函数单调性及其应用设计Word格式.docx
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1.2函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化
(1)若函数在某个区间上是增函数,则有
,
(2)若函数在某个区间上是减函数,则有
1.3抓住函数单调性定义中的关键词
(1)给定“某个区间”:
增函数、减函数是相对于某个区间而言的,离开相应区间就根本谈不上增减性。
例如对于定义域中单独的一个点函数就没有增减变化,所以不存在单调性的问题。
因此函数的单调性是在函数的定义域区间或其子区间上的性质,是局部性质。
例如二次函数,在轴左侧是减函数,而在右侧是增函数,所以不能笼统的说是增函数或减函数。
例如,它无单调区间。
(2)属于该区间的“任意两个”和“都有”:
属于该区间,即是两自变量都必须取自给定区间,不能从区间外取。
若区间都是闭的,能否取其端点?
当然可以。
“任意两个”是指不能取特定的值来判断,而“都有”则是说只要,就必须恒有或者恒有。
如在区间上,若取定两个特定的值,显然,而,,有;
取,有。
可见不能说在区间上是增函数或者减函数。
因此要判断函数在某个区间是增函数或减函数,不能由特定的两个点来判断,必须严格依照定义:
在给定区间任取两个,根据他们的函数值和的大小来判断其增减性。
(3)函数的两个单调区间一般是不可以取其并集。
如:
在区间上是单调递减的,并且在上也是单调递减的,只能说和是函数的两个单调递减区间,不能说是原函数的单调递减区间。
第二章单调函数的一般判定方法
2.1定义法
用定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:
(1)设定:
在给定区间上任取两个值,且;
(2)作差变形:
作差,通过因式分解、配方、分母有理化等方法将差变形为几个最简因式的连乘积或几个非负数的和,即向有利于判断差的符号的方向变形;
(3)定号:
判断上述差变形后的符号,若不能确定,则可分区间讨论;
(4)结论:
根据差的符号,得出单调性的结论。
即“取值
作差
变形
判断
定号
得出结论”几个步骤。
2.2图像法
要了解函数在某一区间是否具有单调性,从图像上进行观察是一种常见而又较为粗略的方法,但严格的说,它需要根据函数单调性的定义进行证明。
2.3运算法
(1)若函数、在公共定义域区间上都是增(减)函数,则任是增(减)函数。
(2)若函数、在公共定义域区间上,增,减,则增,减。
2.4复合函数法
设在定义域为,的定义域是,值域为,若,则关于的函数叫做函数与的复合函数,叫做中间量。
结论1若函数在区间上是增函数,又函数在区间上是增(减)函数,那么,复合函数在区间上是增(减)函数。
结论2若函数在区间上是减函数,又函数在区间上是减(增)函数,那么,复合函数在区间上是增(减)函数。
结论1和结论2可简述为:
同增异减。
第三章单调函数的其他判定方法
3.1作差法
设、是某区间上任意两点,且的正负,确定与的大小,从而判定函数的单调性。
这种方法是判定函数的单调性最常用的方法。
用定义证明在上的减函数。
证明设、,且,则
故在区间上是减函数。
已知函数对任意,都有,且时,,试判断的单调性。
解令,得
令,得
设,则
所以,故函数在上为减函数。
3.2作商法
若在某区间上的值恒正,则可以设,属于某区间,且,利用与1的大小关系,确定与的大小,从而判定函数的单调性。
设函数定义在上,对于任意实数,恒有,且当时,。
求证:
是上的减函数。
证明令,则
令,则
又
,且
故对任意
设,并设,则
故是上的减函数。
3.3利用反函数的单调性
如果函数的定义域为区间,值域为区间,且函数存在反函数,则函数在上与函数在区间上具有相同的单调性。
例4函数的反函数是()。
是奇函数,在上是减函数
是偶函数,在上是减函数
是奇函数,在上是增函数
是偶函数,在上是增函数
解因函数在上都是增函数,故函数在上是增函数。
因,故函数在上是奇函数。
又函数与其反函数的单调性相同,且同为奇函数,故选C。
3.4利用和、倍、积、倒函数的单调性
为下面叙述方便起见,我们先做如下约定:
若恒有,则函数叫做正值函数;
若很有,则函数叫做负值函数。
在判定函数单调性时常常用到以下几个结论:
两个增(减)函数之和仍为增(减)函数。
若函数为增(减)函数,则当时函数为增(减)函数,当时函数为减(增)函数。
正(负)值函数若为增(减)函数,则其倒数函数为减(增)函数。
两个正值增(减)函数之积为增(减)函数,两个负值增(减)函数之积为减(增)函数。
例5讨论函数的单调性。
解函数的定义域为,在此区间上、、均为增函数。
由(3)知为减函数,由
(2)知为增函数,由
(1)知函数在区间上为增函数。
3.5利用复合函数的单调性
关于复合函数的单调性有下面两个结论:
若函数在区间上是增(减)函数,且在上的值域为区间,函数在上是增(减)函数,则复合函数在上是增函数。
若函数在区间上是增(减)函数,且在上的值域为区间,函数在上是减(增)函数,则复合函数在上是减函数。
上面两个结论简记为“同增异减”。
例6讨论函数的单调性。
解函数的定义域为.
