五年级基础奥数辅导讲义118李鸿志概况Word文档格式.docx

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⑴0.50.50.50.50.5=0

⑵0.50.50.50.50.5=1

⑶0.50.50.50.50.5=3

⑷0.50.50.50.50.5=4

⑸0.50.50.50.50.5=5

解决平均数问题的关键是根据已知条件确定“总数”和“份数”。

它们之间具有下列数量关系：

平均数=总数÷

份数总数=平均数×

份数份数=总数÷

平均数

例1：

某商店将4千克水果糖和6千克奶糖混合成什锦糖，已知水果糖每千克4.2元，奶糖每千克5.6元，那么什锦糖每千克多少元？

解（4.2×

4＋5.6×

6）÷

（4＋6）

=50.4÷

10

=5.04（元）

答什锦糖每千克5.04元。

例2：

汽车往返于甲、乙两地之间，去时每小时行30千米，返回每小时行60千米。

求汽车往返的平均速度。

解设甲、乙两地的路程是120千米。

120×

2÷

（120÷

30＋120÷

60）

=240÷

（4＋2）

=40（千米）

答汽车往返两地的平均速度是每小时40千米。

说明当题目条件较少时，往往可采用设数的方法来解决问题。

如上题还可以假设甲、乙两地的路程是30千米、60千米等，其结果是一样的。

试试看

1、小华期中考试语文和外语两科的平均分是96分，数学成绩是93分，求小华的语文、外语和数学的平均成绩。

2、某班有40名学生，期中数学考试，有2名同学因故缺考，这样全班平均分为89分。

缺考的两个同学补考都得99分后，这个班的平均成绩是多少？

3、汽车从甲地到乙地，每小时行50千米，18小时到达，然后从乙地返回甲地，每小时行75千米。

问汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？

在有些应用题中，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量，先把题中的条件按对应关系一一排列出来，思考时可以通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，设法消去一个或一些未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目，变成比较简单的题目解答出来，这种方法叫做消去法。

小红在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付0.59元。

小黄买同样的2块橡皮和3把小刀，共付0.43元。

问：

一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少元？

解（0.59－0.43）÷

（4－2）=0.16÷

2=0.08（元）

（0.43－0.08×

2）÷

3=0.27÷

3=0.09（元）

答一块橡皮0.08元，一把小刀0.09元。

试试看

1、买3枝钢笔，2块橡皮共付4.98元。

若买5枝钢笔、2块橡皮要付7.98元。

问一枝钢笔、一块橡皮各值多少元？

2、小卫到百货商店买了2枝圆珠笔和1枝钢笔，用去人民币5.5元。

如果买一枝圆珠笔和2枝钢笔要人民币6.5元，问1枝圆珠笔和1枝钢笔价格各是多少元？

3、2份蛋糕和2杯饮料共用28元，1份蛋糕和3份饮料共用去18元，问一份蛋糕和一杯饮料各需多少元？

流水行程问题，是行程问题的一种。

常见数量关系如下：

顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷

2

水速=（顺水速度－逆水速度）÷

解题时要认真读题，理清数量关系，在此基础上，运用上述数量关系式就能解决问题。

例1甲、乙两港间的水路长208千米。

一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

解顺水速度：

208÷

8=26（千米／小时）

逆水速度：

13=16（千米／小时）

船速：

（26+16）÷

2=21（千米／小时）

水速：

（26－16）÷

2=5（千米／小时）

答船在静水中的速度为每小时21千米，水速为每小时5千米。

1、两个码头相距352千米。

一船顺流而下，行完全程需要11小时，逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河的水流速度。

2、甲、乙两地相距234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回乙港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？

3、两地相距360千米，一艘游艇在其间驶了个来回。

顺水而下时需要12小时，逆水返回时需要18小时。

求游艇的船速。

第五课时盈亏问题

（一）

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，如果每人少分，则物品有余（盈），如果每人多分，则物品不足（亏）。

已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：

解法一：

两次结果差÷

两次分配数量差=组数

每组少分数量×

组数＋剩余量=物品总数量

解法二：

每组多分数量×

组数－不足数量=物品总数量

把一堆糖果分给小朋友们，如果每人分2块，将剩余12块;

如果每人分3块，将缺少2块。

那么小朋友共有多少人？

解（12＋2）÷

（3－2）=14（人）

答：

小朋友共有14人。

1、把一堆糖果分给小朋友，若每人2块，将剩余12块;

若每人3块，将缺少5块。

2、幼儿园分饼干，若每人分3块，则余14块；

若每人分4块，则还有三名小朋友没分到。

一共有多少名小朋友？

有多少块饼干？

3、一筐鸡蛋，若5个一包多4个，7个一包少6个。

这筐鸡蛋至少有多少个？

例全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学，如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。

