应用数理统计吴翊李永乐假设检验课后作业参考答案Word格式文档下载.docx
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・・・接受认为这批矿砂的線含量为3.25。
3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值戸=0.452%,S=0.035%,设总体为正态分布N(//,ct2),试在水平5%检验假设:
(/)H0:
//>
0.5%H「“VO・5%
(〃)H°
9»
0.04%H]yv0.0.4%
⑴构造统计量:
本文中<7未知,可用/检验。
取检验统计量为X-//O
sA/TT
本题中,乂=0.452%S=O.O35%
0.452%-0.5%
t二「=-4.1143
0.035%/V10-l
拒绝域为:
V二1)}
本题中,67=0.0511=10
*95(9)=1.8331<忖=4.1143
•••拒绝(“)构造统计量:
“未知,可选择统计量
.11S2r=—
本题中,S=0.035%11=10(r0=0.04%
V={z2>
Z1ta(n-l)}
本题中,
总5-1)=加95(9)=16.919
•••才v总(〃-1)
•••接受H。
3・6使用A(电学法)与E(混合法)两种方法来研究冰的潜热,样品都是-0.72P的冰块,下
列数据是每克冰从-0.72P变成(TC水的过程中吸收的热量(卡/克);
79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02
方法B:
80.02,79.94,79.97,79.98,79.97,80.03,79.95,79.97
假设每种方法测得的数据都服从正态分布,且他们的方差相等。
检验:
两种方法的总体
均值相等。
(g=0・05)
—]2-13
X=一工X,=80.020&
Y=—工乙=79.9788
13,•=!
8,-=1
=5.4xlO_4,S;
=i^(y.-y)2=8.6xl0-4
"
8台
⑴提出假设Ho:
“1=H]:
“1H“2
(3)否定域
(4)给定显著性水平a=0.05时,临界值
ta(①+佝一2)=g.975(19)=2.0930
1——
2
(5)t>t&
(耳+几-2),样本点在否定域内,故拒绝原假设,认为两种方法的总体均值不
1—~
相等。
3.7今有两台机床加工同一种零件,分别取6个及9个零件侧其口径,数据记为
X\,X,…X©
及X,…岭,计算得
6699
工X,=2046工=6978.93,工匕=307.&
工罗=15280.173
1=1i=i1=1(=1
假设零件的II径服从正态分布,给定显著性水平<7=0.05,问是否可认为这两台机床加工
零件II径的方法无显著性差异?
=0.357
s;
=—£
x「一=o.345,s;
=-Yr/-y"
□曰・n/=i
(1)提出假设Hj・员=cr;
KHg⑵构造统计十號赍=3
v=<
F<
化(心一1,从一1)
>
5
■J
F>
F&
(心一1,耳一1)
=<
F
〉Fa(/Ji-—1)
1-—
1——*>
—
Fa(©
-L«
2-1)=^0.975(5$)=4.821——
(5)F<
F样本点在否定域之外,故接受原假设,认为两台机床加工零
1——r
件11径的方差无显著性影响。
3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中S/O?
的含量,得如下结果
重量法:
n=5次测量,壬=20.5%,S】=0.206%
比色法:
n=5次测量,P=21.3%,S2=0.358%
假设两种分析法结果都服从正态分布,问
(1)两种分析方法的精度(b)是否相同?
(it)两种分析方法的均值(“)是否相同?
(a=0.01)
(i)
提出原假设:
H°
:
q=6HjqHq
对此可采用统计量
比(q-l)S;
在H。
下,F〜F(耳-1,$-1),我们可取否定域为
v=bn鸟一1)
F>
F』勺一1—1)
13J
1—
9
J—
此时P(V|H°
)二a=0.01
本题中,厲=5,{=20.5%,5=0.206%
厲=5,y=21.3%,5=0.358%
代入上式得:
=0.3311
F—比(冬_1)S;
_5*(5_1)*(0・206%严-n2(/^-1)5;
_5*(5-1)*(0.358%)2
(X-Y)
+n2S;
其中S:
二丄±
(X厂X)2s;
二丄t(y-F)2
“2>
=1
成立时,/服从自由度为厲+n2-2的/分布o否定域为:
v=^|t|>
ra((®
+"
2-2))•
1_2
此时P(V|H0)=<
z=O.Ol
本题中,4=5,殳=20.5%,5=0.206%
耳=5,y=21.3%,S】=0.358%
L阿兀」乂_刃
VV阳+乍;
_p*5*(5+5-2)*(20.5%-21.3%)
V5+5J5*(0.20&
%严+5*(0.358%严
=-3.8737
ta(W1+«
2~2)=t0995(8)=3.3554
1-一
•・・/〉t(厲+“2-2)
2拒绝检,即差距显著。
3.9设总体X〜•…乙§
为样本,考虑如下检验问题:
Ho.“=0H]:
〃=一1
⑴试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为<
7=0.05
Vx={2X<
-1.645}
V2={1.50<
2晨2.125}
V3={2X<
-1.96或2灵>
1.96}
(11)通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?
