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例4.把三角形的边延长4厘米后,面积增加了14平方厘米。
求原来三角形的面积。
要求原来三角形的面积,只知道底,不知道高。
分析条件得知,把三角形的边延长4厘米后,面积增加14平方厘米,14平方厘米就是新增加的三角形的面积,根据14平方厘米和4厘米可以求出新增加三角形的高,也就是原来三角形的高。
这样,原来三角形的面积就可以求出了。
一个直角梯形的下底为10厘米。
如果把它的上底延长4厘米,原来的直角梯形就变成了正方形。
原来的直角梯形的面积是多少平方厘米?
1.如右图所示,阴影部分的面积比空白的直角三角形的面积大40平方厘米,求空白三角形的面积。
2.如右图所示,D是AC的中点,BC边上有三等分点,已知阴影部分的面积为20平方厘米,求三角形ABC的面积。
例5.如右图所示,三角形ABC的面积为75平方厘米,那么阴影部分的面积是多少?
阴影部分是个三角形,光知道底是6厘米,高无法得知,所以无法直接求出。
看看给我们的条件,AC边上有6厘米和6厘米,说明AC边上有两个等底等高的三角形,它们两个面积相等。
BC边上有10厘米和5厘米,说明三角形ABD的面积是三角形ACD面积的2倍。
三角形ABC的面积是75平方厘米,被平均分成三份,三角形ACD的面积是其中的一份,算式为75÷
3=25平方厘米,阴影部分的面积为25平方厘米的一半。
如右图所示,两条对角线把梯形分成四个三角形,已知两个三角形的面积,求梯形的面积。
平方厘米)
例6.如图所示,正方形ABCD的边长是8厘米,其中甲的面积比乙小6平方厘米,求CE的长。
要求CE的长,条件很不充分,不能直接求。
甲的面积比乙小6平方厘米这个条件也比较孤立。
怎么办?
不妨将甲的面积加上梯形ABCF的面积,合起来就是正方形ABCD的面积;
乙的面积也加上梯形ABCF的面积,合起来就是三角形ABE的面积。
这样正方形ABCD的面积仍然比三角形ABE的面积少6平方厘米。
根据正方形ABCD的面积推算出三角形ABE面积,再算出三角形ABE中BE的长,最后算出CE的长。
如右图所示,已知甲比乙的面积大3平方厘米,求AB的长。
四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形,其中三个的面积如右图所示(单位:
平方厘米),求四边形ABCD的面积。
练习二
1.等腰梯形的周长是48厘米,面积是96平方厘米,高是8厘米,则腰长是多少?
2.正方形一条对角形长10厘米,则正方形的面积是多少?
3.上底是10厘米,下底是25厘米的梯形,如果下底减少8厘米。
上底不变。
面积就减少84平方厘米,原梯形面积是多少平方厘米?
4.如右图所示,求图中阴影部分的面积。
5.如右图所示,在三角移ABC中,BD=DE=EC,BF=FA,三角形EDF的面积等于1平方厘米,那么三角形ABC的面积是多少?
6.如右图所示,长方形里有四个三角形,已知其中三个三角形的面积(单位:
平方厘米),求三角形ADE的面积。
7.如右图所示,长方形ABCD的面积为36平方厘米,E、F、G分别为AB、BC、CD的中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分的面积是多少?
8.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见下图),长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米?
三、认识小数
例1.把6.84,6.839,6.79,6.845,6.8399从大到小排列,并用“>
”连接。
小数的大小比较,必须从高位到低位进行,先比较整数部分,整数部分相同,再比较小数部分,在比较时同位上的数依次比较,如果比较高的数位上的数字大,这个小数就比较大。
通常可以采用“竖列法”比较,把小数点对齐,依次比较,标出序号。
解:
因为6.84
(2)所以6.845>
6.84>
6.8399>
6.839>
6.79
6.839(4)
6.79(5)
6.845
(1)
6.8399(3)
把7.O7,7,7.707,7.007,7.708,7.8从大到小排列,并用“>
例2.有五张卡片分别写上0,0、2、4和小数点,用其中的几张卡片按要求摆出小数。
(1)整数部分是0的三位小数;
(2)只读一个“零”的两位小数;
(3)一个“零”也不读的一位小数。
这题是按要求写出小数:
整数部分是0的三位小数,它的小数部分只能用0、2、4这三个数字;
只读一个“零”的两位小数,题中说明用其中的几张卡片,并没有规定全部用完,因此可摆出不同的小数;
一个“零”也不读的一位小数则可用不同的卡片,摆出多个符合条件的小数。
摆时注意按一定的顺序,这样可以做到不重复不遗漏。
(1)整数部分是0的三位小数:
0.024、0.042、0.204、0.240、0.402、0.420;
(2)只读一个“零”的两位小数:
O.24、0.42、20.04、20.40、40.02、40.20;
(3)一个“零”也不读的一位小数:
2.4、4.2、20.4、4012、200.4、400.2。
有五张卡片分别写上0.0、4、8和小数点,用其中的几张卡片按要求摆出小数。
1.把0.09、0.091、0.909、O.0901按从大到小排列,并用“>
2.用数字1、2、3和小数点,能组成多少个不同的两位小数?
