第四章第三节混料设计..ppt
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第四章第三节混料设计..ppt
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混料设计问题,是工农业生产及科学试验中经常遇到的、较特殊的多因素试验设计问题。
试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系。
例如,某种不锈钢由铁、镍、铜和铬四种元素组成,我们想知道每种元素所占比例与抗拉强度的数量关系。
怎样的试验就可以得到精度较好而且易于计算的回归方程?
混料回归设计就是要合理地选择少量的试验点,通过一些不同百分比的组合试验,得到试验指标成分与百分比的回归方程,通过探索响应曲面来估计多分量系统的内在规律。
得y的回归方程,以推断最佳混料比。
这是一种特殊的回归设计问题,试验指标,如不锈钢的抗拉强度,仅与各种成分,如铁、镍、铜和铬所占的百分比有关系,而与混料的总数量没有关系。
一、无附加约束的混料设计,在q种成分的混料中,只满足:
是第i组分的百分比,称为无附加约束的混料问题,例:
P86,4-11,混料设计的计划,第一种:
单纯形格子设计第二种:
单纯形重心设计,单纯形格子设计,单纯形格子设计是混料回归设计方案中最先出现的,也是最基本的设计方案,很多其它设计方案的构成要用到单纯形格子设计。
对于由约束条件,构成的正规单纯形因子空间,当采用完全形规范多项回归模型时,试验点可以取在正规单纯形格子点上,构成单纯形格子设计。
它可以保证试验点分布均匀,而且计算简单、准确,回归系数只是相应格子点的响应值的简单函数。
格子点概念与计算,如图1所示。
图1中高为1的等边三角形(a)三条边各二等分,则此三角形(b)的三个顶点与三个边中点的总体称为二阶格子点集,记为3,2,3表示正规单纯形顶点个数,2表示每边等分数。
图1,将等边三角形(c)各边三等分,对应分点连成与一边平行直线,在等边三角形上形成许多格子,则这些小等边三角形顶点,即这些格子的顶点的总体称为三阶格子点集,记为3,3。
前面的3系正规单纯形顶点个数,后面的3系每边等分数。
图1单纯形格子设计示意图,用类似方法,可做出其它各种格子点集。
三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为3,4,总共有15个点(P86)。
四顶点正规单纯形(d)的二阶和三阶格子点集分别用4,2和4,3表示,如图(e)和(f)所示。
一般地,单形格子Mp,d设计共有:
个试验点。
单纯形格子设计中,p分量d阶格子点集p,d中有N个点,正好与所采用的d阶完全型规范多项式回归方程中待估计的回归系数的个数相等,故单纯形格子设计是饱和设计,是在“试验次数最少”意义下的最优设计。
例3分量4阶格子点集有15个点。
1.把区间0,1分割成d等分,分割点为点0,1/d,2/d,1;2取xi为上述分割点之一,i=1,2,p,同时满足x1+x2+xp=1(x1,x2,xp)3单纯型格子点SLDp,d包括满足2条件中的所有点。
单纯形格点分量求解,例,单纯形重心设计,在p分量d阶的单纯形格子设计中,当组分数d大于2时,某些配方实验的格子点的非零坐标并不相等。
这种非对称特性反映到估计的反应函数的系数时,就会出现某些观察值对回归方程的影响偏大,而另一些观察值对回归方程的影响偏小。
为了改进此缺点,Scheffe(1958)提出来只考虑配方有相等非零坐标的单纯形重心(中心)设计(Simplecentereddesign)。
这时,设计的实验点为p-1维的单纯形重心。
在一个p因素的单纯形重心设计中,试验点为单纯形顶点的一些重心点。
这些点是:
(1)单纯形一个顶点的重心点,即p个顶点(1,0,0),(0,0,1),共有C1P个点;
(2)单纯形两个顶点的重心点(1/2,1/2,0,0),,(0,0,1/2,1/2),共有C2P个点;,(3)单纯形三个顶点的重心点(1/3,1/3,1/3,0,0),(1/3,1/3,0,1/3,0,0),0,0,0,1/3,1/3,1/3),共有C3P个点;(p)单纯形p个顶点的重心点(1/p,1/p,1/p),共有CpP个点。
在单纯形重心设计中,试验点的总数目是2p-1个。
例:
P87,4-13,混料试验数据建模分析,在DPS系统中,我们可以很方便地直接用混料设计表及试验结果建立Scheffe规范多项式回归模型,以及带倒数项或对数项的回归模型,而不需要去掉组分。
同时,可以采用DPS系统提供的专用于混料试验数据分析的“特殊”的逐步回归方法,筛选因子,建立回归模型。
在DPS系统中进行Scheffe多项式模型分析,其组分数p须在15个以下,模型阶次d不超过5。
例1某种软饮料饮后的余味会降低该软饮料的价值,现研究4种增甜剂配方试验降低产品的余味。
试验采用单纯形重心设计。
试验配方及其结果,在数据分析如下。
请问本试验的实验配方?
X1:
X2:
X3:
X4:
=,本例中,用户的优化目标是最小值,则在目标函数后面选“最小值”。
模型阶次选14(不超过试验组分数p)。
建议自2阶开始,从低到高拟合。
如果是单纯形重设计,当阶次取值等于组分数p值时,为饱和模型,此时不能进行统计检验。
一般来说,需根据分析结果,从专业意义上考察确定所需的优化模型。
本例中,我们的优化目标是取极小值,阶次取“2”。
计算得到的优化结果如下。
输出结果的分析,只有当p值小于0.05时,回归模型在统计学上才有意义。
这里的值等于0.0014(p0.01)。
说明模型有意义,可进一步分析。
模型拟合是否优良,可看决定系数,这里的决定系数达0.9777,拟合效果很好,故不需要增加阶次继续拟合分析了。
可根据该回归模型进行优化分析(DPS会自动给出优化结果),优化结果表明,降低该饮料余味的4种增甜剂的较好配方是x2占增甜剂的58.95%,x4占41.05%。
这时理论上的余味值为5.0963。
二、具有附加约束的混料设计,例如,在中药材水泛丸的生产中,水泛丸的成分中要含有药粉(x1)、冷沸水(x2)、和盖面粉末(x3)、为了缩短干燥时间,要求x20.05,0.09之内,这种混料问题,称为有上、下界附加约束的混料问题。
附加约束条件:
0aixibi1ai、bi、分别为xi的上、下界,1有下界约束混料问题的设计与试验结果分析,构建拟分量zizi=(xi-ai)/RR=1ai通过拟分量zi变为无下界约束的混料问题。
例P88,用单纯形-中心设计,Evenifyougetnoapplause,youshouldacceptacurtaincallgracefullyandappreciateyourownefforts.即使没有人为你鼓掌,也要优雅的谢幕,感谢自己的认真付出。
1有上界约束混料问题的设计与试验结果分析,在某些混料试验中,由于工艺,成本等方面的限制,要对一个或某些分量加以上界约束,形成有上界约束的混料问题。
如四分量只有一个分量有上界约束,其余分量没有附加约束,即:
0xib1xi0,(i=2,3,4),x1+x2+x3+x4=1,按二分量混料,可使用的混料组合为x1xi,x1=b,xi=(1b)/1x1=0面的标准3,2格子点6个,预测方程用二阶规范多项式拟合,例P89。
作业,名词解释1因素2空白对照3析因设计4完全随机化设计5交互作用,
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