初升高数学提高练习第十五讲 相似三角形一Word格式.docx
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解在△ABC中,因为EF∥AB,所以
同样,在△DBC中有
①+②得
设EF=x厘米,又已知AB=6厘米,CD=9厘米,代入③得
说明由证明过程我们发现,本题可以有以下一般结论:
“如本题
请同学自己证明.
例2如图2-65所示.
ABCD的对角线交于O,OE交BC于E,交AB的延长线于F.若AB=a,BC=b,BF=c,求BE.
分析本题所给出的已知长的线段AB,BC,BF位置分散,应设法利用平行四边形中的等量关系,通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来,为此,过O作OG∥BC,交AB于G,构造出△FEB∽△FOG,进而求解.
解过O作OG∥BC,交AB于G.显然,OG是△ABC的中位线,所以
在△FOG中,由于GO∥EB,所以
例3如图2-66所示.在△ABC中,∠BAC=120°
,AD平分
分析因为AD平分∠BAC(=120°
),所以∠BAD=∠EAD=60°
.若引DE∥AB,交AC于E,则△ADE为正三角形,从而AE=DE=AD,利用△CED∽△CAB,可实现求证的目标.
证过D引DE∥AB,交AC于E.因为AD是∠BAC的平分线,∠BAC=120°
,所以
∠BAD=∠CAD=60°
.
又
∠BAD=∠EDA=60°
,
所以△ADE是正三角形,所以
EA=ED=AD.①
由于DE∥AB,所以△CED∽△CAB,所以
由①,②得
从而
例4如图2-67所示.
ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
分析与例2类似,求证中诸线段的位置过于“分散”,因此,应利用平行四边形的性质,通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证.
证延长CB与EG,其延长线交于H,如虚线所示,构造平行四边形AIHB.在△EIH中,由于DF∥IH,所以
在△OED与△OBH中,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,
所以△OED≌△OBH(AAS).
DE=BH=AI,
例5(梅内劳斯定理)一条直线与三角形ABC的三边BC,CA,AB(或其延长线)分别交于D,E,F(如图2-68所示).求
分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证.
证过B引BG∥EF,交AC于G.由平行线截线段成比例性质知
说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G,将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证.
例6如图2-69所示.P为△ABC内一点,过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求d.
分析由于图中平行线段甚多,因而产生诸多相似三角形及平行四边形.利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质,首先得到一个一般关系:
进而求d.
因为FG∥BC,HI∥CA,ED∥AB,易知,四边形AIPE,BDPF,CGPH均是平行四边形.△BHI∽△AFG∽△ABC,从而
将②代入①左端得
因为
DE=PE+PD=AI+FB,④
AF=AI+FI,⑤
BI=IF+FB.⑥
由④,⑤,⑥知,③的分子为
DE+AF+BI=2×
(AI+IF+FB)=2AB.
即
下面计算d.
因为DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425,代入①得
解得d=306.
练习十五
1.如图2-70所示.梯形ABCD中,AD∥BC,BD,AC交于O点,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC.AD=12厘米,BC=20厘米.求EF.
2.已知P为
ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q
3.如图2-72所示.梯形ABCD中,AD∥BC,MN∥BC,且MN与对角线BD交于O.若AD=DO=a,BC=BO=b,求MN.
4.P为△ABC内一点,过P点作DE,FG,IH分别平行于AB,BC,CA(如图2-73所示).求证:
5.如图2-74所示.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD.一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知EF=FG=CH=HI=HJ,求DC∶AB.
6.已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F.求证:
不少于2.
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