玖V3|H0)=l-P^|2X|<
1.96|=2(1—①(1.96))=0.05
(li)
犯第二类错误的概率
0二p{x-v|6}
%:
A=p{2X>
-1.645|//=-1|
—>
0.355=1-0(0.355)=0.36
V2:
/72=1-p{1.50<
2X<
2.125|//=-1}
■
=l-P<
^3.50<
—<
4.125>
CT
=1-0(4.125)+0(3.50)
匕:
03=p{|2牛1.96”=_1}
=P<
^0.04<
—<
3.96
二①(3・96)-①(0.04)
=0.99996092-0.516=0.48396092
・・・\:
出现第二类错误的概率最小,即V;
最好。
3.10一骰子投掷了120次,得到下列结果:
点数
1
3
4
6
出现次数
23
26
21
20
15
问这个骰子是否均匀?
(a=0.05)
本题原假设为:
H。
£
=2i=l,2,…,6
这里2120,口匕=20
本题釆用的统计量为PearsonF统计量
代入数据为:
1=1
/乙(k-1)二加956)=11-071
由于才<羞打(妄1)所以接受H。
即认为这个是均匀的。
3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如卜•表:
呼吸次数
=7
频数
8
16
17
10
试问这个分布能看作为泊松分布吗?
(Q二0.05)
检验冋题为:
H「-P(x=k)=^-参数为2k\
已知2的最大似然估计
-a81610
2=X=n=0*——+1*——+•…+6*——+7*——+••・=260606060
£
=P{X=0}=-^-=宀0.1353
-2
P2=P^X=]}=—=2*宀0.2707
1!
22p-2
P5=P{X=2}=-—=2*宀0.2707
2'
严
乙=p{X=3}=—r=1.5*严=0.2030
P5=P^X=4}=
24严
4!
E=P{X=6}=
P6=P{X=5}=—
0.0361
弐二=厶宀0.0120
6!
45
P3=P{X>
1}=1^P{X<
6}=0
2_§
(/?
.-npf_(8-60*0.1353)2(16_60*0.2707)(1-60*0.0120)'
7一召—np.60*0.1353—+—60*0.2707—+…+—60*0.0120
二0.6145由于力二/k-l)二加95(5)=11.071
••-力y(k-i)
接受H。
即分布可以看作为泊松分布。
3.12检查产品质量时,每次抽取10个来检查,共抽取100次,记录每10个产品中的次品
数如下表:
次品数
...
35
40
18
试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的,即次品数X是否服从二项分布?
(G=0.1)
提出假设p(x=k)=c”(i_py
参数p的极大似然估计为:
p=(0x35+lx40+---+10x0)/1000=0.1
厶=p(X=0)=09°
=0.3487
片=p(X=1)=C;
oO.llO.99=0.3874
P2=P(X=2)=C^0.120.98=0.1937
p,=p(X=3)=C^0.130.97=0.0574
P4=P(X=4)=C^0.140.96=0.0112
P5=P(X=5)=C^0.150.95=0.0015
P6=P(X=6)=C^oO.l6O.94=0.0001
p7=p3=p9=p10.o
才=£
(—〃/汀=50734
x'
-a(^-1)=Zo.9(6)=10.645,u-1)>
z2,故在置性水平a=0.1下接受H°
认为
测得他们的直径为(单位:
mm)
次品数服从二项分布。
15.0
15.8
15.2
15.1
15.9
14.7
14.8
15.5
15.6
15.3
15.7
14.5
14.2
14.9
14.6
3.13从一批滚珠中随机抽取了50个,
是否可认为这批滚珠直径服从正态分布?
(&
=0.05)
设X为滚球的直径,其分布函数为尸(x),则检验问题为
比/⑴二①(口)
(7
成立的条件下,参数〃,o■'
的最大似然估计为〃二15.078,*=0.1833
14.6-15.078n1231
p{=C>
()=①(-1.1163)=0.1321
10.4282
=^14-8-15.078
-0.4282
)-0(4.1163)=0(-0.6492)一①(-1.1163)=0.1260
^15.1-15.078
30.4282
)-①(-0.6492)=0(0.0514)-0(-0.6492)=0.2624
15.4-15.078
~~0.4282-
)-0(-0.6492)=①(0.7520)-0(0.0514)=0.2535
P5=1-必一p2-“3-]儿=0.2260
壮p(kml)二九Q)二5.991
v总=5.991接受H。
认为滚珠直径服从正态分布。
(_q)
叫
Pl
(叫-
W
(0J4.6)
0.1321
6.6061
0.0556
[14.6J4.8)
0.1260
6.2976
0.2674
[14.8,15.1)
13
0.2624
13.1209
0.0011
[15.1,15.4)
14
0.2535
12.6752
0.1385
[15.4,-wo)
12
0.2260
11.3003
0.0433
0.5059
表3J3
吸烟
不吸烟
患慢性支气管炎
43
56
未患慢性支气管炎
162
121
283
205
134
339
患病率
9.7
16.5
3.14调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系,得下表:
试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同?
