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範例：

假設一個房間有兩盞燈，但是要兩盞燈都能順利打開（成功）才能夠亮，一盞燈會亮的機率為0.90，而另外一盞燈會亮的機率為0.80，則兩盞燈可一起亮的機率為0.90×

0.80＝0.72，注意0.90×

0.80＝0.72這樣的乘法運算式子並不是重要的，也要注意的是，如果房間有三盞燈，則必須三個機率相乘。

這個系統可以用下面的圖形來表達：

即使一個系統的個別元件有高可靠度，但系統整體的可靠度仍較低，這是因為所有連續的元件（如前面的例子）必須都能發揮功能，當連續的元件數目增加時，系統的可靠度就會減少。

例如一個系統連續有八個元件，每個元件可靠度都為0.99，但系統的整體可靠度卻只有0.998＝0.923。

明顯地，許多產品和系統都有很多元件必須同時運轉，因此採用一些方法增加整體可靠度是需要的，一個方法是在設計中使用備用件（redundancy），這包含了針對一些項目提供備份元件。

準則二：

如果兩個項目是獨立的，當〝成功〞定義為至少一個項目會發生的機率時，則成功的機率等於任何一個的機率，加上（1.00－機率）再乘以另外一個的機率。

一個房間有兩盞燈，當打開開關時，其中一盞燈會亮的機率為0.90，而另一盞燈會亮的機率為0.80，如果一盞燈打開時不亮的話，另外一盞燈會亮，只要一盞燈亮就算成功。

因此，這兩盞燈中的一盞是另外一盞燈不亮時的備份，任何一盞燈都可做另一盞燈的備份，而成功的機率都是相同的，其成功的機率為0.90＋（1－0.90）×

0.80＝0.98，如果0.80的燈先亮的話，則計算會變成0.80＋（1－0.80）×

0.90＝0.98。

這個系統可以表示成下面的圖形：

準則三：

如果兩個或兩個以上的項目被包含時，當“成功”定義為至少其中一項會發生時，其成功的機率為1－P（失效）。

當打開開關時，有三個發亮機率為0.90、0.80、0.70的燈，但要成功只需要一個燈亮即可；

因此，其他兩盞燈就視為備份，則成功的機率為

1－[（1－0.90）×

（1－0.80）×

（1－0.70）]＝0.994

這個系統可以下列的圖形表示：

範例S-1

決定下列所示系統的可靠度：

這個系統可以減少成三個連續的元件：

則此系統的可靠度為：

0.98×

0.99×

0.996＝0.966

第二個觀看可靠度的方法則要考慮時間構面：

機率是相對於時間長度來決定，這個方法普遍使用在產品的保證，即是為符合產品購買後在所保證的一段時間內能正常運作。

隨著時間改變的產品失效率的輪廓描述於圖4S-1，由於它的形狀所示，有時候被稱為浴缸曲線，通常一些產品在進入服務後會立刻失效，不是因為它們耗損，而是因為它們一開始就有瑕疵，不過一旦瑕疵的項目被消除後，其失效率會迅速地減少。

在第二個階段期間，因為大部分的瑕疵項目已被消除，所以有較低的失效率，而且會持續一段時間後才會遭遇到有項目失效，因為它們已經耗損了，在一些案例中，這個階段會包含相當長的時期。

在第三個階段中，由於產品已經耗損，失效率會發生而且會增加。

（圖4S-1）

每個階段的分配與長度的資訊需要蒐集歷史資料與分析這些資料，它常常證實了在初期的失效率階段，其間隔兩次失效的平均時間（MTBF）為一負指數分配的模型，模型描述於圖4S-2，設備的失效率和產品的失效率可能都會以這樣的型態發生。

在這樣的案例中，指數分配可以用來決定所關注事項的不同機率，設備或產品開始從時間0使用後，其在特定時間（T）失效的機率會等於介於0與T之間曲線下方的面積。

可靠度是描述產品在至少到時間T之前，可以持續使用的機率；

可靠度等於超過T之後的曲線下方面積（注意每個階段在曲線下的總面積為100%，以利於計算）。

注意當特定服務時間的長度增加時，則在曲線下方的面積（即可靠度）會隨之遞減。

圖4S-2

決定曲線下所給定的點（T）右邊的面積，如果使用指數值的表會變成一件相對簡單的事情，指數分配可使用單一的參數來詳細描述，此單一的參數指的是分配的平均值，也就是可靠度中工程師常常提到的間隔兩次失效的平均時間。

使用T代表服務時間的長度，則其在時間T之前不會失效的機率（即右尾的面積）可以簡單的用下面的式子來決定：

P（在T之前不會失效）＝e－T/MTBF

其中，

e＝2.7183...

