平面向量的数量积及向量的应用习题及详解Word格式.docx
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mXn,.°
.m•=(2t—1)(2+k)+(t+2)(1—2k)=5t—5k=0,•t—k=0.
3.(文)(2010理)在Rt△ABC中,/C=90°
AC=4,则ABAC等于()
A.—16B.—8C.8D.16
[解析]因为/C=90°
所以ACCB=0,所以ABAC=(AC+CB)AC=|AC|2+ACCB=AC2=16.
(理)(2010天津文)如图,在△ABC中,AD丄AB,BC=.3E3D,|AD|=1,则ACAD=(
b¥
D.3
—>
——>
—>
(AB+3BD)AD=ABAD+一3BDAD,
[解析]■/AC=AB+BC=AB+3BD,
•••AcAd=
又•••AB丄AD,•ABAD=0,
•AcAd=3bdAD=.3|Bd||Ad|cos/adb=3|Bd|cos/adb=3AD=3.
4.(2010省市)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=°
则〈a,b>
=()
D.30
A.150°
B.120°
C.60°
[解析]•••a+b=c,|a|=|b|=|c|z0,
•|a+b|2=|c|2=|a|2,「.|b|2+2ab=0,
•|b|2+2|a||b|cos〈a,b>
=0,
1
•cos〈a,b>
=—2,
•••〈a,b〉€[0°
180°
•<
a,b>
=120°
2tt
•••p在直线ab上,•乔+齐=1
.|PA|_1iprr2.
6.(文)平面上的向量mA、MB满足|MA|2+|Mfe|2=3,且imAMb=0,若向量MC=3ma+^MB,贝V|MC|的最
33
大值是(
A.2
[答案]
y),则x2+y2=1,
•••—1wx<
1,.・.x=—1时,IMCI2取得最大值为晋,
••jMC|的最大值是3.
[解析]建立直角坐标系如图,•••正方形
ABCD边长为2,
M坐标为(x,y),Am=(x,y)由坐标系可知
0wx<
2①
—2wy<
0②
TAnAm=2x—y,设2x—y=z,
易知,当x=2,y=—2时,z取最大值6,
•••Anam的最大值为6,故选b.
7.如图,△ABC的外接圆的圆心为
A.3
5
B.2
2x-y-z
B攵
N
DC
O,AB=2,AC=3,BC=*7,则AOBC等于(
Word文档
[解析]AOBe=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB,因为OA=OB.所以AO在AB上的投影为1|AB|,所以
->
->
1->
9~>
95
AOAB=2AB||AB|=2,同理AOAC=2AC||AC|=2,故AOBC=2—2=p
8.
(文)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,a(b—a)=—1,则向量a与向量b的夹角为()
ab
[解析]根据向量夹角公式“cos<
a,b〉=丽j求解”
f3
11BC=8sna,
3cosa_3
8sira=8cota,
由条件知3三3cota<
•1WCOtaW3,
888
9.(文)(2010省统考)如果A是抛物线x2=4y的顶点,过点D(0,4)的直线I交抛物线x2=4y于B、C两点,
那么ABAC等于()
33
A.B.0C.—3D.—-
44
[解析]由题意知A(0,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),直线I:
y=kx+4,
x2=4y
由消去y得,x2—4kx—16=0,
y=kx+4
•-X1+X2=4k,X1X2=—16,
•-y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1X2+4k(x1+X2)+16=—16k2+16k2+16=16,
•AbAC=X1X2+y1y2=0.
(理)(2010市模考)如图,BC是单位圆A的一条直径,F是线段AB上的点,且BF=2FA,若DE是圆A中
绕圆心A运动的一条直径,则FDFE的值是()
tbf
2
FDFE=(FA+AD)(FA+AE)
=(FA+AD)
=|FA|2—|AD|2=1-1=-
D.不确定
x2+y2—2x-2y+1>
0
若点B(x,y)满足Kxw2,则OA0B取得最
Ky<
2
D•无数个
10.(2010一中)设0为坐标原点,A(1,1)
小值时,点B的个数是()
A.1B.2
[解析]•/x2+y2-2x-2y+1=0,
即(x-1)2+(y-1)2=1.
