高中数学《中国古代数学中的算法案例》教案1 新人教B版必修3Word下载.docx
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重点:
了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点:
体会算法案例中蕴含的算法思想,利用它解决具体问题。
教学方法:
通过典型实例,使学生经历算法设计的全过程,在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构,学会有条理地思考问题、表达算法,并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程:
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设 情境
引入新课
引导学生回顾
人们在长期的生活,生产和劳动过程中,创造了整数,分数,小数,正负数及其计算,以及无限逼近任一实数的方法,在代数学,几何学方面,我国在宋,元之前也都处于世界的前列。
我们在小学,中学学到的算术,代数,从记数到多元一次联立方程的求根方法,都是我国古代数学家最先创造的。
更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色,也就是“寓理于算”,即把解决的问题“算法化”。
本章的内容是算法,特别是在中国古代也有着很多算法案例,我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。
教师引导,学生回顾。
教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识,共同创设情景,引入新课。
通过对以往所学数学知识的回顾,使学生理清知识脉络,并且向学生指明,我国古代数学的发展“寓理于算”,不同于西方数学,在今天看仍然有很大的优越性,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强爱国主义情怀。
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课本
探究
新知
1.求两个正整数最大公约数的算法
学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数:
例1:
求78和36的最大公约数
(1)利用辗转相除法
步骤:
计算出7836的余数6,再将前面的除数36作为新的被除数,366=6,余数为0,则此时的除数即为78和36的最大公约数。
理论依据:
,得与有相同的公约数
(2)更相减损之术
指导阅读课本P----P,总结步骤
以两数中较大的数减去较小的数,即78-36=42;
以差数42和较小的数36构成新的一对数,对这一对数再用大数减去小数,即42-36=6,再以差数6和较小的数36构成新的一对数,对这一对数再用大数减去小数,即36-6=30,继续这一过程,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数
即,
由,得与有相同的公约数
算法:
输入两个正数;
如果,则执行,否则转到;
将的值赋予;
若,则把赋予,把赋予,否则把赋予,重新执行;
输出最大公约数
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
whilea<
>
b
ifa>
=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
print(%io
(2),a,b)
学生阅读课本内容,分析研究,独立的解决问题。
教师巡视,加强对学生的个别指导。
由学生回答求最大公约数的两种方法,简要说明其步骤,并能说出其理论依据。
由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法,并编出简单程序。
教师将两种算法同时显示在屏幕上,以方便学生对比。
教师将程序显示于屏幕上,使学生加以了解。
数学教学要有学生根据自己的经验,用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。
这种再创造积累和发展到一定程度,就有可能发生质的飞跃。
在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境,让学生有充分的时间和空间去观察,分析,动手实践,从而主动发现和创造所学的数学知识。
求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点,用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识,,强调了提供典型实例,使学生经历算法设计的全过程,在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构,学会有条理地思考问题、表达算法,并能将解决问题的过程整理成程序框图。
为了能在计算机上实现,还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语
言的内容。
总的来说,不追求形式上的严谨,通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用
举例
例1:
用等值算法(更相减损术)求下列两数的最大公约数。
(1)225,135
(2)98,280
例2:
用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。
学生练习,教师巡视检查。
学生回答。
巩固所学知识,进一步加深对知识的理解,用辗转相除法步骤较少,而更相减损术虽然有些步骤较长,但运算简单。
体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化
算法
2.割圆术
魏晋时期数学家刘徽,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”
即从圆内接正六边形开始,让边数逐次加倍,逐个算出这些内接正多边形的面积,从而得到一系列逐次递增的数值。
阅读课本P----P,
第一,从半径为1的圆内接正六边形开始,计算它的面积;
第二,逐步加倍圆内接正多边形的边数,分别计算圆内接正十二边形,正二十四边形,正四十八边形…的面积,到一定的边数(设为2m)为止,得到一列递增的数,
第三,在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形,把其面积与相应的面积相加,得,这样又得到一列递增数:
,,,…,。
第四,圆面积满足不等式
估计的近似值,即圆周率的近似值。
设圆的半径为1,弦心距为,正边形的边长为,面积为,由勾股定理得
,
则
图可知,正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和,即
()
利用这个递推公式,可以得到正六边形的面积为,
由于圆的半径为1,所以随着的增大,的值不断趋近于圆周率。
程序:
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
forI=1:
1:
16
h=sqrt(1-(x/2)ˆ2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2)ˆ2+(1-h)ˆ2);
print(%io
(2),n,s)
学生阅读课本,教师巡视注意个别指导,帮助学生识图,分析。
教师概括割圆术的步骤,学生观察图形,引导学生提出问题并解答。
步骤较复杂,教师注意结合图形帮助学生分析,理解。
通过教师分析的割圆术的步骤,又学生讨论制定割圆术的算法,教师注意指导,适当提示,引导学生出现算法中的递推关系。
教师将算法显现在屏幕上,又学生对应写出简单的程序。
割圆术是从圆内接六边形开始,让边数逐次加倍,逐个算出这些内接正多边形的面积,从而得到一系列逐次递增的数值。
在但是要付出艰辛的劳动,现在有计算机,我们只需利用刘徽的思想,寻找割圆术中的算法,即运算规律,计算机会迅速得到所求答案。
分析刘徽割圆术中的算法是难点所在,学生先阅读课本,有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤,在此基础上,又学生将所分析的步骤写为算法,引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。
面临一个问题时,在分析、思考后获得了解决它的基本思路(解题策略),将这种思路具体化、条理化,用适当的方式表达出来(画出程序框图,转化为程序语句),这个过程就是算法设计过程,这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。
归纳小结
1.求最大公约数的辗转相除法和更相减损法;
2.割圆术的算法
学生小结并相互补充,师生共同整理完善。
学生学后反思总结,可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业
习题1—31,2
选作习题1—3
巩固所学知识,是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。
2019-2020年高中数学《中国古代数学中的算法案例》教案1北师大版必修3
4.知识与技能目标:
5.过程与方法目标:
6.情感与价值目标:
2.求两个正整数最大公约数的算法
(3)利用辗转相除法
(4)更相减损之术
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