T＝在失效前的服務長度

MTBF＝間隔兩次失效的平均時間

在時間T之前會發生失效的機率為

P（在T之前會失效）＝1－e－T/MTBF

從所列的表4S-1選擇e－T/MTBF的值。

範例S-2

透過多方面的測試，一個製造商已經決定他的超級吸盤真空除塵清潔器樣式之預期使用壽命呈指數分配且平均值為四年，找出這些清潔器中的一個，其壽命會在下列條件下結束的機率：

a.使用四年後

b.使用四年之前

c.使用超過六年

解答：

MTBF＝4年

a.T＝4年：

T/MTBF＝4年/4年＝1.0

根據表4S-1得到e－1.0＝0.3679

表4S-1

b.在T＝4年之前失效的的機率為1－e－1.0＝1－0.3679＝0.6321

c.T＝6年

T/MTBF＝6年/4年＝1.5

根據表4S-1得到e－1.5＝0.2231

由於耗損而導致的的產品失效有時候是以常態分配來表示，可查表求值（參考附錄的表B），該表提供了常態曲線從左末端到特定點z的面積，其中z是以下列公式計算而得的標準值：

z＝（T－平均耗損時間）/耗損時間的標準差

因此，使用常態分配，瞭解分配的平均值及標準差是需要的，常態分配的描述如圖4S-3，附錄B包含了常態的機率（即z點左邊的面積）。

為了獲得服務壽命將不會超過某個T值的機率，先計算z值，然後參考附錄B查出z值的左邊面積所顯示的機率，再以100%減掉這個機率。

為求得某一已知的機率之T值，必須先找出附錄表B中最接近此機率值，然後利用相對應的z值，再由先前的公式計算出T值。

（圖4S-3）

範例S-3

某種滾珠軸承的平均壽命可以用常態分配的模式表示，且其平均壽命為六年，而標準差為一年，決定下面各個問題：

a.軸承在使用七年之前會耗損的機率

b.軸承在使用七年之後會耗損的機率（即求其可靠度）

c.可以提供10%耗損機率的服務壽命

耗損壽命平均值＝6年

耗損壽命標準差＝1年

耗損壽命呈現常態分配

a.計算z且使用附錄表B直接獲得其機率（參照下圖）

z＝（7－6）/1＝＋1.00

因此，P（T＜7）＝0.8413

b.用100%減掉a題的機率（參照下圖）

1.00－0.8413＝0.1587

c.使用常態表來尋找在曲線下10%面積的z值（參照下圖）

z＝－1.28＝（T－6）/1

則T＝4.72年。

4.3可用性Availability

一個對顧客與設計者都重要的相關衡量為可用性，其衡量期望設備能運轉順利的時間比率，可用性可以從0（從不有效）到1.00（總是有效），公司可以提供具有高可用性的設備，使其可以比提供較低可用性設備的公司更具競爭力。

可用性是間隔兩次失效的平均時間與平均修復時間的函數，可用性因子可以用下列的公式來計算：

可用性＝MTBF/（MTBF＋MTR）

MTBF＝間隔兩次失效的平均時間（Meantimebetweenfailures）

MTR＝平均修復時間（Meantimetorepair）

範例S-4

一台影印機在兩次修復的間隔中可以平均運轉200小時，而其平均修復的時間為2小時，計算此台影印機的可用性：

MTBF＝200小時，MTR＝2小時

可用性＝MTBF/（MTBF＋MTR）＝200/（200＋2）＝0.99

這個公式對設計者而言，有兩項隱含的意義，一項是當間隔兩次失效的平均時間增加時，可用性會增加，另外一項是當平均修復時間減少時，可用性也會增加。

設計者想要設計有較長的間隔兩次失效時間的產品是很明顯的，然而，一些設計者的選擇是強化修復的能力，並使其納入產品中。

例如，噴墨印表機就設計成墨水匣可以容易地更換。

4.4關鍵辭彙

availability

可用性

independentevents

獨立事件

Meantimebetweenfailures

間隔兩次失效的平均時間

redundancy

備用件

reliability

可靠度

4.5問題與解答

問題一：

一個產品設計工程師必須決定在一個系統中增加一個備用件的元件是否符合成本正當性，這個系統有一個主要的元件，其運轉的機率為0.98，而此系統如果失效，其會隱含著＄20,000的成本支出。

