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则是的充分非必要条件;
则是的必要非充分条件;
则是的充要条件;
则是的既非充分又非必要条件;
7.对映射的概念了解吗?
映射f:
A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。
如:
若,;
问:
到的映射有个,到的映射有个;
到的函数有个,若,则到的一一映射有个。
函数的图象与直线交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:
①表达式相同;
②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
函数定义域求法:
?
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是[-1,1] ,值域是,函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π],函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
复合函数定义域的求法:
已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。
例若函数的定义域为,则的定义域为。
分析:
由函数的定义域为可知:
;
所以中有。
解:
依题意知:
解之,得
∴ 的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=,,的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域。
原函数可化简得:
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:
[10,+∞)
例求函数y=+的值域
原函数可变形为:
y=+
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞)。
例求函数y=-的值域
将函数变形为:
y=-
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。
即:
y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边,
有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣<∣AB∣==
-<y<
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。
综上所述,可知函数的值域为:
(-,-)。
注:
求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧。
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
13.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;
②互换x、y;
③注明定义域)
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数的反函数是(B)
A.y=x2-2x+2(x<
1)B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x(x<
1)D.y=x2-2x(x≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。
可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>
=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>
=1,则反函数定义域为x>
=1,答案为B.
我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。
思路能不能明白呢?
14.反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
(04.上海春季高考)已知函数,则方程的解__________.1
对于这一类题目,其实方法特别简单,呵呵。
已知反函数的y,不就是原函数的x吗?
那代进去阿,答案是不是已经出来了呢?
(也可能是告诉你反函数的x值,那方法也一样,呵呵。
自己想想,不懂再问我
15.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;
当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;
若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数
增增增增增
增减减//
减增减//
减减增减减
∴……)
16.如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
A.0B.1C.2D.3
∴a的最大值为3)
17.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)
奇奇奇奇偶
奇偶偶非奇非偶奇
偶奇偶非奇非偶奇
偶偶偶偶偶
18.你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推导:
,
同时可能也会遇到这种样子:
f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:
函数f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
19.你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)
(这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我还是写出来吧。
对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。
你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
注意如下“翻折”变换:
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质!
(注意底数的限定!
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
(均值不等式一定要注意等号成立的条件)
20.你在基本运算上常出现错误吗?
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x,
2、令x=0或1来求出f(0)或f
(1)
3、求奇偶性,令y=—x;
求单调性:
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±
y)=f(x)±
f(y)
2.幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)=f(x)f(y);
f()=
3.指数函数型的抽象函数
f(x)=ax-------------------f(x+y)=f(x)f(y);
f(x-y)=
4.对数函数型的抽象函数
f(x)=logax(a>
0且a≠1)-----f(x?
y)=f(x)+f(y);
f()=f(x)-f(y)
5.三角函数型的抽象函数
f(x)=tgx--------------------------f(x+y)=
f(x)=cotx------------------------f(x+y)=
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>
0时,f(x)>
0,f(-1)=-2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));
再根据区间求其值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>
2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<
3的解.
先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);
再求出f
(1)=3;
最后脱去函数符号.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.
(1)令y=-1;
(2)利用f(x1)=f(?
x2)=f()f(x2);
(3)0≤a≤2.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);
对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
(1)令x=y=0;
(2)令y=x≠0.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:
①f(x)>
0,x∈N;
②f(a+b)=f(a)f(b),a、b∈N;
③f
(2)=4.同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
先猜出f(x)=2x;
再用数学归纳法证明.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x?
y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1)f
(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
(1)利用3=1×
3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)?
g(b)是否正确,试说明理由.
设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,
进而m+n=f(a)+f(b)=f(ab)=f[g(m)g(n)]….
例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
①x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0.
试问:
(1)f(x)的奇偶性如何?
说明理由;
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?
说明理由.
分析:
(1)利用f[-(x1-x2)]=-f[(x1-x2)],判定f(x)是奇函数;
(3)先证明f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求证:
f
(1)=f(-1)=0;
(2)求证:
f(x)为偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-)≤0.
函数模型为:
f(x)=loga|x|(a>0)
(1)先令x=y=1,再令x=y=-1;
(2)令y=-1;
(3)由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).
例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)?
f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1)当x>0时,0<f(x)<1;
(2)f(x)在x∈R上是减函数.
(1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x;
(3)受指数函数单调性的启发:
由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=,
进而由x1<x2,有=f(x1-x2)>1.
练习题:
1.已知:
f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则()
(A)f(0)=0(B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1(D)以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是()
(A)f
(1)=0(B)f()=f(x)
(C)f()=f(x)-f(y)(D)f(xn)=nf(x)(n∈N)
3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:
f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是()
(A)(1,+∞)(B)(-∞,1)
(C)(0,1)(D)(-1,+∞)
4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f(x1-x2)=,则f(x)为()
(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是()
参考答案:
1.A
2.B
3.C
4.A
5.B
23.你记得弧度的定义吗?
能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
(和三角形的面积公式很相似,可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)
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