高代丘维声第二版下Word格式文档下载.docx
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(4)如果b︱a,且a≠0,则≤.
习题7.3
1.求f(x)与g(x)的最大公因式,并且把(f(x),g(x))表示成f(x)与g(x)的一个组合:
(1)f(x)=+3--4x-3,g(x)=3+10+2x-3;
(2)f(x)=+6-6+6x-7,g(x)=+-7x+5.
2.证明:
在K[x]中,如果d(x)是f(x)与g(x)的一个组合,并且d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式,则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.
3.证明:
在K[x]中,(f,g)h是fh与gh的一个最大公因式;
特别地,若h(x)的首项系数为1,则(fh,gh)=(f,g)h
4.证明:
在K[x]中,如果f(x),g(x)不全为零,则(=1.
5.证明:
在K[x]中,如果f(x),g(x)不全为零,并且u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)),则(u(x),v(x))=1.
6.证明:
在K[x]中,如果(f,g)=1.那么(fg,f+g)=1.
7.设f(x),g(x)K[x],并且a,b,c,dK,使得ad-bc0.证明:
(af+bg,cf+dg)=(f,g).
8.证明:
在K[x]中,如果(f(x),g(x))=1,则对任意正整数m,有(f(),g()=1.
9.证明:
K[x]中两个非零多项式f(x)与g(x)不互素的充分必要条件是,存在两个非零多项式u(x),v(x),使u(x)f(x)=v(x)g(x),degu(x)<
degg(x),degv(x)<
degf(x).
10.设f(x),g(x)K[x],K[x]中的一个多项式m(x)称为f(x)与g(x)的一个最小公倍式,如果
1)f(x)m(x),g(x)︱m(x);
2)f(x)与g(x)的任一公倍式(即K[x]中既能被f(x)整除,又能被g(x)整除的多项式)都是m(x)的倍式.
(1)证明K[x]任意两个多项式都有最小公倍式,并且在相伴的意义下是唯一的;
(2)用[f(x),g(x)]表示首项系数是1的那个最小公倍式,证明:
如果f(x),g(x)的首项系数都是1,则[f(x),g(x)]=.
11.设AMn(K),f(x),g(x)K[x].证明:
如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式,则齐次线性方程组d(A)X=0的解空间等于f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空间的交.
12.设AMn(K),(x),(x)K[x],记f(x)=(x)(x).证明:
如果((x),(x))=1,则f(A)X=0的任一个解可以唯一地表示成(A)X=0的一个解与(A)X=0的一个解的和.
习题7.4
1.证明多项式+1在有理数域上不可约.
2.分别在复数域,实数域和有理数域上分解下列多项式为不可约因式的乘积.
(1)+1;
(2)+4.
在K[x]中,(x)︱(x)当且仅当g(x)︱f(x).
4.证明本节性质2的逆命题为真,即设p(x)是K[x]中一个次数大于零的多项式,如果对于任意f(x),g(x)K[x],从p(x)︱f(x)g(x)可以推出p(x)︱f(x)或者p(x)︱g(x),那么p(x)是不可约多项式.
﹡5.证明:
数域K上一个次数大于零的多项式f(x)是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g(x)K[x],必有(f(x),g(x))=1,或者存在一个正整数m,使得f(x)︱(x).
﹡6.证明:
数域K上一个次数大于零的多项式f(x)是K[x]中某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是对于任意g(x),h(x)K[x],从f(x)︱g(x)h(x)可以推出f(x)︱g(x),或者存在一个正整数m,使得f(x)︱(x).
7.在K[x]中,设(f,)=1,i=1,2,证明:
(f,)=(,).
习题7.5
1.判别下列有理系数多项式有无重因式:
(1)f(x)=-3+4;
(2)f(x)=+2-11x-12.
2.a、b应该满足什么条件,下述实系数多项式才能有重因式:
f(x)=+2ax+b.
3.举例说明:
K[x]中,一个不可约多项式p(x)是f(x)的导数(x)的k-1重因式(k≥2),但是p(x)不是f(x)的k重因式.
K[x]中,若不可约多项式p(x)是f(x)的导数(x)的k-1重因式(k≥1),并且p(x)是f(x)的因式,则p(x)是f(x)的k重因式.
