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分率=相应量(比较劲)
(3)分率前是“多或少”:
单位“1”量×
(1
分率)=相应量(比较劲)
三、倒数
1、倒数意义:
乘积是1两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁倒数)。
2、求倒数办法:
(1)、求分数倒数:
互换分子分母位置。
(2)、求整数倒数:
把整数看做分母是1分数,再互换分子分母位置。
(3)、求带分数倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、1倒数是1;
0没有倒数。
由于1×
1=1;
0乘任何数都得0,
(分母不能为0)
4、对于任意数
,它倒数为
;
非零整数
倒数为
分数
倒数是
5、真分数倒数不不大于1;
假分数倒数不大于或等于1;
带分数倒数不大于1。
第二单元位置与方向
1、位置与方向三要素:
方向、角度、距离。
方向:
上北下南,左西右东。
2、位置相对性:
方向相反,角度相似,距离相等。
小明站在小华东偏南300方向200米处,那么小华站在小明西偏北300方向200米处。
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法意义:
乘法:
因数×
因数=积除法:
积÷
一种因数=另一种因数
分数除法与整数除法意义相似,表达已知两个因数积和其中一种因数,求另一种因数运算。
÷
表达已知两个因数积是
,其中一种因数是
,求另一种因数是多少。
2、分数除法计算法则:
除以一种不为0数,等于乘这个数倒数。
(甲数除以乙数(0除外),等于乘乙数倒数)
=
3、除法规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数不不大于1,商不大于被除数;
(2)、当除数不大于1(不等于0),商不不大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、“
”叫做中括号。
一种算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面,再算中括号里面。
二、分数除法解决问题
(未知单位“1”量(用除法):
已知单位“1”几分之几是多少,求单位“1”量。
)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中关系式相似:
(1)分率前是“”:
单位“1”量×
分率=分率相应量
(2)分率前是“多或少”意思:
分率)=分率相应量
2、解法:
(建议:
最佳用方程解答)
(1)方程:
依照数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):
相应量÷
相应分率=单位“1”量
3、求一种数是另一种数几分之几:
比较劲÷
单位“1”量=分率
4、求一种数比另一种数多(少)几分之几:
两个数相差量÷
单位“1”量=多(少)分率
或:
①求多几分之几:
大数÷
小数–1
②求少几分之几:
1-小数÷
大数
三、工程问题
用“1”表达工作总量,用
表达工作效率,用工作总量÷
工作效率求出工作时间。
数量关系:
工作效率×
工作时间=工作总量
工作总量÷
工作时间=工作效率工作总量÷
工作效率=工作时间
第四单元比和比应用
(一)、比意义
1、比意义:
两个数相除又叫做两个数比。
2、在两个数比中,比号前面数叫做比前项,比号背面数叫做比后项。
比前项除后来项所得商,叫做比值。
比后项不能为0,由于比后项相称于除法中除数,除数不能为0.