这个班有多少个同学？

【思路导航】根据题意可知：

每条船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；

每条船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。

因此，每船坐9人比每船坐6人可多做9+6=15（人），15里面包含5个（9－6），说明有5条船。

知道了有5条船，就可以求全班人数了。

（9＋6）÷

（9－6）=5（条）

9×

﹙5－1﹚=36（人）

这个班有36人。

1、老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；

如果增加一个同学，正好每人分得4个。

求这篮苹果一共有多少个？

2、五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；

如果减少一条船，正好每只船上坐8人。

求这个年级共有多少个同学？

3、一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；

若4人一间又少了2个房间。

旅游团共有多少人？

例五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个平均数是16，这个改动的数原来是多少？

解18×

5－16×

5=10

10＋6=16

这个改动的数原来是16。

1、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。

被改的数原来是多少？

2、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分，可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。

求甲在这次考试中得了多少分？

3、五

（1）班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。

经重新计算后，全班的平均成绩是91.7分，五

（1）班有几名学生？

例小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四位同学的成绩分别为78分、91分、82分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。

求小芳的数学成绩。

【思路导航】四名同学的平均分是（78+91+82+79）÷

4=82.5（分），后来加进小芳后，因为小芳的成绩比五人的平均成绩高6分，这6分平均分给这四名同学，82.5+6÷

4=84（分）就是五人的平均分，小芳的数学成绩为84+6=90（分）

解（78+91+82+79）÷

4=82.5（分）

82.5+6÷

4=84（分）

84+6=90（分）

小芳的数学成绩为90分。

1、一个技术工带5个普通工人完成一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工的收入比他们6人的平均收入还多20元，问这位技术工得多少元？

2、小华读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多32页，小华第五天读多少页？

3、两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下，第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳多少下？

一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。

在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）;

也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。

在实际解题时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。

例五年级有六个班，每班人数相等。

从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数，原来每班多少人？

【思路导航】从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×

6=96（人）。

剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来（6－4）个班的人数，所以，原来每班96÷

2=48（人）

16×

6÷

（6－4）=48（人）

原来每班48人。

1、五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数，原来每人存款多少元？

2、把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半，这堆货物一共有多少箱？

3、老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵树。

这批树苗一共有多少？

较复杂的一般应用题中，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。

因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。

例1甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克，结账时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？

【思路导航】三人拿同样的钱买苹果应该分得同样多的苹果。

24×

3=16（千克），也就是丙少拿16千克苹果，所以得到24×

2=48（元）。

每千克苹果是48÷

16=3（元）。

24×

3=16（千克）

16=3（元）

每千克苹果3元。

1、甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。

问每支铅笔多少钱？

2、春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱，求每个面包多少元？

3、“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来7张红纸，小英买来了和红纸同样价格的5张黄纸，教师把这些纸平均分给小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。

问老师把9元钱怎样分给小华和小英？

例2一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水800桶。

一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水多少桶？

【思路导航】50分钟两台抽水机一共抽水（18+14）×

50=1600（桶）。

1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进的，另800桶是50分钟内又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷

50=16（桶）。

解：

（18+14）×

50－800=800（桶）

800÷

50=16（桶）

答：

平均每分钟漏进水16桶。

试试看

1、一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。

两管齐开，20分钟能把一池水放完，已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？

2、某工地原有水泥120吨。

因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每辆车每天送25吨，3天后工地上共有水泥102吨，求这个工地平均每天用水泥多少吨？

3、一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完，如果让两队同时合运，几小时运完？

解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：

1、弄清题意，找出已知条件和所求问题；

2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；

3、拟定解答计划，列出算式，算出得数；

4、检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写答案。

例把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米，求竹竿的长。

【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的部分是40×

2=80（厘米）。

这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是（80－13）×

2=134（厘米）。

（40×

2－13）×

2=134（厘米）

竹竿长134厘米。

1、有一根铁丝，截去了一半多10厘米，剩下部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。

这根铁丝原来长多少米？

2、有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米，这根竹竿原来长多少厘米？

3、两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根长度的4倍，这两根电线原来各长多少米？

周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

例有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？

这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？

【思路导航】根据题意可知，这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，即5+9+13=27（朵）花为一周期，不断循环。