令,则函数在区间上为增函数,。
在上为减函数,在上为增函数。
当时,,所以函数在区间上为减函数。
当时,。
所以函数在区间上为增函数。
3.6换元法
换元转化,建立一一对应,通过研究一个新函数的单调性,获得所求函数的单调性。
例7已知函数,,写出函数的单调区间。
解设,则
当,即时,函数单调递增,递增区间是。
当,即时,函数单调递减,递减区间是。
3.7导数法
利用导数判定函数的单调性,层次清楚,操作方使,简便易行,且不容易出错。
例8讨论函数在区间上的单调性。
解,
设,则
函数在区间上是增函数,
函数在区间上单调递增。
3.8综合法
数学解题,要“因题定法”。
在实际解题时,某些问题需综合多种方法,变通使用,才能优化求解过程。
例9设,判断此函数的单调性,并加以证明。
分析若函数解析式变为
则由在区间上为减函数,可以发现在定义域上是减函数。
证明设,则
故,函数在上是减函数。
第四章函数单调性在解题当中的应用
单调性是函数的一个基本性质,该性质有广泛的应用,主要用于如下几个方面:
4.1比较两个数的大小
例1比较和的大小。
分析从题设的两个对数,便想起了在上是单调增函数,因此只要比较两个真数的大小,原题就可以获解。
解由,解得。
当时,有。
因函数在上单调递增,故。
4.2证明与正整数有关的命题
已知,且,,,求证。
分析欲证,需证。
可令,通过计算,易知是单调函数。
由此,原命题迎刃而解。
证明构造函数,因为且,故
所以是单调递减函数
所以
即
4.3解方程
例3解方程。
分析令,
显然,在公共定义域内,是增函数,是减函数。
直接验证知。
以此为基础,用函数、的单调性即可求出原方程的解。
解设,
在公共定义域内,是增函数,是减函数,又显然,所以方程仅有一解。
故原方程的解是。
4.4证明不等式
在证明不等式中,通过联想构造函数,将常量作为变量的瞬时状态,置于构造函数的单区间内,利用其单调性证明一些不等式,十分便捷。
例4已知、、,,,,求证。
分析直接求证非常困难,观察条件及所证明结论不难发现、、是对称的,变形所证不等式为,其中。
解构造函数,只需证时恒成立。
当时,恒成立。
当时,一次函数在上是单调的。
因为
所以在上恒大于零。
综上,当时,恒成立。
4.5求参数的取值范围
例5已知是奇函数,在实数集上又是单调递减函数,且时
求的取值范围。
分析因已知函数是奇函数,将已知不等式移向后可得
。
根据是减函数脱去,然后由式子特征构造相应单调函数。
解由题设知时
因为在上是减函数,故有
构造函数,它在上是减函数,值域为,故。
综上所述,用函数单调性解题的关键是通过观察、分析、联想、构造一个适当的函数。
若构造的这个函数的单调性不明显,则需证明它具有单调性(如例2),然后根据函数的单调性去求解或证明。
结论
以上内容,说明函数单调性在求最值、解不等式、恒成立及解方程根等问题中的巧用,有些问题,看起来好象与单调性无关,但只要我们注意观察,构造适当的函数,就可应用单调性来解.当然解题时往往需要合理地架设“桥梁”,即“化归”,化归是一种重要的解题策略,培养善于转化的能力不可能一蹴而就,需要在牢固掌握函数单调性的定义和性质的基础上进行专门的培养和训练。
首先,要注意知识间的沟通与联系,尤其是横向联系,这样才能为灵活解题、善于变换命题打下坚实的基础;
其次,当问题感到难于入手时应进行联想,联想是接通思路的桥梁,从不同的角度,不同的方向去审视,容易发现转化的入口处。
参考文献
[1]管宏斌.诠释函数单调性.数理化解题研究2009年第9期
[3]赵欣荣.函数单调性在解题中的应用.立刻考试研究.数学版2008年8月1日
致谢
感谢他指引我进入一个崭新的研究方向,感谢他时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文,使得本文能够顺利完成.在陈顺清老师的指引下,我对论文写作有了初步的了解,具有了一定的独立科研能力.能够成为陈顺清老师的学生,乃人生一大幸事.在此成文之际,谨向导师陈顺清教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢,并祝XX老师及家人身体健康,生活幸福.
