高考数学二轮复习专题能力训练Word版含答案18Word文档格式.docx
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.(全国Ⅰ,理)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为().
()当与轴垂直时,求直线的方程;
()设为坐标原点,证明:
∠∠.
.
如图,已知抛物线,点,抛物线上的点().过点作直线的垂线,垂足为.
()求直线斜率的取值范围;
()求·
的最大值.
.已知椭圆(>
)的离心率为()()(),△的面积为.
()求椭圆的方程;
()设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证·
为定值.
.(全国Ⅱ,理)设抛物线的焦点为,过且斜率为(>
)的直线与交于两点.
()求的方程.
()求过点且与的准线相切的圆的方程.
二、思维提升训练
.(全国Ⅲ,理)已知点()和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若∠°
则.
.定长为的线段的两个端点分别在轴、轴上滑动,动点满足.
()求点的轨迹曲线的方程;
()若过点()的直线与曲线交于两点,求的最大值.
.设圆的圆心为,直线过点()且与轴不重合交圆于两点,过作的平行线交于点.
()证明为定值,并写出点的轨迹方程;
()设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
.(全国Ⅲ,理)已知斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为()(>
).
()证明<
;
()设为的右焦点为上一点,且.证明成等差数列,并求该数列的公差.
专题能力训练 直线与圆锥曲线
解析由题意,不妨设直线的方程为()>
分别令与,得().
设的中点为,
由△∽△,得,
即,整理,得,
故椭圆的离心率,故选.
解析抛物线的焦点为(),双曲线(>
)的离心率为,所以,双曲线的渐近线为±
±
则抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是故选.
解析设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,消元得.因为直线与抛物线相切,所以Δ×
(),解得,故直线的方程为,从而()().因此过两点的最小圆即为以为直径的圆,其方程为()(),而抛物线的准线方程为,此时圆心()到准线的距离为,故所截弦长为.
解析由条件知(),渐近线方程为±
所以∠∠°
∠°
≠°
不妨设∠°
则.
又,在△中°
所以.
解析双曲线的渐近线为±
.由得
由得
∵为△的垂心,∴·
即,解得,
即可得
.解()由已知得()的方程为.
由已知可得,点的坐标为
所以的方程为或
()当与轴重合时,∠∠°
当与轴垂直时为的垂直平分线,所以∠∠.
当与轴不重合也不垂直时,设的方程为()(≠)()(),
则<
<
直线的斜率之和为
由,得
将()代入得(),
所以
则().
从而,故的倾斜角互补,所以∠∠.
综上,∠∠.
.解()设直线的斜率为,
因为<
所以直线斜率的取值范围是().
()联立直线与的方程
解得点的横坐标是
因为(),
(),
所以·
()().
令()()(),
因为'
()()(),
所以()在区间上单调递增,上单调递减,
因此当时·
取得最大值
.()解由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
()证明由()知()().
设(),则.
当≠时,直线的方程为().
令,得,
从而
直线的方程为.
当时,
综上·
.解()由题意得()的方程为()(>
设()().
由得().
Δ>
故
所以()()
由题设知,解得(舍去).
因此的方程为.
()由()得的中点坐标为(),所以的垂直平分线方程为(),即.
设所求圆的圆心坐标为(),则
解得
因此所求圆的方程为
()()或()().
解析设直线,
联立,
而()(),
∵∠°
()()()()
()()()
()()
∴.
.解()设()()(),
由得()(),
即
因为,所以(),化简,得,
所以点的轨迹方程为.
()当过点()的直线为时()·
当过点()的直线不为时,可设为()().
联立并化简,得(),
由根与系数的关系得,
()()()()()
又由Δ()>
恒成立,所以∈,
对于上式,当时,()
综上所述,的最大值为
.解()因为∥,
故∠∠∠.
所以,故.
又圆的标准方程为(),
从而,
所以.
由题设得()(),
由椭圆定义可得点的轨迹方程为(≠).
()当与轴不垂直时,设的方程为
()(≠)()(),
由
得(),
则,
过点()且与垂直的直线()到的距离为,
故四边形的面积
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为().
当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为.
综上,四边形面积的取值范围为[).
.解()设()(),则.
两式相减,并由得.
由题设知,于是①
由题设得<
故<
()由题意得().设(),则()()()().
由()及题设得()()<
又点在上,所以,
于是
同理
所以().
故,则成等差数列,
设该数列的公差为,则②
将代入①得.
所以的方程为,代入的方程,并整理得.
故,代入②解得
所以该数列的公差为或
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