因为249÷

27=9……6，也就是经过9个周期还余下6朵花，每个周期中前5朵应是红花，第6朵应是黄花。

249÷

（5+9+13）=9……6

红花有：

5×

9﹢5=50（朵）

黄花有：

9×

9＋1=82（朵）

绿花有：

13×

9=117（朵）

最后一朵是黄花。

红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。

1、

≈0.142857142857……小数点后面第100个数字是多少？

2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？

三种颜色的灯各占总数的几分之几？

3、在100米的跑道两侧每隔2米站立着一个同学。

这些同学从一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。

问这些同学中共有多少个女生？

倍数问题是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。

解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。

例有两筐橘子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；

如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍。

甲、乙两筐原来各有多少个橘子？

【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×

2=16（个）橘子。

如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×

2=42（个）。

因此，乙筐里还有42÷

（2－1）=42（个），原来乙筐里有42＋13=55（个），甲筐里有55＋16=71（个）。

（8×

2＋13×

﹙2－1﹚=42（个）

42＋13=55（个）55＋8×

2=71（个）

原来甲筐有71个，乙筐有55个橘子。

1、甲、乙仓存有货物，若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；

若乙仓取14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两仓各存货物多少吨？

2、兄、弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元，弟弟买了3支笔，每支笔1.2元，现在弟弟的钱是哥哥的3倍。

兄、弟两人原来各有多少元？

3、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；

如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。

原定夏令营中男、女生各多少人？

和倍问题的数量关系是：

和数÷

（倍数+1）＝较小数较小数×

倍数=较大数

差倍问题的数量关系是：

差数÷

（倍数－1）=较小数较小数×

例养鸡场的母鸡的只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍。

原来养鸡场一共养了多少只鸡？

【思路导航】养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，母鸡增加60×

6=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。

可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。

因此，现在母鸡的只数只有公鸡的4倍，少了2倍。

所以，现在公鸡的只数是300÷

2=150（只），原来有公鸡150－60=90（只），一共养了90×

（1＋6）=630（只）鸡。

（60×

6－60﹚÷

﹙6－4﹚＝150﹙只﹚

﹙150－60﹚×

﹙1＋6﹚＝630﹙只﹚

原来养鸡场一共养了630只鸡。

1、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍。

今年小明多少岁？

2、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的6倍。

食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？

3、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉了10只黑兔，买来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。

饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？

十六课时假设法解题

假设法是解应用题时常用的一种思维方法。

在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。

例甲、乙两人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。

两人各投10次，共得152分。

其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？

【思路导航】我们可以先算出每人各得多少分。

甲得﹙152＋16﹚÷

2＝84﹙分﹚，则乙得152－84=68（分）。

甲投了10次，假设10次都投中就该得10×

10=100（分），而事实只得了84分，少得100－84=16（分），因为脱靶一次不仅得不到10分还要倒扣6分。

因此，甲共脱靶16÷

（10＋6）=1（次）。

甲中了10－1=9（次）。

再用同样的思路可以分析出乙中靶几次。

解:

﹙152＋16﹚÷

2＝84﹙分﹚

10－（10×

10－84﹚÷

﹙10＋6﹚＝9﹙次﹚

152－84=68（分）

10－（10×

10－68﹚÷

﹙10＋6﹚＝8﹙次﹚

甲中9次，乙中8次。

1、百货公司委托搬运站运送500只玻璃瓶，双方商定每只运费0.24元，如打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得搬运费115.50元。

搬运中打破了几只？

2、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错一题不仅不得分，而且要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问他答对了几题？

3、甲组工人生产一种零件，每天生产250个。

按规定每个合格记4分，生产一只不合格要倒扣15分。

该组工人4天共得了3753分。

问生产合格的零件多少只？

行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。

行程问题的主要数量关系是：

路程＝速度×

时间。

知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。

例甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。

一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络。

甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。

两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？

【思路导航】要求骑自行车的同学共行多少千米，就要知道他的速度和所行时间。

骑自行车同学的速度是每小时14千米，而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。

因此，用18÷

﹙5＋4﹚＝2﹙小时），用这个时间和骑车的同学的速度相乘就得到了他一共行的千米数。

18÷

﹙4＋5﹚=2（小时）

14×

2=28（千米）

骑自行车的同学共行28千米。

1、两只队伍从相距55千米的两地相向而行。

通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。

已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米？

2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。

甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。

甲带着一只狗，狗每小时行10千米。

这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。

这只狗一共走了多少千米？

3、两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。

如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度。

鸡兔同笼问题是我国古代一个很有趣的数学问题，解决此类问题的方法通常是用假设法。

解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：

（1）鸡数=（兔脚数×

总头数－总脚数）÷

（兔脚数－鸡脚数）

（2）兔数=（总脚数－鸡脚数×

总头数）÷

例1鸡兔同笼共有50只，170条腿。

问鸡兔各有多少只？

【思路导航】我们假设50只全部是鸡，那么50只鸡共有50×

2=100条腿，而题目已知共有170条腿，这说明假设的结论比题目中的条件减少了170－100=70条腿。

原因是把笼中的兔当成了鸡，而一只鸡比一只兔少2条腿，所以由70条腿就可求出兔的只数。

兔的只数：

（170－50×

（4－2）=