一個成本為＄100的轉換器可以加入此系統，而其功用為當系統失效時，其會自動轉換到備份的元件，請問，（刪）如果備份元件的運轉機率也是0.98的話，此系統是否應加入此備份元件？

因為轉換器運轉的機率並無給予，我們假設其運轉的機率為100％，則系統預期的失效成本（未包含備份元件）為＄20,000×

（1－0.98）＝＄400

加入備份元件後，能順利運轉的機率為

0.98＋0.02×

（0.98）＝0.9996

因此，系統失效的機率為1－0.9996＝0.0004，而包含備份元件的預期失敗成本為

＄100＋＄20,000×

（0.0004）＝＄108

因為此項成本小於沒有備份元件的成本，因此增加備份元件對成本的正當性而言似乎是明確的。

問題二：

由於中斷會造成額外的成本支出，當有機器故障時，公司有兩台可替代的機器可以使用，而正在使用的機器其可靠度為0.94，而備用的機器其可靠度為0.90與0.80。

當機器失效時，任何一台備用機器都可以用來提供服務，如果有一台失效，另外一台備用機器也可以使用，請計算系統的可靠度。

R1＝0.94，R2＝0.90，R3＝0.80

系統可以下列的方式表示：

Rsystem＝R1＋R2×

（1－R1）＋R3×

（1－R2）×

（1－R1）

＝0.94＋0.90×

（1－0.94）＋0.80×

（1－0.90）×

（1－0.94）＝0.9988

問題三：

一家醫院有三個火警系統，可靠度分別為0.95、0.97、0.99，當發生失火時，則其發佈警報的機率有多高？

如果所有的警鈴系統都失效的話，則不會發佈警報，因此至少一個警鈴會運作的機率為1－P（沒有運作的）：

P（沒有運作的）＝（1－0.95）（1-0.97）（1－0.99）＝0.000015

P（發佈警報）＝1－0.000015＝0.999985

問題四：

一個氣象衛星放在地球軌道運轉，預計有10年的預期壽命，決定下面各個服務長度不會耗損的可靠度，假設呈現指數分配：

a.5年b.12年c.20年d.30年

MTBF＝10年

計算T＝5,12,20,30時，T/MTBF的比率，並從表4S-1獲得e－T/MTBF的值，解答摘要在下表。

T

MTBF

T/MTBF

e－T/MTBF

a.5

10

0.50

0.6065

b.12

1.20

0.3012

c.20

2.00

0.1353

d.30

3.00

0.0498

問題五：

在問題四中的氣象衛星，其在5-12年之間會失效的機率為何？

P（5年＜失效＜12年）＝P（在5年後失效）－P（在12年後失效）

使用前面的解答，可以得到

P（在5年後失效）＝0.6065

－P（在12年後失效）＝0.3012

0.3053

在曲線下對應的區域如下圖所示：

問題六：

一條輻射狀輪胎的生產線為一家大公司所生產，其耗損的壽命是呈現常態分配，平均值為25,000英里且標準差為2,000英里，決定下面各項：

a.輪胎的預期耗損壽命平均±

2,000英里的百分比？

（即介於23,000英里與27,000英里之間）

b.輪胎預期在26,000英里與29,000英里之間會失效的百分比？

注意：

（1）英里類似時間，因此可用相同的方式處理；

（2）百分比是指機率。

a.“平均值在±

2,000英里”的說法可以轉換成距離平均值的一個標準差，因為標準差等於2,000英里，因此z的範圍為z＝-1.00到+1.00，而這兩點在曲線下的區域是介於P（z＜+1.00）與P（z＜-1.00）之間的差異，使用從附錄B所查得的值：

