行列式经典例题Word下载.docx
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100
j1
j2,,n
120
=
nnn
12
(1)2
(1)
n12n3n1
例2.设a,b,c是互异的实数,证明:
的充要条件是a+b+c=0.
证明:
考察范德蒙行列式:
内部资料个人复习资料
行列式即为y
2前的系数.于是
所以的充要条件是a+b+c=0.
x100
例3计算D
n=
0x10
aaaxa
nn1n21
解:
方法1递推法按第1列展开,有
x1
n1
Dn=xDn1+(-1)=xDn1+an
an
由于D1=x+a1,D2
axa
21
,于是D
n=xDn1+an=x(xDn2+an1)+an=x
2D
n+
2
an1x+an==x
n1D1+an2++a
2xn1D1+an2++a
nx+an=
nn1
xaxaxa
1n1n
方法2第2列的x倍,第3列的x
2倍,,第n列的xn1倍分别加到第1列上
0100
cxc
xx
10
00x0
axaaaxa
nn1n1n21
01000
cxc
13
0x100
3
x
axaxaaaaxa
nn1n2n1n2n31
01
按展开
r
(1)n1f
n1f
==x
fx
x1
方法3利用性质,将行列式化为上三角行列式.
Dn
32
x000
0x00
nn
aaa
nn1n
aaak
nnnn
122
xxx
按c展开
n1k
n=x
n(
a
+
a
n
++
a2
+a1+x)
n1n
aaxaxx
nn11
1000
按r展开
(1)
D方法4
+n
00x1
x000x100
na
00x10001
(1)()
2nax
000x
n1n1n2n2
(-1)(-1)
=(-1)an+(-1)an1x
++(-1)
2n(-1)a
2x
n2+(-1)2n(a1+x)x
1+x)x
例4.计算n阶行列式:
abaa
112n
aaba
122n
(
b1b2bn0)
aaab
12nn
解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素
aaa,可在保持
1,2,,n
原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化
简后出现大量的零元素.
12n
升阶
31
1b00
D0aaba
n122n
n11
10b0
b
j
j2,,n1
aa
11
bb
0b00
1
00b0
2
bbb
1n
(1)
000
这个题的特殊情形是
axaa
aaxa
x(xa)
i
i1
aaax
可作为公式记下来.
例5.计算n阶“三对角”行列式
Dn=
+
解方法1递推法.
0000
()Dn1—
(n1)
()Dn1-Dn2
即有递推关系式D
n=()Dn1-Dn2(n3)
故
DD=(Dn1Dn2)
递推得到
DD=(Dn1Dn2)=
(DnDn)
23
==
()
n2DD
而
D1(),D2=
α
β
αβ
=
αβ
22
,代入得1
DD
DD(2.1)
由递推公式得
DD=
(D)
n2
=α
n+
nn1n1n
=++
+=
(n
-α
β-α
1)α
,当
αβ时
α=β时
方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式
++
上式右端第一个行列式等于αD
n,而第二个行列式
cac
i2,,n
=β
于是得递推公式
DD,已与(2.1)式相同.
方法3在方法1中得递推公式
Dn=()Dn1-Dn2
又因为当时D1==
33
D=
()=
D3=
()-2()
44
=()
n1n1
于是猜想
D,下面用数学归纳法证明.
当n=1时,等式成立,假设当nk时成立.
当n=k+1是,由递推公式得
Dk1=()Dk-Dk1
k1k1kkk2k2
—=
所以对于nN,等式都成立
例6.计算n阶行列式:
1a11
11a1
其中
a1a2an0.
解这道题有多种解法.
方法1化为上三角行列式
1j
0an
b1aa
i2i
,于是
i1i
.
方法2升阶(或加边)法
11111111
01a11
升阶rr1
1a00
D011a1
i2,3,,n1
10a0
0111
100an
1111
i1j
acc
1j1
an
a1j
aaa1
j1,2,,n1aa
方法3递推法.将
D改写为
1a110
11a10
1a10
按c拆开
11a0
11111an
由于
in
i1,,n1
12n1
111111
aD
11an
因此
D=anDn1a1a2an1为递推公式,而D11a1,于是
D=anDn1a1a2an1=a1a2an
aaaa
12n1n
=a1a2an
aaaaa
12n2n1n
=a1a2an
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