•••可行域为图中阴影部分,
•••OAO)B=\OA\|0B|cos〈OA,OB〉,又\OA\为定值,.••当OBcos〈OA,Ob>
取最小值时,OAOb取最小值,Ty=cosx在0,扌上为减函数,「•由图可知,当点B在E、F位置时,/AOB最大,\OB\最小,从而OAOB取最小值,故选B.
[点评]可用数量积的坐标表示求解,设B(x,y),令OAOB=x+y=t,贝Vy=—x+t,当直线y=—x+1
过Bi、B2两点时,t最小,即tmin=3・••当OAOB取得最小值时,点B的个数为2.
■
■-
V
丿
\.
11
、填空题
11.(2010北四市)如图,在平面四边形ABCD中,若AC=3,BD=2,则(AB+DC)(AC+BD)=
[答案]5
[解析]设AC与BD相交于点O,则
(AB+DC)(AC+BD)
=[(OB—OA)+(OC—OD)](AC+BD)
=[(OB—OD)+(OC—OA)](AC+BD)
Q
=(DB+AC)(AC+BD)=\AC\2—\BD\2=5.
12.(文)(2010洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点,设P为线段AB垂直平分线上任意一点,
若\OA\=7|O)B|=5,则OPO—O>
B)的值为.
[答案]12
[解析]PA=PO+OA,PB=PO+OB,
由条件知,\OA\2=49,\OB\2=25,\RA\=\PB\,
/.\po+OA\2=\po+O)B\2,
即\PO\2+\O)A\2+2POOA=\PO\2+\O)B\2+2POO)B,•••PO(OA—OB)=—12,
+AC),贝ya2时,Pa(pB+PC)的值为
[答案]o
[解析]由已知得op—OA=xAb+Ac),即Ap=xAb+AC),
当x=2时,得Ap=*aB+AC),
•2Ap=Ab+AC,即Ap—Ab=AC—Ap,
x2y2一
13.(2010市质检)已知Ai,A2分别是椭圆亦+16=1的左、右顶点,P是过左焦点F且垂直于A1A2的直
线I上的一点,贝UPA1A1A2=.
[答案]—20
[解析]由条件知A1(—5,0),A2(5,0),F(—3,0),设P(—3,y。
),则a7a2=(10,0),PA1=(—2,—y。
),
•-PA1A1A2=—20.
14.(2010质检)已知向量an=(cosy,sin”)(n€N*),\b\=1.则函数y=\a1+b\2+\a2+b\2+\a3+b\2+…+\aw
+b|2的最大值为.
[答案]284
[解析]t|b|=1,「.设b=(cos0,sin0),
■/an2=cos2nn+si门2豊丄1(n€N),
nnnn
anb=cos〒cos0+sin亍sin0,
y=|ai+b|2+|a2+b|2+…+旧⑷+b|2
=(|ai|2+|a2|2+…+|ai4if)+141|b|2+2(aib+a2b+…+anb)
=282+2cos0cosn+cos^…+cosi4.i-+2sin0sin7+sin^+…+sini47in
nn
=282+2cos0cos.+2sin9sin.
冗
=282+2cos7—0w284.
三、解答题
订3i
i5.(省潍坊市质检)已知函数f(x)=ysin2x—cos2x—"
x€R.
(i)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
⑵设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=.3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与向量n=
(2,sinB)共线,求a,b的值.
[解析]
=sin(2x-》—1,
所以f(x)的最小值是一2,最小正周期是T=2n=n.
n
⑵由题意得f(C)=sin(2C—6)—1=0,
则sin(2C-6)=1,
nn11
•••0<
C<
n,•••0<
2C<
2n,•••—6<
2C—6<
石n
二2C-n=nC=n
•••向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,
.1=sinA
…2=sinB,
c2=a2+b2—2abcosn
由正弦定理得,
由余弦定理得,
即3=a2+b2—ab②
由①②解得,a=1,b=2.