P（z＜+1.00）＝0.8413

－P（z＜-1.00）＝0.1587

P（-1.00＜z＜+1.00）＝0.6826

b.耗損平均值＝25,000英里

耗損的標準差＝2,000英里

P（26,000＜耗損＜29,000）＝P（z＜z29,000）－P（z＜z26,000）

z29,000＝（29,000-25,000）/2,000＝＋2.00，來自附錄B，P＝0.9772

z26,000＝（26,000-25,000）/2,000＝＋0.50，來自附錄B，P＝0.6915

差異為0.9772－0.6915=0.2857，其代表著的輪胎在26,000英里至29,000英里間會耗損的預期百分比。

4.6討論與複習問題

1.定義可靠度。

2.解釋為何一個產品或系統的整體可靠度會低於其有組成元件的可靠度，而這些元件都有著高可靠度。

3.什麼是備用件以及它如何改善產品設計？

4.7問題

1.考慮下面的系統：

1.計算系統在以下的這些條件下，其運轉的機率：

a.系統如圖所示。

b.各個元件有一機率為0.90的備份元件，而其轉換器100％可靠。

c.備份元件有0.90的機率且轉換器有99％可可靠。

2.一個產品是由四個零件所組成，為了使產品在給予的情境下能適當地發揮功能，各個零件必須都要能發揮功能，其中，有兩個零件有0.96運轉的機率，而另外兩個有0.99運轉的機率，則該產品能適當地發揮功能的機率為何？

3.一個系統有三個相同的元件，為了使系統能預期的運轉，所有的元件都必須要能夠運轉，而每個都有相同的運轉機率。

如果系統有0.92運轉的機率，則各個個別元件所需要的最小運轉機率為多少？

4.一個產品工程師發展一個系統元件的成本方程式：

C＝（10P）2，其中C是成本的金額，P是元件預期運轉的可靠度，這個系統由兩個相同的元件所組成，這兩個元件都必須要能運轉，系統才能運轉。

工程師可以花費＄173購買這兩個元件，則元件的最大可靠度為何？

計算至小數點後兩位的最接近值。

5.一個出口的導引系統由具有三個模組的電腦控制，為了要使電腦正確地運作，三個模組必須都要能運作，其中兩個模組的可靠度為0.97，而另外一個可靠度為0.99。

a.電腦的可靠度為何？

b.一個相同的備份電腦被建置用來改善整體的可靠度，假設當主要的電腦失效時，新電腦會自動運作，決定最後的可靠度。

c.如果在第一台電腦失效後，備份電腦需要轉換器才能運作，且轉換器的可靠度為0.98，則系統的整體可靠度為何？

（為了使備份電腦能夠接管失效的電腦，轉換器與備份電腦都必須能夠運作）

6.由自動伺服器系統的主要生產者，所設計的其中一個工業機器人，有著四個主要的元件，元件的可靠度為0.98、0.95、0.94與0.90，機器人要能有效率地運作，則所有的元件必須能都發揮功能。

a.計算機器人的可靠度。

b.設計者想要透過增加備份元件來改善可靠度，由於空間的限制，只能增加一個備份元件，而任何一個元件的備份元件的可靠度，都與其個別的可靠度相同，如果要達到最高的可靠度，哪個元件應該使用備份元件？

c.如果一個可靠度為0.92的備份元件，可以加到任何一個主要元件上，則應該選擇哪個主要元件使用備份元件，才能有最高的整體可靠度？

7.一個產品線有三台機器A、B、C，其可靠度分別為0.99、0.96與0.93，一台機器如果故障，則其他兩台也會停工，所以機器必須要做配置，工程師正在權衡兩個替代設計方案，來增加產品線的可靠度。

計畫一包含了增加一條相同的備份產品線，而計畫二包含了為每一台機器提供一台備份機器。

在任何一個計畫中，三台機器（A、B、C）會使用與原始三台機器相同的可靠度。

a.哪個計畫能提供較高的可靠度？

b.解釋為什麼兩個可靠度是不同的？

c.還有什麼其他因素會影響採用哪一個計畫的決策？

8.參考之前的問題

a.假設單一轉換器使用在計畫一，其有98%可靠度，而機器的可靠維持不變，重新計算計畫一。

比較這個計畫的可靠度與原始問題計畫一的可靠度，當使用98%可靠度的轉換器時，計畫一的可靠度減少了多少？

b.假設三個轉換器使用在計畫二，其都有98%可靠度，而機器的可靠度維持不變，重新計算計畫二的可靠度。

比較這個計畫的可靠度與原始問題計畫二的可靠度，計畫二的可靠度減少了多少？

9.一個網頁伺服器有五個主要元件，其都必須要能發揮功能才能使伺服器如預期的運作，假設系統的各個元件有相同的可靠度，則要使整體系統的可靠度為0.98的話，各個元件的最小可靠度應該為多少？