(Q=0.01)
Hq:
吸烟考与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同
H「吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同对每个对象考察两个指标,X一一是否吸烟,Y一一是否患病
X的取值:
吸烟,不吸烟:
Y的取值:
患病,不患病
要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关,这是一个r=s=2的二元列联表
=13,/?
^=162,=121,=56,/?
1=205,/?
-,=283,/?
7=134
nLnAn2n.2
认为吸烟者的慢性
对于a=0.01,查表Z2i-a(l)=Z^
(1)=6.635<
/2,所以拒绝
支气管炎病患病率较高。
3.15卜列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。
、年龄疗
儿童
成年
老年
显著
58
38
32
128
一般
28
44
45
117
较差
55
109
100
91
300
试问疗效与年龄是否有关(a=0.05)?
设X为年龄X严儿童X.=成年X3=老年
解・--3
'
Y为疗效£
=显著Y厂一般丫3=较差
Ho:
Pij=p,*Pii二1,2,3j二1,2,3即X与Y独立
本题选择的统计量为
OAA/582382322282442452
109*128100*12891*128109*117100*11791*117232182142.、
109*55100*5591*55
=13.5862
心((_1)(—1))=加95(4)=9.488•••f>
Xia(V-1)G-1))=Zo.95⑷拒绝H。
认为疗效与年龄有关。
3.16自动机床加工轴,从成品中抽取11根,并测得它们直径(单位:
mm)如下:
10.5210.41
10.3210.1810.6410.77
10.8210.6710.5910.3810.49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布?
(a=0.05,用W检验)
为了便于计算,列表如下:
这里11=11。
表3J6
k
X⑷
X
X(卄灯-Xg)
诃)
10.18
10.82
0.64
0.5601
10.32
10.77
0.45
0.3315
10.38
10.67
0.29
10.41
10.64
0.23
0.1429
10.49
10.59
0.1
0.0695
10.52
总体服从正态分布H1:
总体不服从正态分布
将观察值按非降次序排列成:
X⑴<
X
(2)<
•••<
x㈤
本题采用的统计量为:
也I2
iX(W)[X(n”)—X(k>
]•k=l
W二—
Jt=l
X(XW-X)2=0.3821
X=10.5264
i-1
=0.5601*0.64+03315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1
=0.6130所以
佃3
Woos=0.85
•••W>
%
・・・接受H。
认为这批零件的直径服从正态分布。
3.17用DAgostinoD检验法检验例3.20o
维尼纶纤度服从正态分布:
维尼纶纤度不服从正态分布
为了便于计算,统计量D的分子可以换成与其相等的形式:
定义统计量:
对于给定的显著性水平a=0.0h查表得
Da=D0995=1.59,Da=Z)0005=-3.57于Q<
D<
D八故接受H。
,认为维尼纶1————1——
2222
纤度服从正态分布
•18用两种材料的灯丝制造灯泡,今分别随机抽取若干个进行寿命试验,其结果如下:
甲(小时):
1610165016801700175017201800
乙(小时):
15801600164016401700
试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(67=0.05)?
将两组数据按从小到人的次序混合排列如下表所示,其中第一组的数据下边标有横线。
设两个总体的分布函数分別为E(x)与耳(X),它们都是连续函数,但均为未知。
我们要检验的原假设为:
H0:
F1W=EW
表3J8
序号
7
11
数据
1580
1600
1610
1640
1650
1680
1700
1720
1750
1800
这里1700两组都有,排在第8,第9位置上,它的秩取平均数(8+9)/2=8.5这里
z?
i=7>
n2=5J取0,即
T二T?
=l+2+4+5+&
5=20.5从附表13查得Tf=瑞5=22,Tf=T眾=43
T<
T^=22,
拒绝认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。
3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验,共发生12次故障,故障时间为
34043056092013801520
166017702100232023501650
试问在显著水平Q=0.10下,故障爭件是否服从指数分布?
原假设为:
Ho:
F(x)=F^x-b)=1一x>
求未知参数加勺极大似然估计值
A1121
0=—工X严一(340+430+…+1650)=1416.67
1212
a按公式F°
(X⑴;
0)=1-€141667计算X⑴点的分布函数值,在列表计算/值。
ni
耳皿)
%
%)
340
0.2134
0.0833
0.1300
430
0.2618
0.1667
0.1785
0.0951
560
0.3265
0.2500
0.1599
0.0765
920
0.4776
0.3333
0.2276
0.1443
1380
0.6225
0.4167
0.2891
0.2058
1520
0.6580
0.5000
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