16.(文)(延边州质检)如图,在四边形ABCD中,AD=8,CD=6,AB=13,/ADC=90。
且ABAC=50.
(1)求sin/BAD的值;
ABD,,+⑵设△ABD的面积为S^ABD,△BCD的面积为S^BCD,求°
的值.
43
[解析]⑴在Rt△ADC中,AD=8,CD=6,贝UAC=10,cos/CAD=5,sin/CAD=5,又•••ABAC=50,AB=13,
•sin/BAD=sin(/BAC+/cad)=6!
1252
(2)S^bad=,ABADsin/BAD=5,
168
T,
S^bac=?
ABACsin/BAC=60,SAacd=24,
贝USaBCD=S^ABC+S^ACD—S\BAD=
.Ssbd_3
S^BCD2.
(理)点D是三角形ABC一点,并且满足AB2+CD2=AC2+BD2,求证:
AD丄BC.
[分析]要证明AD丄BC,则只需要证明ADBC=0,可设AD=m,AB=c,AC=b,将BC用m,b,c线性表示,然后通过向量的运算解决.
证明:
设AB=c,AC=b,AD=m,
则BD=AD—AB=m—c,CD=AD—AC=m—b.
•/AB2+CD2=AC2+BD2,
•••c2+(m—b)2=b2+(m—c)2,即即
c2+m2—2mb+b2=b2+m2—2m•+c2,
•-m(c—b)=0,即AD(AB—AC)=0,
•AdCB=0,「.AD丄BC.
17.(文)(2010)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(—1,—2),B(2,3),C(—2,—1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
⑵设实数t满足(AB—tOC)OC=0,求t的值.
[解析]
(1)由题设知AB=(3,5),AC=(—1,1),则AB+AC=(2,6),AB—AC=(4,4).
所以|AB+AC|=2.10,|AB—AC|=42
故所求的两条对角线长分别为4j2,210.
(2)由题设知OC=(—2,—1),AB—tOC=(3+2t,5+t).
由(AB—tOC)OC=0得,
(3+2t,5+t)(•—2,—1)=0,所以t=—-.
(理)(质检)已知A(—3,0),B(3,0),动点P满足|PA|+|PB|=4.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
⑵过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点,
求OMON的取值围.
x22
[解析]
(1)动点p的轨迹c的方程为-+y2=1;
⑵解法一:
①当直线l的斜率不存在时,M(1,今),N(1,—于),OM6N=4;
②当直线I的斜率存在时,设过(1,0)的直线I:
y=k(x—1),代入曲线C的方程得(1+4k2)x2—8k2x+4(k2—1)=0.
设M(X1,y1)、N(X2,y2),
则X1+X2=严爲,X1X2=学苑]•
1+4k21+4k2
OMON=X1X2+yiy2=X1X2+k2(xi—1)(X2—1)=(1+k2)X1X2—k2(X1+X2)+k2
17
k2—4_141
1+4k2=4—1+4k2<
4.
又当k=0时,OMON取最小值一4,
•••—4<
OMON<
7.
4
根据①、②得OMION的取值围为[—4,4].
解法二:
当直线I为X轴时,M(—2,0),N(2,0),OMON=—4.
当直线I不为X轴时,设过(1,0)的直线I:
x=^y1,代入曲线C的方程得(4+)y2+2入—3=0.
设M(X1,y1)、N(X2,y2),贝V
—2入一3
y1+y2=4TTy1y2=
OMON=X1X2+y1y2=(*+1)y1y2+%y1+y2)+1
一122于=-4+七(—4,1]
4+24+2'
'
4」.
•—4wOMOnw1
•A(0,0),N(2,—1),AN=(2,—1),设
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