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GM11模型
数模竞赛培训内容精选
区诗德
(玉林师范学院数学与计算机科学系,537000)
第一章灰色系统
1.有关灰色系统的基本概念及定理
定义1.1设
为原始序列
,D为序列算子
,其中
;k=1,2,…,n.
则称D为
的一次累加生成算子,记为1-AGO.习惯上,记为
.
定义1.2设序列X=
,我们称
;
.
为序列X的级比.称
;
为序列X的光滑比.
定义1.3若序列X满足
;
;
则称X为准光滑序列.
定义1.4称灰色微分方程
或者其白化方程
为GM(1,1)模型,其中
.
定义1.5若
b-a=
.则称序列X具有绝对灰度为
的指数规律.
定理1.1设
为非负准光滑序列,则
的一次累加生成序列
具有准指数规律.
2.建立GM(1,1)模型
定理2.1设
为非负序列,
为
的1-AGO序列
为
的紧邻均值生成序列:
,其中
,k=1,2,…,n.记
为参数列,
,
.
则灰色微分方程
的最小二乘估计参数列
.
定理2.2
(1)GM(1,1)白化方程
的解为
.
(2)GM(1,1)灰色微分方程
的解为
,k=1,2,…,n.
(3)取
,则
,k=1,2,…,n.
(4)
,k=1,2,…,n.
3.GM(1,1)模型检验
定义3.1 记
为相对误差序列,
为平均相对误差,称
为相对精度;若给定
>0,有
<
且
<
,称模型为残差合格模型.
定义3.2设
为原始序列,
为相应的模拟序列,
为
与
的绝对关联度,若对于给定的
>0,有
>
,则称模型为关联度合格模型.
定义3.3设序列
与
长度相同,则称
=
为序列
与
的绝对关联度,其中|
|=
,|
|=
,
|
|=
.
定义3.4设
为原始序列,
为相应的模拟序列,
为残差序列.则称
,
分别为
的均值、方差;
,
为残差的均值、方差.
若均方比值
,对于给定的
>0,有C<
.则称模型为均方差合格.
若小误差概率
,对于给定的
>0,有
.则称模型为小误差概率合格模型.
说明:
平均相对误差
和模拟误差越小越好,关联度越大越好,均方差比值C越小越好(因为C小说明
小
大,即残差方差小,样本方差大).小误差概率p越大越好.对于已建立的GM(1,1)模型是否有效,效果如何,一般地参考以下的精度检验表.
表3-1 精度检验等级参照
相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.5
0.80
三级
0.10
0.70
0.65
0.70
四级
0.20
0.60
0.80
0.60
4.应用实例
例1.某股票最近几天的收盘价如下11.83,12.03,12.38,12.25,12.25,12.65,
12.73,12.36,试用GM(1,1)模型分析预测未来一天的收盘价.
(1)对样本数据作1-AGO
取
=(11.83,12.03,12.38,12.25,12.25),
作1-AGO得
=(11.8300,23.8600,36.2400,48.4900,60.7400).
(2)对
进行准光滑性检验
由光滑比分式
得
=0.5189,
=0.3380<0.5,
=0.2526<0.5.
因此k>3时光滑条件满足.
(3)对
进行准指数律检验
由序列级比公式
得
=1.5189,
=1.3380,
=1.2526.
因此,当k>3时,
,
=0.5,准指数律成立.故可对
建立GM(1,1)模型.
(4)对
作紧邻均值生成
=(17.8450,30.05,42.3650,54.6150).
于是B=
,Y=
=
.
(5)由定理2.2得
=
.
因此序列
的GM(1,1)模型为
.
(1)
时间响应式为
=
.
表4-1 GM(1,1)模型误差检验
序号
原始数据
模拟值
残差
相对误差%
2
12.03
12.1485
-0.1185
0.99
3
12.38
12.2010
0.1790
1.45
4
12.25
12.2537
-0.0037
0.03
5
12.25
12.3066
-0.0566
0.46
平方和0.0493
平均相对误差0.58
从误差检验表来看,此模型拟合的效果较好.
(6)对模型
(1)的检验
我们从关联度
,均方差比值
,小误差概率
来检验对数列
=(11.83,12.03,12.38,12.25,12.25)建立的GM(1,1)模型
.
1)
对
的灰色绝对关联度
由原始数据与拟合数据算得
|
|=42.7850,|
|=42.7565,|
|=0.0285.
因此关联度
=
=0.9997>0.90.
2)检验均方比
=0.0379,
=0.1948,
=0.0099,
=0.0993,
=0.5098,
=0.00004,0.6745
=0.1314.
3)小误差概率
=0.8.
从以上指标来看,关联度达到了优级水平,其它指标也达到了良好水平.这说明所建立的模型是较好的模型,因此可用来预测未来股价.例如,用5天的数据预测未来一天的股价是12.3598.这与实际数据的绝对误差分别是0.2902.
例2. 以下用GM(1,1)模型来分析五洲交通的股价趋势.
2001年2月15日至2月26日五洲交通的收盘价如下
表4-2
日期
2月15日
2月16日
2月19日
2月20日
2月21日
2月22日
2月23日
2月26日
收盘价
11.68
11.69
11.81
11.72
11.47
11.50
11.77
11.85
对以上数据建立4维新陈代谢模型族
即
(11.68,11.69,11.81,11.72),
(11.69,11.81,11.72,11.47),
(11.81,11.72,11.47,11.50),
(11.72,11.47,11.50,11.77).
对1时区的原始数据建立GM(1,1)模型
由于
AGO
,
(11.68,23.37,35.18,46.9),
(17.525,29.275,41.04).
因此
,
,
.
从而
=(-0.00127388,11.7027)T.
故1时区的GM(1,1)模型为
.
以上微分方程的解为
.
还原后的模型值按
计算,可得模型值、实际值、绝对误差、相对误差如下
表4-3
模型值
实际值
绝对误差
相对误差%
11.68
11.68
0
0
11.725
11.69
0.035
0.3
11.74
11.81
0.07
0.6
11.755
11.72
0.035
0.3
此模型的误差较为理想,不需要修正模型.
这模型的预测值为
11.7699,
11.7849,
11.8.
事实上,下一天的收盘价为11.47,预测的绝对误差为0.3.
再考察2时区的原始数据
(11.69,11.81,11.72,11.47),其GM(1,1)模型为
.
以上微分方程的解为
.
还原后的模型值按
计算得
11.69,
11.8365,
11.6656,
11.4973
11.3313,
11.1678,
11.0066.
事实上,下一天的收盘价为11.50,预测的绝对误差为0.17.
继续考察3时区的原始数据
(11.81,11.72,11.47,11.50),其GM(1,1)模型为
.
以上微分方程的解为
.
还原后的模型值按
计算得
11.81,
11.6739,
11.5629,
11.453,
11.3441,
11.2363,
11.1295.
事实上,下一天的收盘价为11.72,预测的绝对误差为0.38.
继续考察4时区的原始数据
(11.72,11.47,11.50,11.77),其GM(1,1)模型为
.
以上微分方程的解为
.
还原后的模型值按
计算得
11.72,
11.4296,
11.5792,
11.7307,
11.8841,
12.0396,
12.1971.
事实上,下一天的收盘价为11.85,预测的绝对误差为0.03.
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