K[x]中,不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)的充分必要条件为:
p(x)是f(x),(x),…,(x)的因式,但不是(x)的因式.
6.在Q[x]中求一个没有重因式的多项式g(x),使它与f(x)含有完全相同的不可约因式(不计重数);
然后求f(x)的标准分解式:
f(x)=-3+2+2-3x+1.
﹡7.证明:
K[x]中一个n次(n≥1)多项式f(x)能被它的导数整除的充分必要条件是它与一个一次因式的n次幂相伴.
习题7.6
1.设f(x)=+7+19+26+20x+8Q[x],判断-2是不是多项式f(x)的根,如果是的话,它是几重根?
(提示:
用综合除法看x+2能否整除f(x).)
2.设f(x)=2-7+4x+aQ[x],求a值,使f(x)有重根,并且求出相应的重根及其重数.(提示:
cQ是f(x)的重根x-c是f(x)的重因式x-c是f(x)与(x)的公因式x-c是(f(x),(x))的因式.)
3.求下列复系数多项式在复数域中的公共根:
f(x)=--x-2;
g(x)=-2+2-3x-2.(提示:
aC是f(x)与g(x)公共根x-a是f(x)与g(x)的公因式x-a是(f(x),g(x))的因式.)
4.设f(x)=-5+a+bx+9Q[x],如果3是f(x)的二重根,求a,b.
在K[x]中,如果(x+1)︱f(),则(+1)︱f().
6.设(x),(x)Q[x],证明:
如果(+x+1)︱()+x(),则1是(x)的根,i=1,2.
7.设C[x]中的多项式f(x)0,并且f(x)︱f(),其中m是一个大于1的整数,证明f(x)在C中的根只能是零或单位根.
8.求复系数多项式-1的标准分解式.
﹡9.设K是一个数域,设R是(或者可看成是)K的一个交换扩环,设aR,且{0},其中表示K[x]中那些多项式组成的集合,它们中每一个在R中有根a,即={f(x)K[x]︱f(a)=0}.证明:
(1)中存在唯一的首项系数为1的多项式m(x),使得的每个多项式都是m(x)的倍式;
(2)如果R是无零因子环,则m(x)在K[x]中不可约.
10.证明:
数域K上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
11.设A是数域K上的n级矩阵,证明:
A的特征多项式的n个复根的和等于tr(A),n个复根的乘积等于.
12.设p(x)是数域K上的一个不可约多项式,证明:
如果K[x]中的多项式g(x)与p(x)有一个公共复根,则在K[x]中p(x)︱g(x)
习题7.7
1.证明:
实系数的奇次多项式至少有一个实根.
2.求多项式-1在实数域上的标准分解式.
3.设A是实数域上的n级斜对称矩阵,它的特征多项式记作f(λ).证明:
(1)f(λ)的复根都是纯虚数或零;
(2)如果A可逆,则f(λ)的不可约因式都是二次的.
﹡4.证明:
如果n级实矩阵A与B不相似,则把它们看成复矩阵后仍然不相似.
习题7.8
1.求下列多项式的全部有理根:
(1)2+-3x+1;
(2)2--19+9x+9.
2.下列整系数多项式在有理数域上是否不可约?
(1)-6+2+10;
(2)7+18+6x-6;
(3)+5+1;
(4)-2+2x-3;
(5)+p+1,p为奇素数;
(6)+-3x+2;
(7)2-+x+1;
(8)-5x+1.
3.设n>
1,证明:
n个互不相同的素数的几何平均数一定是无理数.
4.设f(x)=+…+x+是一个次数大于零的整系数多项式,证明:
如果++…++是一个奇数,则1和-1都不是f(x)的根.
5.设f(x)是一个次数大于零且首项系数为1的整系数多项式,证明:
如果f(0)与f
(1)都是奇数,则f(x)没有有理根.
6.设f(x)=+a+bx+c是整系数多项式,证明:
如果(a+b)c是奇数,则f(x)在有理数域上不可约.
7.设,,…,是n个不同的整数,设f(x)=(x-)(x-)…(x-)+1,证明:
如果n是奇数,则f(x)在有理数域上不可约,如果n是偶数,f(x)是否在有理数域上不可约?
