+

t（1≤t≤3）．

（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．

∴QN=BN•tan30°

（3﹣t）．

由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即

（3﹣t），

∴t=

．∴当t=

s时，四边形MNQP为矩形．

（3）由

（2）知，当t=

s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

除此之外，当∠CPQ=∠B=30°

时，△QPC∽△ABC，此时

=tan30°

∵

=cos60°

∴AP=2AM=2t．

∴CP=2﹣2t．

=cos30°

∴BQ=

又∵BC=2

∴CQ=2

∴当

s或

s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

本题利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题．