例如15:
10=15÷
10=
(比值通惯用分数表达,也可以用小数或整数表达)
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表达两个相似量关系,即倍数关系。
也可以表达两个不同量比,得到一种新量。
例:
路程÷
速度=时间。
4、求比值办法:
用比前项除以比后项。
5、区别比和比值
比:
表达两个数倍数关系,有前项和后项
比值:
相称于商,是一种数,可以是整数、分数、或小数,不带单位名称。
6、依照分数与除法关系,两个数比也可以写成分数形式。
例如3:
2也可以写成
,仍读作“3:
2”。
7、 比和除法、分数联系:
比
前项
比号“:
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
8、比和除法、分数区别:
除法是一种运算,分数是一种数,比表达两个数倍数关系。
9、依照比与除法、分数关系,可以理解比后项不能为0。
体育比赛中浮现两队分是2:
0等,这只是一种记分形式,不表达两个数相除关系。
(二)、比基本性质
1、依照比、除法、分数关系:
商不变性质:
被除数和除数同步乘或除以相似数(0除外),商不变。
分数基本性质:
分数分子和分母同步乘或除以相似数时(0除外),分数值不变。
比基本性质:
比前项和后项同步乘或除以相似数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:
比前项和后项都是整数,并且是互质数(只有公因数1),这样比就是最简整数比。
3、依照比基本性质,可以把比化成最简朴整数比(最简比)。
4.化简比:
①整数比:
用比前项和后项同步除以它们最大公因数。
(1)②分数比:
用前项后项同步乘分母最小公倍数,化成整数比,再化成最简比。
③小数比:
前项后项同步扩大相似倍数,化成整数比,再化成最简比。
(2)用求比值办法。
如:
15∶10=15÷
10=
=3∶2
5、求比值与化简比区别
求比值:
用前项除后来项,成果是一种数;
化简比:
根据比基本性质,前项后项同步乘或除以一种相似数(0除外),成果是一种最简比。
6、路程相似,速度比和时间比成反比。
(如:
路程相似,速度比是4:
5,时间比则为5:
4)
工作总量相似,工作效率和工作时间成反比。
工作总量相似,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
3)
(三)比应用题
1、求每份数办法
和÷
总份数=每份数相差数÷
相差份数=每份数某些数÷
相应份数=每份数
2、图形求比常用公式
长方体:
(长+宽+高)和=棱长和÷
4长方形:
(长+宽)和=周长÷
2
3、相遇问题
速度和=路程÷
相遇时间
4、按比例分派:
把一种数量按照一定比来进行分派。
这种办法普通叫做按比例分派。
按比例分派应用题构造特性:
已知总数和各某些数比,求各某些数。
办法与环节:
1、依照比先求出总份数。
2、求出各某些数占总数几分之几。
3、运用分数乘法列式计算,求出各某些数。
4、答题并检查。
第五单元圆
一、结识圆
1、圆定义:
圆是由曲线围成一种封闭图形。
2、圆心:
将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心一点,这一点叫做圆心。
普通用字母O表达。
3、半径:
连接圆心到圆上任意一点线段叫做半径。
普通用字母r表达。
把圆规两脚分开,两脚之间距离就是圆半径。
4、直径:
通过圆心并且两端都在圆上线段叫做直径。
普通用字母d表达。
直径是一种圆内最长线段。
5、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
所有半径都相等,所有直径都相等。
6、在同圆或等圆内,直径长度是半径2倍,半径长度是直径
用字母表达为:
d=2r或r=
d
7.圆心拟定圆位置,半径拟定圆大小。
8、轴对称图形:
如果一种图形沿着一条直线对折,两侧图形可以完全重叠,这个图形是轴对称图形。
折痕所在这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,均有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴图形是:
长方形
只有3条对称轴图形是:
等边三角形
只有4条对称轴图形是:
正方形;
有无数条对称轴图形是:
圆、圆环。
二、圆周长
1、圆周长:
围成圆曲线长度叫做圆周长。
用字母C表达。
2、圆周率实验:
(1)绳测法:
用绳子绕圆一圈,拉直后用直尺量出长度即求出圆周长。
(2)滚动法:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆周长。
发现普通规律,就是圆周长与它直径比值是一种固定数(π)。
圆周长总是它直径3倍多某些。
3.圆周率:
任意一种圆周长与它直径比值是一种固定数,咱们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表达。
圆周率π是一种无限不循环小数。
在计算时,普通取π≈3.14。
(1)在判断时,圆周长与它直径比值是π倍,而不是3.14倍或3倍多某些。
(2)世界上第一种把圆周率算出来人是国内数学家祖冲之。
4、圆周长公式:
C=πdd=C÷
π
或C=2πrr=C÷
π÷
5、在一种正方形里画一种最大圆,圆直径等于正方形边长。
在一种长方形里画一种最大圆,圆直径等于长方形宽。
6、区别周长一半和半圆周长:
(1)周长一半:
等于圆周长÷
2计算办法:
2πr÷
2即
C=πr
(2)半圆周长:
等于圆周长一半加直径。
计算办法:
C半圆=πd÷
2+d
C半圆=πr+2r
三、圆面积
1、圆面积:
圆所占平面大小叫做圆面积。
用字母S表达。
2、一条弧和通过这条弧两端两条半径所围成图形叫做扇形。
顶点在圆心角叫做圆心角。
3、圆面积公式推导:
(1)、用逐渐逼近转化思想:
体现化圆为方,化曲为直;
化新为旧,化未知为已知,化复杂为简朴,化抽象为详细。
(2)、把一种圆等分(偶数份)成扇形份数越多,拼成图像越接近长方形。
(3)、拼出图形与圆周长和半径关系。
圆半径=长方形宽
圆周长一半=长方形长
由于:
长方形面积=长×
宽
因此:
圆面积=圆周长一半×
圆半径
S圆=πr×
r=πr2
圆面积公式:
S圆=πr2r2=S÷
π
圆面积公式:
S=πr2÷
2或S=
πr2
4或S=
4、环形面积:
(环形面积等于外圆面积与内圆面积差)
一种环形,外圆半径是R,内圆半径是r。
(R=r+环宽度.)