﹡8.设,,…,是n个不同的整数,设f(x)=(x-)(x-)…(x-)-1,证明f(x)在有理数域上不可约.
﹡9.设,,…,是n个不同的整数,设f(x)=+1,证明f(x)在Q上不可约.
习题7.9
1.将下列4元多项式按字典排列法排列各单项式的顺序:
(1)f(,,,)=-+5+2;
(2)f(,,,)=++3-5-2.
2.把3元齐次多项式f(,,)=++-3写成两个3元齐次多项式的乘积.
3.设f,gK[,…,],且g0.证明:
如果对于使g(,…,)0的任意一组元素,…,K,都有f(,…,)=0,则f(,…,)=0.
﹡4.设f,gK[,…,],如果存在hK[,…,],使得f=gh,则称g整除f,记作g︱f.此时称g是f的一个因式.如果f︱g,并且g︱f,则称f与g是相伴的,记作f~g,
(1)证明:
f~gf与g相差一个非零数因子;
(2)fK[,…,]称为不可约的,如果f的因式只有零次多项式以及f的相伴元,否则称为可约的.证明:
在K[x,y]里,多项式-y是不可约的.
习题7.10
1.设f(,,)是数域K上的一个三元多项式:
f(,,)=+++++,
证明f(,,)是对称多项式.
2.在K[,,的含有项的对称多项式中,写出项数最少的那个对称多项式.
3.在K[,,]中,用初等对称多项式表出下列对称多项式:
(1)+++++;
(2)++;
(3)()(+)(+).
4.在K[,…,]中,用初等对称多项式表出下列对称多项式(n≥3):
(1);
(2).
5.在K[,,]中,利用牛顿公式把幂和,,用初等对称多项式表示.
6.设f(x)是实系数三次多项式,证明:
当D(f)=0时,f(x)在C中有重根,并且f(x)在C中的根都是实数;
当D(f)>
0时,f(x)有三个互不相同的实根;
当D(f)<
0时,f(x)有一个实根,一对共轭虚根
7.设f(x)K[x],并且f(x)的首项系数为1,aK,g(x)=(x-a)f(x),证明:
D(g)=D(f).
8.求f(x)=+aK[x]的判别式.
9.求数域K上完全三次方程f(x)=++x+=0的判别式.
习题7.11
域F中没有非平凡的零因子,从而域一定是整环》
2.写出模7剩余类域中每个非零元的逆元.
﹡3.令F={,证明:
F对于矩阵的加法与乘法成为一个域,并且域F与复数域同构.
4.令F=,证明:
F是一个有9个元素的域,并且charF=3.
在特征为p的域F中,下式成立:
=+.
6.写出[x]中所有一次多项式和二次不可约多项式.
7.设f(x)=-+1判断f(x)在Q上是否不可约.
8.设f(x)=+3+3-5Z[x],判断f(x)在Q上是否不可约.
习题8.1
1.判断下述集合对于所指的运算是否形成实数域R上的线性空间:
(1)R[x]中所有2次多项式组成的集合,对于多项式的加法与数量乘法;
(2)所有正实数组成的集合,加法与数量乘法分别定义为
a
b=ab,a,b
k⊙a=,a,kR;
(3)区间[a,b]上的所有连续函数组成的集合,记作C[a,b],对于函数的加法与数量乘法.
2.判断实数域R上的线性空间中的下列函数组是否线性无关?
(1)1,x,cos2x;
(2)1,cosx,cos2x;
cos3x(3)1,sinx,cosx;
(4)sinx,cosx,x,x;
(5)1,,,,…,;
(6),x.
3.求第1题的
(2)小题中线性空间的一个基和维数.
4.把复数域C看成实数域R上的线性空间,求它的一个基和维数,以及每个复数z=a+bi在这个基下的坐标.
5.把数域K看成自身上的线性空间,求它的一个基和维数.
6.说明数域K上所有n级对称矩阵组成的集合,对于矩阵的加法与数量乘法,形成K上一个线性空间,求的一个基和维数.