感谢四川文理学院的老师和领导,感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助。
感谢同窗XXX、XXX、XXX、XXX以及其他师兄妹,非常高兴能与他们一起学习讨论.
最后,感谢我的家人,感谢他们对我永远的支持与鼓励!
毕业论文通用格式分类号:
无锡职业技术学院
毕业设计(论文)
题目(团队课题要注明“团队”二字)
英文并列题目
所在团队
答辩委员会主任主答辩人
二零15年3月
毕业设计(论文)开题报告
毕业设计(论文)任务书
年月日
设计类建议格式一:
封面
开题报告
任务书
摘要、关键词(含中英文)
第一章序言
1.1XXX
1.2XXX
……
第二章XXX工艺设计
2.1XXX
2.2XXX
第三章XXX参数确定及计算
3.1XXX
3.2XXX
第四章XXX夹具设计
4.1XXX
4.2XXX
第N-1章XXX
N-1.1XXX
N-1.2XXX
第N章结论
小结与致谢
毕业设计附录目录:
1.机械加工工艺流程图
2.机械加工工艺过程卡
3.机械加工工艺工艺卡
4.机械加工工艺工序卡
5.被加工零件图
6.夹具装配图
7.夹具零件图
8.其他系统图
9.其他原理图
10.零件三维造型图
11.夹具三维造型图
12.设计(作品)实物图
13.设计(作品)实物
14.开题报告
15.专业翻译材料
16.企业证明
17.与企业合作开发的技术服务合同
18.四技服务项目验收表
19.毕业设计(论文)指导记录表
20.毕业答辩评审表
表2毕业设计(论文)评阅教师评价表
表3毕业设计(论文)答辩记录表
表4毕业设计(论文)答辩评价表
表4毕业设计(论文)综合评价表
设计类建议格式二:
第一章绪论
1.1XXX课题的背景及意义
1.2XXX国内外研究现状
1.3XXX技术特点
1.4XXX课题研究的内容
第二章XXX系统的总体设计
2.1XXX系统整体方案设计思路
第三章XXX系统的硬件设计
3.1XXX系统硬件设计思路
第四章XXX系统的电路设计
4.1XXX系统电路设计思路
第五章XXX系统的软件设计
5.1XXX系统软件设计思路
5.2XXX
第六章XXX系统的监控中心设计
6.1XXX系统监控中心设计思路
6.2XXX
第N章总结与展望
小结并致谢
1.XXX系统的总体设计图
2.XXX系统的硬件设计图
3.XXX系统的电路设计图
4.XXX系统的软件设计方框图
5.软件光盘
6.其他系统图
7.其他原理图
8.设计(作品)实物图
9.设计(作品)实物
10.开题报告
11.专业翻译材料
12.企业证明
13.与企业合作开发的技术服务合同
14.四技服务项目验收表
15.毕业设计(论文)指导记录表
16.毕业答辩评审表
论文版面格式:
无锡市机电五金行业市场调查
(三号、宋体、加粗、居中、1.5倍行距)
摘要:
(小五号,黑体)无锡位于长三角地区,近年来机电五金行业发展迅猛。
通过对无锡机电五金市场的调查,从调查目的、调查对象、调查范围、调查方式、调查内容等方面,大致了解了无锡机电五金行业的市场经营的现状、从业人员的现状以及电子商务应用的情况。
(小五号、楷体、单倍行距)
关键词:
(小五号,黑体)机电五金行业;
市场调查;
无锡市(小五号、楷体、单倍行距、分号相隔)
MarketresearchonWuxielectromechanical”体)
Abstract:
(加粗)Havenotintolocatetogrowtriangleregion,themachinegivesorgetsanelectricshockadevelopmentinrecentyearsfastfierce.Passtheinquisitionthattherightnessmachineelectricitymachineelectricityofthemarketconductofpresentconditionandtheappliedcircumstanceoftheelectroniccommerceofpresentcondition,employee.(小五号、TimesNewRoman、单倍行距)