把它们一一写下来,并把它们按从大到小的顺序排列。
例3.一个三位小数,用“四舍五入”法精确到百分位约是5.00,这个三位小数最大是多少?
最小是多少?
用“四舍五入”法求近似值,其中“五入”法后的结果会比原数大,“四舍”法后的结果会比原数小,根据这个知识可判断原来这个三位小数最大应该是四舍后得到的,原数要比5.O0大,精确到百分位,只能看千分位,最大只能是5.004;
最小应该是五入后得到的,要比5.O0小,只能是四点几,精确到百分位,只能看千分位,最小只能是4.995。
答:
最大是5.004,最小是4.995。
一个三位小数,用“四舍五入”法精确到百分位约是2.50,这个三位小数最大是多少?
例4.小华在读一个小数时,把小数点读丢了,结果读成四万五千零一,原来的小数只读一个零,原来的小数是()。
因为把小数点读丢了,所以读成整数45001,如果加上小数点,原来的数可能是4500.1,450.O1,45.001,4.5001这几个小数,但题目又说原来的小数只读一个零,所以符合条件的小数是450.O1。
小强在读数时看漏了小数点,读成三千零八。
原数的计数单位是0.01,原数是()。
例5.数列123.45、123.54、124.35、124.53…、542.13、542.31、543.12、543.21,自左向右第70个数是多少?
题中各个数都是由1、2、3、4、5和小数点组成的由小到大排列而成的,用1做高位组成的两位小数有4×
3×
2×
1=24(个),那么用2、3、4、5、做最高位组成的两位小数都是24个,最高位是1、2、3组成的两位小数共有72个,第70个就是第72个中从小到大排列的倒数第三个,就是123.45、…352.41、354.12、354.21,所以第70个数是352,41。
[试一试]用1、2、3、4、5五个数字组成五位数,把这些五位数按从小到大的顺序排列,第98个数是多少?
1.找出规律在括号里填上合适的数。
0.5、1.5、4.5、()、()、()。
2.一个三位小数,用“四舍五入”法精确到十分位是8.5,这个三位小数最大是多少?
练习三
1.一个数由1个亿,9个千万,6个百万和40个百组成,这个数写作(),将这个数改写成用“亿”作单位的数是(),精确到0.01是()亿。
2.下面的小数在哪两个整数之间。
()<
1.9<
()()<
99.03<
()
3.大于0.6小于0.7的所有两位小数共有()个,其中最小的一个是(),最大的一个是()。
4.□里可以填哪些数字?
3.□7>
3.47();
O.542<
0.5□3()
5.用1、2、3、4和小数点可以摆出不同的小数,在这些小数中最大的是(),最小的是()。
6.有一个三位小数,如果将它保留两位小数取近似数是6.84,这个三位小数最大是(),最小是()。
另有一个整数保留整万是6万,这个数最大是(),最小是()。
7.用0、1、2、3四个数字组成的四位数中,从小到大排列起来,第15个数是()。
8.一串数按下面的规律排列。
1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、5、6、7……从第一个起,前100个数的和是多少?
9.已知A+D<
B+C,A+B<
D,且A+C=B+D,那么A、B、CD四个数从大到小排列的顺序是()。
四、小数加减法
例1.一位同学在计算2.45加上一个一位小数时,由于错误地把数的末尾对齐。
结果得到2.72。
正确的结果应是多少?
想2.72-2.45=0.27,0.27就是被看错的那一个加数,它应该是一位小数,而不是两位小数。
这个加数是2.7,再按正确算法算出正确的结果。
你试着算一算。
正确的结果应是_______________。
一位同学在计算2.45减一个一位小数时,由于错误地把数的末尾对齐,结果得到2.23,正确的结果应是多少?
例2.在一道减法算式中,被减数、减数、差的和是46.已知差是13.6.那么减数是多少?
根据减数加差等于被减数,也就是2个被减数的和是46,所以先用46除以2得到被减数,再用被减数减差得到减数。
在一道减法算式中,被减数、减数、差相加的和是20.8,其中减数是8.2,求差是多少?
1.小明在计算3.85减去一个三位小数时,由于错误地将末位对齐,结果得0.83,正确的结果是多少?