7.说明数域K上所有n级斜对称矩阵组成的集合,对于矩阵的加法与数量乘法,形成K上一个线性空间,求的一个基和维数.
8.说明数域K上所有n级上三角矩阵组成的集合W,对于矩阵的加法与数量乘法,形成K上一个线性空间,求W的一个基和维数.
9.在中,设=
,=
,求基,,到基,,的过渡矩阵,并且求向量=分别在这两个基下的坐标X,Y.
在数域K上的n维线性空间V中,如果每一个向量都可由,,…,线性表出,则,,…,是V的一个基.
11.设X={,,…,},F是一个域,定义域为X的所有F值函数组成的集合记作,它是域F上的一个线性空间,求的一个基和维数,并且求函数f在这个基下的坐标.
12.设V=.
(1)证明V对于矩阵的加法和数量乘法是实数域R上的一个线性空间;
(2)求V的一个基和维数;
(3)求V中元素在第
(2)小题求出的一个基下的坐标.
习题8.2
1.判断数域K上下列n元方程的解集是否为的子空间:
(1)+++=0;
(2)+++=1;
(3)++++-=0.
2.设A是数域K上的一个n级矩阵,证明:
数域K上所有与A可交换的矩阵组成的集合是Mn(K)的一个子空间,把它记作C(A).
3.设A=diag{,,,},其中,,,是数域K中两两不同的数,求C(A)的一个基和维数.
4.设数域K上的3级矩阵A=,求C(A)的维数和一个基.
5.在域F上的线性空间V中,如果++=0,且0.证明:
〈〉=〈〉.
6.在中(K是数域),求向量组,,,生成的子空间的维数和一个基,设
=,=,,
=.
7.设V是域F上一个n维线性空间,,,…,是V的一个基,,,…,是V的一个向量组,并且(,,…,)=(,,…,)A.证明:
〈,,…,〉的维数等于n×
s矩阵A的秩.
*8.设实二次型f(,,…,)=+…+--…-的符号差s>
0,证明:
方程f(,,…,)=0的解集W中有一个子集是的一个线性子空间,且dim=n-p.
9.设,是域F上线性空间V的两个真子空间(即V),证明:
∪V.
*10.设,,…,是域F上线性空间V的s个真子空间,证明:
如果charF=0,则V中至少有一个向量不属于,,…,中任何一个.
11.设V=,=〈〉,=〈〉,其中=
,分别求+,∩的一个基和维数.
12.设V=,=〈,,〉,=〈,〉,其中=
13.设V=,K是数域,齐次线性方程组++…+=0的解空间记作;
齐次线性方程组的解空间记作.证明:
V=
.
14.证明:
数域K上每一个n维线性空间V都可以表示成n个一维子空间的直和.
15.用(K)表示Mn(K)中迹为零的矩阵组成的集合,K是数域.
(1)证明:
(K)是线性空间Mn(K)的一个子空间;
(2)证明:
Mn(K)=
(K)
﹡16.设A是数域K上的n级矩阵,,,…,是A的全部不同的特征值,用表示A的属于的特征子空间.证明:
A可对角化的充分必要条件是=
…
17.设K是数域,(x),(x)K[x],AMn(K).令f(x)=(x)(x).用,分别表示齐次线性方程组:
f(A)X=0,(A)X=0,(A)X=0的解空间.
(1)证明:
,都是W的子空间;
(2)证明:
如果((x),(x))=1,则W=
习题8.3
实数域R作为它自身上的线性空间与习题8.1第1题
(2)中的线性空间同构.
域F上的线性空间(F)与同构,并且写出一个同构映射.
域F上次数<
n的一元多项式组成的线性空间F与同构,并且写出一个同构映射.
4.设域F上线性空间V中的向量组,,,线性无关,试问:
向量组+,+,+,+是否线性无关?
令W=〈+,+,+,+〉,求W的一个基和维数.
5.令L=,
(1)证明L是实线性空间(R)的子空间,求L的一个基和维数;
(2)证明复数域C作为实数域R上的线性空间与L同构,并且写出一个同构映射.
*6.令H=,
(1)证明H对于矩阵的加法,以及实数与矩阵的数量乘法(注意实数可看成复数)构成实数域上的一个线性空间;
(2)求H的一个基和维数;
(3)证明H与同构,并且写出一个同构映射.