S环=πR²
-πr²
或
环形面积公式:
S环=π(R²
-r²
)。
求环形面积,一定要先想法分别求出外圆半径(R)和内圆半径(r)
再代入公式计算。
一步一步来,这样不容易错误。
注意用公式S环=π(R²
)
计算时,要先算出2个平方数,再相减。
切忌相减后再平方。
5、扇形面积计算公式:
S扇=πr2×
(n表达扇形圆心角度数)
6、一种圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相似倍数。
而面积扩大或缩小倍数是这倍数平方倍。
例如:
在同一种圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:
半径比=直径比=周长比;
而面积比等于这比平方。
两个圆半径比是2∶3,那么这两个圆直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一种正方形与它内切圆面积之比都是一种固定值,即:
4∶π
圆周长是直径π倍,圆周长与直径比是π:
1
圆周长是半径2π倍,圆周长与半径比是2π:
9、当长方形,正方形,圆周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。
反之,面积相似时,长方形周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、周长计算公式:
懂得半径求周长:
C=2πr懂得直径求周长:
C=πd
已知周长:
D=C÷
π圆周长一半:
周长(曲线)
半圆周长:
周长+直径C=πr+2r
面积计算公式:
(无论是懂得直径或者周长,都应当先求出半径,再求面积)
懂得半径求面积:
S=πr2懂得直径求面积:
S=π(d÷
2)2
懂得周长求面积:
S=π(C÷
2)2
11、拟定起跑线:
(1)每条跑道长度=两个半圆形跑道合成圆周长+两个直道长度。
(2)每条跑道直道长度都相等,而各圆周长决定每条跑道总长度。
(因而起跑线不同)
(3)每相邻两个跑道相隔距离是:
2×
π×
跑道宽度
(4)当一种圆半径增长a厘米时,它周长就增长2πa厘米;
当一种圆直径增长a厘米时,它周长就增长πa厘米。
12、惯用各π值成果:
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
13、惯用平方数成果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
第六单元百分数
一、百分数意义和写法
1、百分数意义:
表达一种数是另一种数百分之几。
百分数是指两个数比,因而也叫百分率或比例。
百分数普通不写成分数形式,而采用百分号“%”,百分数背面不能带单位名称。
2、千分数:
表达一种数是另一种数千分之几。
3、百分数和分数重要联系与区别:
(1)联系:
都可以表达两个量倍比关系。
(2)区别:
①、意义不同:
百分数只表达两个数倍比关系,不能表达详细数量,因此不能带单位;
分数既可以表达详细数,又可以表达两个数关系,表达详细数时可以带单位。
②、百分数分子可以是整数,也可以是小数;
分数分子不能是小数,只能是除0以外自然数。
③、百分数读法和分数读法大体相似,也是先读分母,后读分子,但要注意读百分数分母时,不能读成一百分之几,而只能读作“百分之几”
4、百分数写法:
普通不写成分数形式,而在本来分子背面加上“%”来表达。
二、百分数和分数、小数互化
(一)百分数与小数互化:
1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位,同步在背面添上百分号。
2.百分数化成小数:
把小数点向左移动两位,同步去掉百分号。
(二)百分数和分数互化
1、百分数化成分数:
先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母与否100分数,能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,普通保存三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常用分数与小数、百分数之间互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=0.375=37.5%
=0.0625=6.25%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
(一)普通应用题
