用二元一次方程组解决问题例题Word格式.docx

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（5）注意：

商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；

为负时，就是亏损。

打几折就是按标价

4.储蓄问题:

（1）基本概念

解这类问题的基本等量关系式是：

原量X1+增长率）=增长后的量;

原量X1—减少率）=减少后的量-

解这类问题的基本等量关系是：

较大量=较小量+多余量，总量=倍数

数字X10+个位数字

在解决问题时，常常需合理安排。

需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、至怀同旅般都要运用方程解答，得出最佳方案。

，比较几种方案得出最佳方

（31）注意：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点案。

（32）知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为审、设、找、列、解、检、答”七步•即:

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数;

找：

找出能够表示题意两个相等关系;

列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组;

解：

解这个方程组，求出两个未知数的值;

（7）

20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半

小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?

思路点拨：

画直线型示意图理解题意:

答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案

要点诠释:

（1）解实际应用问题必须写答”而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否

合理，不符合题意的解应该舍去;

（2）设”、答”两步，都要写清单位名称;

（3）—般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组

解答步骤简记为：

问题aiu方程组F解答

⑷列方程组解应用题应注意的问题

甲世

汽车行赣T=时的路璟

1-小时的程

2

（1）这里有两个未知数：

①汽车的行程；

②拖拉机的行程

（2）有两个等量关系:

②同向而行：

汽车行驶2小时的路程=拖拉机行驶

设汽车的速度为每小时行龙千米，拖拉机的速度为每小时戸千米.

根据题意，列方程组

—x=

1.2

解这个方程组，得

汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

总结升华：

根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的

常用的解决策略。

A、C两个加而另一团伙经过3

V跨2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为X、y千米/时，贝U

3（xy）120

120

x

整理得

40

120’

解得

y

80

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.

点评：

相向而遇”和同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.

举一反三:

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时

后相遇；

如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米?

解：

设甲、乙两人每小时分别行走纭千米、尸千米。

根据题意可得：

解得:

甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时,

求船在静水中

的速度和水流速度。

分析：

船顺流速度=静水中的速度+水速

船逆流速度=静水中的速度—水速

设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时,

14（x-hy）=2S0

期一刃■竝，解得：

x=17

船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。

跟踪训练

1、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走

甲正好追上乙；

若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？

甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；

同向而行，每隔已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？

类型二：

列二元一次方程组解决一一工程问题

1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；

如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

30分钟后,

6分相遇一次,

由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；

而甲做我们可列方程组求解.设甲每天做

工程问题与行程问题相类似，及它们的变式工作时间=工作量小、多少无关时，通常用“1”示总工作量.

关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间4作效率”以

"

作效率，工作效率=工作量"

作时间”.其次注意当题目与工作量大

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作

6周完成需工钱5.2万元；

若

甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，

从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？

请你说明理由

设甲、乙两公司每周完成总工程的工和由题意得:

设需要付甲、乙每周的工钱分别是'

万元，占万元，根据题意得:

甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单

1、〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：

有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，

树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：

若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3,若从

树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。

”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

x元，进价为y元，则打九折时

定价是多少?

商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为

的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y;

打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）

元，可得方程0.8x-y=10.

解方程组驚y20%y

0.8xy10x200

解得y150，

=售价-进价；

二是：

禾U润

因此，此商品定价为200元.

总结：

利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有两种方法，一是：

利润进价X利润率•特别注意利润”和利润率”是不同的两个概念.

2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。

价格调整

后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元?

做此题的关键要知道：

利润=进价X利润率解：

甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得:

A=600

y=400

【变式1】

（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元,

其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?

设李大叔去年甲种蔬菜种植了X亩■，乙种蔬菜种植了尸亩，则:

表:

jf+V=10,

2000z+1500y=18000

该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。

折后，买50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少钱?

2、有甲、乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各

有多少?

设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格:

数育储蓄

1年定期

合计

K

7

1年后

设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程:

y=20CO-h

（1+0Cl225）x+0.0225（1-0.2）]=2CI42.75解得:

存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

7=1500

我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等

量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来

【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利

息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几?

（注：

公民应缴利

息所得税=利息金额&

0%）

扣税的情况：

本金X年利率*1-20%）X年数=利息（其中，利息所得税金额X20%）.不扣税时：

利息=本金X年利率X年数.

=利息

设第一种储蓄的年利率为xK，第二种储蓄的年利率为y,根据题意得：

X=2.25%

（1-20%）[2000a+IOOO7]=<

43.92解得：

'

，=0.99%

第一种储蓄的年利率为2.25%，第二种储蓄的年利率为0.99%.

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了

4000元钱•第一种,

一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息

2.25%;

第二种，三年

期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸

爸两种存款各存入了多少元?

解:

设第一种存款数为X元，则第二种存款数为y元，根据题意得:

■j?

=4000-x

3x^225%+yx3x270临=303.75解得.