习题8.4
1.设U,W都是域F上线性空间V的子空间.证明:
如果V=U
W,那么V/U
W.
2.设V是几何空间,U是过原点O的一条直线,商空间V/U由哪些元素组成?
求V/U的一个基和维数.
3.设V是域F上的一个n维线性空间,n≥3,U是V的一个2维子空间,用表示V中包含U的所有n-1维子空间组成的集合,用表示商空间V/U的所有n-3维子空间组成的集合.令:
W
W/U,
是双射.
4.设U,W都是域F上线性空间V的子空间,证明:
U+W/W
U/U∩W.
习题9.1
1.判断下面所定义的上的变换,哪些是线性变换?
(1)A=;
(2)A=
2.判断下面所定义的Mn(K)上的变换,哪些是线性变换?
(1)设AMn(K),令A(X)=XA,XMn(K);
(2)设B,CMn(K),令A(X)=BXC,XMn(K).
3.判断下面定义的K[x]上的变换是不是线性变换?
给定aK,令Af(x)=f(x+a),f(x)K[x].
4.设是习题8.1第1题
(2)小题的实线性空间,判别到R的下述映射是不是线性映射?
设a>
0且a1,令:
R
x
x.
*5.设V是K[x,y]中所有m次齐次多项式组成的集合,它对于多项式的加法,以及数与多项式的乘法成为数域K上的一个线性空间.给定数域K上的一个2级矩阵A=(),定义V到自身的一个映射A如下:
(Af)(x,y)
f(x+y,x+y),判断A是不是V上的一个线性变换?
*6.把个元素的有限域看成上的线性空间,令f(x)=,判断f是不是上的一个线性变换?
7.在K[x]中,令Af(x)=xf(x),f(x)K[x].
(1)证明A是K[x]上的一个线性变换;
(2)用D表示求导数,证明:
DA-AD=I.
8.设,,…,是线性空间V的一个基,A是V上的一个线性变换,证明:
A可逆当且仅当A,A,…,是V的一个基.
9.设A是线性空间V上的一个线性变换,证明:
如果0,=0(m>
0),则,A,,…,线性无关.
10.设A,B是V上的线性变换,如果AB-BA=I,证明:
B-B=k,k≥1.
11.设V是域F上的一个线性空间,charF2.设A,B是V上的幂等变换,证明:
(1)A+B是幂等变换当且仅当AB=BA=0;
(2)如果AB=BA,则A+B-AB也是幂等变换.
习题9.2
1.设V是域F上的一个线性空间,U,W是V的两个子空间,且V=U
W,用表示平行于W在U上的投影.证明:
Ker=W,Im=U.
2.设V是域F上的一个线性空间,A是V上的一个线性变换.证明:
如果A是V上的幂等变换,则V=KerA
ImA,并且A是平行于KerA在ImA上的投影.
3.设V,U,W都是域F上的线性空间,并且V是有限维的.设A是V到U的一个线性映射,B是U到W的一个线性映射.证明:
dimKer(BA)≤dimKerA+dimKerB.
4.设V,U,W都是域F上的线性空间,并且dimV=n,dimU=m,设A是V到U的一个线性映射,B是U到W的一个线性映射.证明:
rank(BA)≥rankA+rankB-m.
5.设A,B都是域F上线性空间V上的幂等变换,证明:
(1)A与B有相同的象当且仅当AB=B,BA=A;
(2)A与B有相同的核当且仅当AB=A,BA=B.
6.设V和都是域F上的有限维线性空间,A是V到的一个线性映射.证明:
存在直和分解V=U
W,=M
N,使得KerA=U,且W
M.
*7.设V是域F上的一个线性空间,charF=0.证明:
如果,,…,是V上s个两两不同的线性变换,那么V中至少有一个向量,使得A,A,…,A两两不同.
习题9.3
1.设A是上的一个线性变换:
A=,求A在标准基,,下的矩阵.
2.在中,由下述两个函数=cosbx,=sinbx生成的2维子空间记作V,说明求导数D是V上的一个线性变换,并且求D在V的一个基,下的矩阵.
3.A
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