2.小虎在计算23.47-(□+5.62)时错算成23.47-□+5.62,结果得11.8,正确的结果是多少?
例3.两个数的和是5.8,如果一个加数增加2.4,另一个加数减少1.2,那么和是多少?
一个加数增加2.4,和就增加2.4;
另一个加数减少1.2,和就减少1.2,现在的和就应该……。
两个数的差是25.6,如果被减数减少5,减数增加8,现在的差是多少?
例4.一道加法题,如果把一个加数十分位上的8看成3,把另一个加数个位上的3看成8,结果和是53.71,正确的和应是多少?
将十分位上的8看成3,少加了0.8-0.3=0.5,个位上的3者成8,多加了8-3=5,想一想怎样运用错误的和与多加的、少加的部分得到正确的和呢?
小华在计算一道小数减法时,把被减数个位上的8看成了5,把减数百分位上的2看成了7,错误的结果与正确的结果相差多少?
1.甲数减去乙数差是4.1,如果减数增加0.8,被减数增加0.5,差是多少?
2.小军在计算一道减法题时,把被减数的十分位上的4看成9,把减数百分位上的9看成了4,错误的结果和正确的结果相差多少?
练习四
一、用简便方法计算。
0.872+13.07+0.9380.17-5.3-5.17-4.7
28.6-(0.72+8.6)-3.288.03-(4.36+2.03)-1.64
5.37+2.625-5.37+2.4850.5+0.7+0.9+1.1+1.3+1.5
二、应用题。
1.修一条路,已修15.7米,比剩下的少12.9米。
这条路长多少米?
2.菜场运来牛肉O.68吨,羊肉比牛肉多0.22吨。
菜场一共运来牛肉和羊肉多少千克?
3.一次跳远比赛,小强跳3.06米,小星比小强多跳0.19米,小星比小明多跳0.33米,小明跳多少米?
4.小方带18.96元,小兰带9.3元,两人的钱合起来买一套书后,还剩下2.87元。
这套书多少元?
5.有一根2.5千米长的绳子被剪了两次,第一次剪去120.8米,第一次比第二次多剪6.2米。
这根绳子比原来短了多少米?
6.一个热水瓶比一只锅贵15.7元,比电磁炉便宜176.42元,一只锅22.8元。
妈妈打算买热水瓶、锅、电磁炉各一只,请你帮助计算一下,她带300元钱够吗?
7.小马虎在计算一道小数减法时,把被减数十分位上的8看成了5,把减数百分位上的7看成了9,你能知道错误的结果与正确的结果相差多少吗?
8.从高空落下一只金属球,经5秒种落地。
已知第一秒下落8.6米,第二秒比第一秒快9.8米,第三秒比第二秒又快9.8米,照这样的规律,第五秒下落了多少米?
金属球最初是从多少米的高度下落的?
(先列表,再解答)
9.小明和小红计算同一道减法题时,小明计算结果是5618,小红的计算结果是38,已知小明的计算结果正确,小红计算错误的原因是将减数的末尾多写了一个O,被减数和减数各多少?
10.设a=0.00000……08b=0.00000……0225
100个100个
则a+b=?
a-b=?
五、生活中的数学问题(周期规律)
例1.有一列数,1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……
(1)第2009个数是多少?
(2)这2009个数字中,“2”会出现多少次?
(3)这2009个数相加的和是多少?
仔细观察,这2009个数不是随意排列的,每六个数重复一次,按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。
周期找到了,接着用总量除以周期,把余数与周期对比,很容易解答问题。
(1)2009÷
6=334…5,即重复了334次,还余5个数,分别是1、4、2、8、5。
所以第2009个数就是5。
(2)(1、4、2、8,5、7)重复了334次,“2”也就出现了334次,再加上余下的五个数中,“2”又出现了一次,所以,数字“2”总共出现了335次。
(3)我们把2009个数按每一组(1、4、2、8、5、7)这样分组,可以分成334组,还剩5个数,334组的数都相同,每组的和=1+4+2+8+5+7=27,那么这334组的总和是27×
334=9018,再加上还余下的五个数,即为2009个数的总和了。
(1+4+2+8+5+7)×
334+(1+4+2+8+5)=9018+20=9038
有一列数,1、2、2、8、2、2、8……
(1)第2012个数是多少?
(2)这2012个数字中,“2”会出现多少次?
(3)这2012个数相加的和是多少?