1、常用百分率计算办法:
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
⑦烘干率=
⑧含水率=
普通来讲,出勤率、成活率、合格率、对的率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完毕率、增长了百分之几等可以超过100%。
(普通出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
2、已知单位“1”量(用乘法),求单位“1”百分之几是多少问题:
数量关系式和分数乘法解决问题中关系式相似:
3、未知单位“1”量(用除法),已知单位“1”百分之几是多少,求单位“1”。
解法:
分率相应量÷
4、求一种数比另一种数多(少)百分之几问题:
单位“1”量×
100%或:
1求多百分之几:
(大数÷
小数–1)×
100%
②求少百分之几:
(1-小数÷
大数)×
100%
(二)、折扣
1、折扣:
商品按原定价格百分之几出售,叫做折扣。
通称“打折”。
几折就表达十分之几,也就是百分之几十。
例如八折=
=80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、 一成是十分之一,也就是10%。
三成五就是十分之三点五,也就是35%
几成”就是十分之几,也就是百分之几十。
如:
五成表达()%
“折扣”表达某种商品降价幅度。
如:
75折就表达现价是原价()%
(三)、纳税
1、纳税:
纳税是依照国家税法关于规定,按照一定比率把集体或个人收入一某些缴纳给国家。
2、纳税意义:
税收是国家财政收入重要来源之一。
国家用收来税款发展经济、科技、教诲、文化和国防安全等事业。
3、应纳税额:
缴纳税款叫做应纳税额。
4、税率:
应纳税额与各种收入比率叫做税率。
5、应纳税额计算办法:
应纳税额=总收入×
税率
(四)利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等办法。
2、储蓄意义:
人们经常把暂时不用钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不但可以增援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有筹划,还可以增长某些收入。
3、本金:
存入银行钱叫做本金。
4、利息:
取款时银行多支付钱叫做利息。
5、利率:
利息与本金比值叫做利率。
6、利息计算公式:
利息=本金×
利率×
时间
7、注意:
如要上利息税(国债和教诲储藏利息不纳税),则:
税后利息=利息-利息应纳税额=利息-利息×
利息税率=利息×
(1-利息税率)
8、本息=本金+利息
第七单元记录
一、扇形记录图意义:
用整个圆面积表达总数,用圆内各个扇形面积表达各某些数量同总数之间关系。
也就是各某些数量占总数比例(因而也叫比例图)。
二、惯用记录图长处:
1、条形记录图:
可以清晰看出各种数量多少。
2、折线记录图:
不但可以看出各种数量多少,还可以清晰看出数量增减变化状况。
3、扇形记录图:
可以清晰反映出各某些数量同总数之间关系。
三、扇形面积大小:
在同一种圆中,扇形大小与这个扇形圆心角大小关于,圆心角越大,扇形越大。
(因而扇形面积占圆面积比例,同步也是该扇形圆心角度数占圆周角度数比例。
补充内容
一、数对
1、用数对拟定点位置,如(3,5)表达:
(第三列,第五行)
几列几行
↓↓
竖排叫列 横排叫行
普通(从左往右看)(从前去后看)
2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。
3、图形左、右平移:
行不变图形上、下平移:
列不变
二、“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题特点:
题目中有两个或两个以上未知数,规定依照总数量,求出各未知数单量。
“鸡兔同笼”问题解题办法
1、猜测法
2、假设法
(1)如果都是兔
(2)如果都是鸡
(3)古人“抬脚法”:
解答思路:
如果每只鸡、每只兔各抬起一半脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。
这样,鸡和兔脚总数就少了一半。
这种思维办法叫化归法。
关系式:
鸡兔总脚数÷
2-鸡兔总数=兔只数;
鸡兔总数-兔只数=鸡只数。
3、列方程法
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