Keywords:
(加粗)Themachineelectricity,Marketresearch,WuxiCity(小五号、TimesNewRoman、单倍行距、英文分号相隔)
一、绪论
(标题1:
无缩进、三号、黑体、1.5倍行距;
日语为“明朝体”,英语等外语用“TimesNewRoman”体)
(一)调查目的
(标题2:
首行缩进2字符、小四号、黑体、1.5倍行距;
受无锡市机电五金行业协会委托,无锡职业技术学院经济管理系于2007年对五金市场经营环境进行了调查。
通过这次调查主要是为了更好的了解该地区的机电五金的市场格局,主要销售的产品,市场的经营状况及产品的需求状况。
目的则是为了能够建立相互关联、相互影响、相互景气的一个机电市场大市场,能够形成一个采购生产、销售配送、物流服务一条龙的一个全国区域性的大市场。
(正文:
首行缩进2字符、小四号、宋体、1.5倍行距;
(二)调查范围
调查的是嘉泰地区及周边、锡沪西路以北、康桥丽景花园以及东绛地区。
一共我们调查了240户商铺,有效问卷是200份。
(见表1)
表1:
调查范围及问卷情况
(表标题:
居于表格上方、居中、小五号、楷体)
地区
走访的数量
被调查者数量
有效问卷
嘉泰市场及周边地区
200户
95户
85份
(表格居中;
表内文字:
五号、宋体、居中、1.5倍行距)
二、机电五金市场现状的描述
(一)市场经营现状
在调查的400家企业当中,愿意接受调查的企业共有200家,包括53家制造企业和147家流通企业。
(见图1
图1:
企业的属性划分表
(图标题:
居于图下方、居中、小五号、楷体)
以下是制造企业和流通企业的基本情况。
1、流通业企业(标题3:
首行缩进2字符、小四号、楷体、加粗、1.5倍行距;
(1)民营企业居多(标题4:
首行缩进2字符、小四号、楷体、1.5倍行距;
三、结论
四、参考文献
页面设置及装订要求:
1、页边距:
上2.5cm,下2.5cm,左3cm,右2cm;
2、装订要求:
左侧装订
参考文献格式
(四号、黑体、无缩进)
参考文献部分字体采用宋体小5号,其著录格式下面分别示例说明:
(专著标注示例)[1]陈浩元.科技书刊标准化18讲[M].北京:
北京师范大学出版社,2000.
(期刊文献标注示例)[2]许强,强力,吴宏亮,等.砂田水热及减尘效应研究[J].宁夏大学学报:
自然科学版,2009,30
(2):
.
(学位论文标注示例)[3]张永虎.Bα空间上算子逼近[D].银川:
宁夏大学,1997.
(英文期刊标注示例)[4]BANGS.Activeearthpressurebehindretainingwalls[J].JournalofGeotechnicalEngineering,1985,111(3):
(会议论文标注示例)[5]HELDM,KLOSOWSKIJTJT,MITCHELLJSB.Evaluationofcollisiondetectionmethodsforvirtualrealityflythroughs[C]ProceedingsoftheSenenthCanadianConferenceonComputationalGeometry,Quebec:
Spring,1995:
(专利标注示例)[6]于广云,李宏波.塌陷区抗变形公路路面结构:
中国,ZL.3[P]..
(电子文献标注示例)[7]中国科学院水利部水不保持研究所.黄河流域水文泥沙数据库[DBOL].[].hyduserindex.jsp.
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- 函数 调性 及其 应用 设计