A=1500

y=2500

答:

类型五：

第一种存款数为1500元，第二种存款数为2500元。

列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

1•某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.

现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰

好配套？

本题的第一个相等关系比较容易得出：

衣身、衣袖所用布料的和为

132米；

第二个相等关

系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的

2倍（注意：

别把2倍的关

系写反了）.

设用疋米布料做衣身，用

P米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得:

x-\-y=132

305

L2r

用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套

生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出

母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套?

要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的

螺栓与螺母应满足关系式：

每天生产的螺栓数疋=每天生产的螺母数X1.因此，设安排X人生产螺栓，y

人生产螺母，则每天可生产螺栓25X个，螺母20y个，依题意，得

Xy120，解之，得X20

50x220y1y100

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.

其中两种最常见的配套问题的等量关系是:

a：

b,要想生产出来

解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,

二合一”问题：

如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为

皮张数=190；

②制盒身个数的2倍=制盒底个数.

设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得:

j+y=190

2X加=2為

用110张制盒身，80张制盒底，正好制成一批完整的盒子

14

【变式21某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓

x人，生产螺母的有y人,

个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有

则：

*

生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300

条。

现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌？

能配多少张方桌?

设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得:

•••可做50X3=150张方桌。

用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150张方桌。

8.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；

在较

求这两个两位数。

这两个两位数分别为45,23.

【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;

这个两位数除以它的各位数字之

这两位数为56

设个位数字为X，十位数字为y,根据题意得:

=X+5

10a+；

i/=—（10/+力一9

2，解得:

这个两位数为72.

1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，由题意得:

-龙+护=9

100（x-；

l）+（j+l；

）=W0y-hA

x=5

肿二4

所求三位数是504。

1、一个两位数字，个位数字比十位数字大5,如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和

是143，求这个两位数.

比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元?

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有

总产值（万元）

总支出（万元）

利润（万元）

去年

200

今年

120%x

90%y

780

根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值一总支出和表格里

的已知量和未知量，可以列出两个等式。

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：

A=2000

=200

120^;

t-90%jj=7S0解之得.2=1甜0

去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：

当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。

举一反三：

【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，由题意得：

賈=2400

Up二祕

亠-丄阿

7=1620

1120%90%，解得：

今年的总产值为2000万元，总支出为1800万元思考：

本问题还有没有其它的设法？

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人

口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

由题意得两个等式关系，两个相等关系为：

（1）城镇人口+农村人口=42万；

设现在城镇人口为x万，农村人口为y万，由题意得:

（2）城镇人口心+0.8%）+农村人口X（1+1.1%）=42X（1+1%）解：

x+y=42

（1+0S坯）工+（1+1.1城"

=42（1+1斑）

现在城镇人口14万人，农村人口为28万人――年龄问题

工=14

类型八：

列二元一次方程组解决

警尸1.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。

今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。

设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：

父亲现在30岁，儿子6岁。

解决年龄问题，要注意一点：

一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。

举一反三：

【变式11今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分

之一.试求出今年小李的年龄.

本题的关键是两句话，第一句：

小李的年龄是他爷爷的五分之一；

第二句：

他的年龄变成爷爷的三分之一。

把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。

设今年小李的年龄为x岁，则爷爷的年龄为y岁。

根据题意得：

K十12=—fy十1

L3-，解得:

今年小李的年龄为12岁。

1.（2011年北京丰台区中考一摸试题）爱心”帐篷厂和温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点，爱心”帐篷厂和温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,

恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，爱心”帐篷厂和温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？

找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方

程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。

设原计划爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶，溫暖”帐篷厂生产帐篷y千顶,

由题意得:

所以：

1.6x=1.6X5=8,1.5y=1.5X4=6

爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶，溫暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.

【变式11（2011年北京门头沟区中考一模试题）地球一小时”是世界自然基

倡导低碳生活.中

3倍少13个，

金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，

国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.

y个城市参加了此

设中国内地去年有x个城市参加了此项活动，今年有

x+p=ll艮y-3z-13

项活动.

解得：

去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动

【变式21游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男

孩与女孩各有多少人吗？

本题关键之一是：

小孩子看游泳帽时只看到别人的，没看到自

己的帽子。

关键之二是：

两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：

每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；

每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。

找到已知量和未知量根据这两句话列两个

方程。

设男孩x人，女孩y人，根据题意得:

托-l=y

〔冷-1"

几何问题

男孩4人和女孩有3人。

类型十：

10.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地

砖的长和宽分别是多少?

初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元

一次方程组。

设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得:

-兀+尹=60

2x=y+x-2y

每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。

几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，

补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长48

厘米，第二个等量关系是长方形的长剪掉3厘米补到短边去，得到正方形，即长边截掉3厘米等于短边加

上3厘米。

所以正方形的边长为：

9+3=12厘米

正方形的面积为：

12x12=144厘米2

3

长方形的面积为：