例2.求2×
…×
2+3×
3的和的个位数字是几。
2008个“2”2009个“3”
要想求和的个位数字,关键是要求出每个加数的个位数字。
(1)先观察下2×
2(2008个2相乘)个位数的特点,看是否有周期性,若有,则可根据周期问题的方法来解答。
2个位数字是2
2个位数字是4
2个位数字是8
2个位数字是6
2个位数字是2
可见,个位数字是按2、4、8、6不断循环重复,所以周期是4。
2008÷
4=502(组),没余数,个位数字就是最后一个:
6。
(2)同理,我们也可以找出3×
3×
3(2009个3相乘)个位数字的排列规律。
即:
3个位数字是3
3个位数字是9
3个位数字是7
3个位数字是1
3个位数字是3
可见,个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现,所以周期是4。
2009÷
4=502(组)……1(个),余数是1,个位数字就是周期里面的第一个数,即3。
所以,求2×
2(2008个2相乘)+3×
3(2009个3相乘)的个位数字,就是6+3的个位数字,即9。
100个7相乘的积的个位数字是几?
例3.2009个学生按下列方法编号排成五列
一二三四五
12345
9876
10111213
17161514
18192021
25242322
……
问最后一个学生应该在第几列?
这个问题的关键是找到排列周期。
仔细观察,除了第一个学生外,从第一排的第二个学生开始,将第一排与第二排结合起来看,排列次序是二、三、四、五,四、三、二、一;
将第三排与第四排结合起来看排列次序也是:
二、三、四、五、四、三、二、一。
因此,可以判断:
除了第一个学生外,其余学生是按“二、三、四、五、四、三、二、一”的规律不断循环重复,所以周期是8。
接下来你可以试着算一算。
伸出你的左手,从大拇指开始,按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指……的顺序依次数数字:
1、2、3……,问:
数到2019时,你数在哪个手指上?
例4.2009年9月8日是星期二。
(1)2009年9月27日是星期几?
(2)2009年12月25日是星期几?
(3)2012年10月15日是星期几?
推算星期几的题目,第一要知道周期;
第二也是最重要的是要学会计算天数。
第三推星期几:
总天数除以7,看余数,余几就从当天往后推几天。
一周七天,不断循环重复,周期是7。
计算天数时,遵守以下几个规律:
①一个月之内的,尾减首就得天数。
②跨月的,先算整月再算零头天数。
③跨年的,先算整年再算整月最后算零头天数。
④有几个常识要清楚:
1、3、5、7、8、10、12月为大月(31天);
4、6、9、11月为小月(30天);
2月平年28天,闰年29天;
年:
平年365天,闰年:
366天,四年一闰,一般情况下能被4整除的是闰年,下面的为例外:
能被100整除的但不能被400整除的是平年。
3200年以及它的倍数年将不是闰年。
(1)属一个月之内的。
从9月8日到27日有27-8=19天
19÷
7=2(周)……5(天)
从星期二往后推5天,就是星期日,即2009年9月27日是星期日
(2)属跨月的。
先算整月:
9月8日至1O月8日至11月8日至12月8日,三个月共
30+31+30=91(天)
再算零头:
12月8日至12月25日有25-8=17(天)
所以,共有91+17=108(天)108÷
7=15(周)……3(天)
从星期二往后推三天,就是星期五,即2009年12月25日是星期五。
(3)属跨年的。
先算整年:
2009.9.8~2010.9.8~2011.9.8~2012.9.8
三年共365+365+366=1096(天)
再算整月:
2012.9.8~2012.10.8一个月共30天
最后算零头:
2012.10.8—10.15共15-8=7(天)
所以共有:
1096+30+7=1119天
1133÷
7=161(周)……6(天)
从星期二往后推六天,就是星期一,即2012年10月1日是星期一
1.2012年1月1日是星期日,2012年的1O月1日是星期几?
2.今天是星期(),再过80天是星期几?
小明的生日是五月八日,他的生日应该是星期几?
例5.出租车起步价是6元,超过3千米每千米1.2元,不足1千米按1千米算,李叔叔乘出租车行6.52千米,应付多少元?
张叔叔共付10.8元,他最多乘车行多少千米?
王叔叔从家到公园乘出租车共付18元,他家到公园多少千米?
本题已知信息比较多,也比较复杂,我们可以用列表整理信息的解题策略。
路程
小于等于3千米
3千米以外
不足1千米
6.52千米
?
千米
车价
6元
每千米1.2元
1.2元
元
10.8元
18元
第一问:
因为6.52千米大于3千米,所以6.52千米有两个部分组成,一部分是3千米,车价6元,另一部分3千米以外6.52-3=3.52千米,由于不足1千米按1千米算,所以超出部分应按4千米算,车价为4×
1.2=4.8元,所以李叔叔应付6+4.8=10.8元。
列式解答:
6.52-3=3.52(千米)3.52千米≈4千米
4×
1.2=4.8(元)6+4.8=10.8(元)
李叔
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