10.重複問題9，在其中一個零件有備份元件且其可靠度相等於任何一個元件的條件下，其各個元件的最小可靠度應該為多少？

11.為了能增加達到執行目標的機會，研究專案的領導者分派了三個分開的研究團隊於相同的任務中，領導者估計在分配時間內能成功完成這項任務的團隊機率為0.9、0.8與0.7，假設團隊工作是獨立的，則團隊不能在時間內完成任務的機率為何？

12.一個電子象棋遊戲其使用的壽命成指數分配，且平均為30個月，決定以下各項：

a.在指定的單位下仍能使用的機率，至少

（1）39個月，

（2）48個月，（3）60個月

b.在指定的單位下會失效的機率，超過

（1）33個月，

（2）15個月，（3）6個月

c.失效單位比例大約等於下列比例的時候，決定服務時間的長度。

（1）50%，

（2）85%，（3）95%，（4）99%

13.一個程式計算機的製造商針對一個短期間就會上市的型號，要決定其免費服務期間，產品測試的經理表示計算機的預期壽命為30個月，假設產品壽命可以用指數分配來描述的話：

a.如果服務契約的訂定是以預期的計算機壽命為準的話，在服務期間，對於這些計算機有多少比例預期會失效？

b.服務期間為何會導致大約10%的失效率？

14.LuckyLumen的燈泡，其預期壽命呈現指數分配，平均壽命為5,000小時，決定其中一個燈泡可以持續下面條件的機率：

a.至少6,000個小時

b.不超過1,000小時

c.介於1,000小時至6,000小時之間

15.行星通訊機構預計大量生產衛星，其可以使用Alaska的材料來強化電視節目的接收性，根據其設計者的說法，其預期壽命為六年，假設應用指數分配，決定下列各時間期間，衛星可以發揮功能的機率：

a.超過9年

b.小於12年

c.超過9年但小於12年

d.至少21年以上

16.一個辦公室主管從顧問端收到了一份的報告，其報告一部份是關於設備的替換，這個報告指出掃描器的服務壽命是呈現常態分配的，其平均值為41個月，而標準差為4個月，以這個資訊為基礎，決定在下列的時間期間中，掃描器預期失效的百分比為何？

a.服務38個月之前

b.介於40至45個月的服務

c.平均壽命值±

2個月

17.一個主要的電視製造商，其19吋彩色電視映像管的平均服務週期為一常態分配的模式，而其平均週期為六年，標準差為半年：

a.當指定服務壽命至少為下列條件時，其機率為何？

（1）5年，

（2）6年，（3）7年半

b.如果製造商提供這些映像管四年的服務契約，則在服務期間來自耗損的預期失效比例為何？

18.參考問題17，在預期的耗損率為下列的條件下，服務期間應為多久？

a.2%

b.5%

19.決定下面例子的可用性：

a.MTBF＝40天，平均修復時間＝3天

b.MTBF＝300小時，平均修復時間＝6小時

20.一台機器平均可以運轉10週，之後就要拆開檢查，其流程需要2天，而機器一星期運轉5天，計算這台機器的可用性。

21.一個管理者必須在兩台機器之間做決定，其必須考慮每台機器的運轉成本與起始成本以及故障與維修的次數，機器A預期的運轉時間平均為142小時，而其預期的平均維修時間為7小時；

機器B預期的平均運轉時間為為65小時，而預期的維修時間為2小時。

每台機器的預期可用性為何？

22.一個設計者估計她可以（a）用成本＄450增加5%的間隔兩次失效的平均時間，或者是（b）用成本＄200減少10%的平間維修時間。

哪個選擇最具成本效益？

現在，間隔兩次的平均失效時間為100小時，而平均維修時間為4小時。

23.自動電池有2.7年的平均壽命，電池壽命呈常態分配，其平均值為2,7年，標準差為0.3年，而電池保證可用最少2年，如果電池在保證期間失效，則不索價任何費用替換新電池。

公司販賣與安裝電池，而安裝費用通常收取＄5：

a.在保證期結束前，電池預期失效的百分比為何？

b.競爭者提供了有30個月保證期的超值電池，這家公司的管理者漫不經心的認為這個點子是將不同的外表用在相同的電池上，並貼上〝超值〞電池與提供30個月的保證期。

這家公司要增加多少對超值電池的索價才能抵銷替換電池的額外成本？

c.除了電池的價格之外，還有什麼其他因素需要考慮？